2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷：数学（苏教版2019B卷）（参考答案）

2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷

数学·全解全析

13． 0

14．

15．

16．，.

17．（1）    （2），

【详解】（1）设，（a，，），则

因为为纯虚数，所以，           

又，所以，

联立方程得，，故

（2）因为是关于的方程（m，）的根，

所以，即，

所以

解得，．

18．（1）；    （2）.

【详解】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.

则，，，故，，.

“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.

每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.

所以.

答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.

（2）设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.

所以.

解得.

19．（1）    （2）

【详解】（1），则

，

因此，.

（2）因且，所以，，

因为，则，，

因为，故，

所以，，所以，，

所以，，

因此，.

20．（1）证明见解析；    （2）证明见解析.

【详解】（1）设，的交点为O，连接，

因为底面为菱形，且O为中点，，

所以，又平面，平面，

故平面．

（2）因为底面为菱形，所以，

因为平面，平面，所以，

又，、平面，

所以平面，又平面，

所以，又，，，平面，

所以平面，又平面，故平面平面.

21．（1）；    （2）.

【详解】（1）延长，相较于点，

如图所示：

，，

是边长为的正三角形，

的面积为.

在中，，，

由余弦定理得，，

即，

则，（当且仅当时，等号成立）

的面积,

的面积的最大值为，

四边形面积的最小值为.

（2）四边形存在外接圆，

，

，

.

，

四边形为等腰梯形.

连接，设，，，

如图所示：

的外接圆半径为，

在中，由正弦定理得，，

，.

同理可得，在中，由正弦定理可得，

，，

设，得，

，，

，（当且仅当时，等号成立）

，，（当且仅当时，等号成立）

当，时，取得最大值.

22．（1）   

（2）①证明见解析②存在，或

【详解】（1）翻折前，在中，，即，

、分别为、的中点，则且，

翻折后，在图（2）中，，，则二面角的平面角为，

因为，，由余弦定理可得，

，故，

即当时，二面角的大小为.

（2）①过点在平面内作，垂足为点，

，，，则平面，

平面，，

，，平面，则，

故当平面时，四棱锥的体积取最大值，

，，，平面，

因为，，为的中点，所以，且，

故四边形平行四边形，所以，，

平面，平面，平面，

因为平面，平面平面，，因此，平面；

②因为平面，与平面所成角为，

因为平面，，

所以，，解得，

在中，，，，

由余弦定理可得，

所以，，解得或.

因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或