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新高考数学一轮复习课件 第4章 §4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第4章 §4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
§4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.简谐运动的有关概念
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移 个单位长度而非φ个单位长度.3.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝ .( )(2)将y＝sin 2x的图象向右平移 个单位长度，得到y＝ 的图象.( )(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( )(4)如果y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为 .( )
3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为_________________________________.
从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
TANJIUHEXINTIXING
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
则ω＝12k(k∈N*)，故当k＝1时，ω取得最小值12.
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋b 的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为
故f(x)＝2cs(ωx＋φ)－1，
将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，
先根据函数图象求函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，由振幅可得A＝1，
所以g(x)＝sin(2x＋φ)，
2.已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
又因为f(x)＝Acs(ωx＋φ)为奇函数，
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T＝2×[6－(－2)]＝16，
由于函数f(x)的图象过点(－2,0)且在x＝－2附近单调递增，
假设将函数f(x)的图象向右平移t个单位长度可得到偶函数g(x)的图象，
解得t＝－2－8k(k∈Z)，∵t>0，当k＝－1时，t取最小值6.
三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合应用
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又函数g(x)为偶函数，
命题点2 函数零点(方程根)问题
故m的取值范围是(－2，－1).
延伸探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_________.
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1).
命题点3 三角函数模型
例5 (多选)(2022·佛山一中月考)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为A.摩天轮离地面最近的距离为4米B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cs t＋68C.若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30D.∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；
由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0,30]，又高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，
则h在t∈[0,15]上单调递增，在t∈[15,20]上单调递减，当t＝15时，hmax＝128，
所以h＝90在t∈[0,20]只有一个解，故D不正确.
(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则A.点P第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝
设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
解得t＝20，故A正确；
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
∵f(x)＝cs 2xcs φ－sin 2xsin φ
(2)(多选)(2022·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3， )出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ) ，则下列叙述正确的是
A.水斗作周期运动的初相为B.在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C.在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D.当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
所以函数f(t)先增后减，故B错误；对于C，当t∈(0,60]，
所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；
所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正确.
KESHIJINGLIAN
因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)，
将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，
5.(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是A.f(x)＝sin x＋cs xB.f(x)＝ (sin x＋cs x)C.f(x)＝sin xD.f(x)＝ sin x＋
若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，
7.(2022·北京丰台区模拟)将函数f(x)＝cs 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为___.(答案不唯一)
将函数f(x)＝cs 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得g(x)＝cs(2x＋2φ)，由函数g(x)的图象关于原点对称，可得g(0)＝cs 2φ＝0，
∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
f(x)取得最大值2，所以A＝2，
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为
∴cs φ＝1.∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0.
又2 024＝4×506，∴S＝4×506＝2 024.
14.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元.
作出函数简图如图.三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
T＝2×(9－3)＝12，
将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，
故7月份的出厂价格为6 000元.
当ω＝5时，g(x)＝－cs 5x，令g(x)＝－cs 5x＝±1得
16.(2022·深圳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为 ，且在x＝ 处取到最小值－2.(1)求函数f(x)的解析式；
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈ 上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
§4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.简谐运动的有关概念
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移 个单位长度而非φ个单位长度.3.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝ .( )(2)将y＝sin 2x的图象向右平移 个单位长度，得到y＝ 的图象.( )(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( )(4)如果y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为 .( )
3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为_________________________________.
从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
则ω＝12k(k∈N*)，故当k＝1时，ω取得最小值12.
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋b 的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为
故f(x)＝2cs(ωx＋φ)－1，
将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，
先根据函数图象求函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，由振幅可得A＝1，
所以g(x)＝sin(2x＋φ)，
2.已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
又因为f(x)＝Acs(ωx＋φ)为奇函数，
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T＝2×[6－(－2)]＝16，
由于函数f(x)的图象过点(－2,0)且在x＝－2附近单调递增，
假设将函数f(x)的图象向右平移t个单位长度可得到偶函数g(x)的图象，
解得t＝－2－8k(k∈Z)，∵t>0，当k＝－1时，t取最小值6.
三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合应用
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又函数g(x)为偶函数，
命题点2 函数零点(方程根)问题
故m的取值范围是(－2，－1).
延伸探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_________.
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1).
命题点3 三角函数模型
例5 (多选)(2022·佛山一中月考)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为A.摩天轮离地面最近的距离为4米B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cs t＋68C.若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30D.∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；
由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0,30]，又高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，
则h在t∈[0,15]上单调递增，在t∈[15,20]上单调递减，当t＝15时，hmax＝128，
所以h＝90在t∈[0,20]只有一个解，故D不正确.
(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则A.点P第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝
设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
解得t＝20，故A正确；
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
∵f(x)＝cs 2xcs φ－sin 2xsin φ
(2)(多选)(2022·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3， )出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ) ，则下列叙述正确的是
A.水斗作周期运动的初相为B.在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C.在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D.当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
所以函数f(t)先增后减，故B错误；对于C，当t∈(0,60]，
所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；
所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正确.
KESHIJINGLIAN
因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)，
将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，
5.(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是A.f(x)＝sin x＋cs xB.f(x)＝ (sin x＋cs x)C.f(x)＝sin xD.f(x)＝ sin x＋
若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，
7.(2022·北京丰台区模拟)将函数f(x)＝cs 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为___.(答案不唯一)
将函数f(x)＝cs 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得g(x)＝cs(2x＋2φ)，由函数g(x)的图象关于原点对称，可得g(0)＝cs 2φ＝0，
∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
f(x)取得最大值2，所以A＝2，
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为
∴cs φ＝1.∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0.
又2 024＝4×506，∴S＝4×506＝2 024.
14.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元.
作出函数简图如图.三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
T＝2×(9－3)＝12，
将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，
故7月份的出厂价格为6 000元.
当ω＝5时，g(x)＝－cs 5x，令g(x)＝－cs 5x＝±1得
16.(2022·深圳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为 ，且在x＝ 处取到最小值－2.(1)求函数f(x)的解析式；
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈ 上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
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