2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷：数学（人教A版2019B卷）（全解全析）

2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷

数学·全解全析

一、单选题

1．设复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】，，

在复平面内对应的点为，在第一象限，

故选：A.

2．现要用随机数表法从总体容量为240的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（    ）

32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145

A．5 B．44 C．165 D．210

【答案】D

【详解】由随机数表抽样方法可知，以3个数字为单位抽取数字，且数字不能大于240，且要去掉重复数字，据此第一个数字为114，第二个为165，第三个为100，第4个为210.

故选：D

3．已知，且向量在向量上的投影向量为，则的模为（    ）

A．1 B． C．3 D．9

【答案】C

【详解】由题，设的夹角为，则，故，解得

故选：C

4．如图，在中 ，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（    ）.

A．2 B． C．3 D．4

【答案】C

【详解】设，

，

则，解得：

所以，即

即，则.

故选：C

5．已知扇形半径为3，圆心角为120°，则此扇形围成的圆锥体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为扇形半径为3，圆心角为120°，所以弧长为：.

所以圆锥底面圆的半径为，母线长为，因此高为.

所以圆锥的体积为.

故选：A

6．已知单位向量和向量、满足，，则的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【详解】设，，由可得，化简可得，即.

设，则由可得，故的轨迹为以为焦点，的椭圆，其方程为.

设夹角为，则，由圆与椭圆的性质可得，，，，故当同向，均往负半轴时，取得最大值.

故选：B

7．如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】如图所示：

分别取的中点，连接.

由且可得是等边三角形，

则且，且，故且，

所以四边形为平行四边形，故，

因为，所以为异面直线SC与DE所成的角（或其补角），

因为平面，平面，∴，，

故和均为直角三角形，

所以，，

，

由余弦定理得.

则异面直线与所成的角的余弦值为.

故选：B

8．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，、，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中四面体的体积为（    ）．

A． B．1 C． D．

【答案】B

【详解】

依题意，根据勾股定理可求，

，，

即与为全等的等腰三角形，

取的中点，连接，

由等腰三角形的性质可得，，

所以面，

且，可求的高为，

从而，

.

故选：B

二、多选题

9．(多选)在分层随机抽样中，每个个体等可能地被抽取，下列说法错误的是（    ）

A．每层的个体数必须一样多

B．每层抽取的个体数相等

C．每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足ni＝n·(i＝1，2，…，k)，其中i是层数，n是样本量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量

D．只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制

【答案】ABD

【详解】题干中强调每个个体等可能地被抽取即说明按比例分配分层随机抽样，每层的个体数不一定都相等，故A说法错误；

由于每层的容量不一定相等，若每层抽同样多的个体，从总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性不一定相同，故B说法错误；

对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，故C说法正确；

每层抽取的个体数是有限制的，故D说法错误．

故选：ABD

10．已知两条不重合的直线和两个不重合的平面和，则下列说法不正确的为（    ）

A．若，，则

B．若，，则，为异面直线

C．若，，则或

D．若，，则

【答案】ABD

【详解】对于A，若，，则或与相交或与异面，故A错误；

对于B，若，，则，的位置关系是平行、相交或异面，故B错误；

对于C，若，，则或，故C正确；

对于D，若，，则或与异面，故D错误.

故选：ABD.

11．已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（    ）

A．若O为AD中点，则

B．若O为AD中点，则

C．若O为△ABC的重心，则

D．若O为△ABC的外心，且BC＝4，则

【答案】ABD

【详解】对于A，因为为中点，所以，故A正确；

对于B，由为中点，则，故B正确；

对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；

对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得，

故，故D正确．

故选：ABD．

12．如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，P在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度可以是（    ）

A． B． C．10 D．

【答案】AB

【详解】因为正方体的边长为6，分别是中点，所以，设到的距离为，

因为，得到，

如图，连接，，设与，分别交于，易得，

所以点在线段上，连接，因为面，又面，所以，所以，

又易知，所以

故选：AB.

三、填空题

13．已知复数满足，则的最大值为__________．

【答案】5

【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，

表示复数对应的点到的距离，

点到点的距离为，

所以的最大值为.

故答案为：5

14．从5张分别写有1，2，3，4，5的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为___________.

【答案】/

【详解】从5张卡片中无放回抽取2张，共有，

这10种情况，

其中数字之积为奇数的有共3种情况，

故所求概率为.

故答案为：.

15．在三棱锥中，，，为上一点，，过点作三棱锥的一个截面，，，则截面的周长为__________．

【答案】10

【详解】因为，所以，又为上一点，所以为的中点，

取的中点，的中点，的中点，连接、、、，

则且，且，

所以且，所以为平行四边形，

同理可证且，

又过点作三棱锥的一个截面，，，

所以平面即为截面，

又，，所以、，

所以截面周长为.

故答案为：

16．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．

【答案】/

【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，设，

则，

则，

由，得，

所以当，即时，取得最小值.

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量，，，且与的夹角为．

(1)求；

(2)若与垂直，求的值．

【答案】(1)1

(2)

【详解】（1），，且与的夹角为，

；

（2）若与垂直，

则，

即，

，

．

18．某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．

(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；

(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．

【答案】(1)众数是20；中位数是；平均数为20.32

(2)23.86

【详解】（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；

由，解得，

∵，且，

∴中位数位于之间，设中位数为，

，解得，故中位数是；

平均数为；

（2）75百分位数即为上四分位数，

又∵，，

∴上四分位数位于之间，设上四分位数为，

则，解得．

19．（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由.

（2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率.

【答案】（1）事件A与B独立，理由见解析；（2）0.2212.

【详解】（1），

，

，

则，所以事件A与B独立；

（2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”.

，

，

.

即恰有一人通过考核的概率为0.2212.

20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

(1)求；

(2)若，，求的面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题意，

在中，，

∵，

∴,即，

∴，

∵，

∴，可得，解得：.

（2）由题意及（1）得

在中，，，，

∴为边的中点，

∴,

∴，即，

设，，则，

所以，当且仅当时，等号成立.

∴，当且仅当时，等号成立，

∴的面积的最大值为.

21．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.

(1)画出平面四边形的平面图，并计算其面积；

(2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.

【答案】(1)平面图见解析，面积为

(2)几何体的体积为，表面积为

【详解】（1）

如图1，设与交点为，

因为，，所以，.

的平面图如图2所示：

则，

.

（2）由（1）可得，在中，有，

所以，，所以.

如图3，分别过点作及其延长线的垂线，垂足为.

矩形绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；

绕，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；

绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥.

所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.

则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，

所以，旋转形成的几何体的体积.

旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，

所以.

22．如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心.

(1)若，，，求的值；

(2)若，求的取值范围；

(3)若，若，求的最大值.

【答案】(1)1

(2)

(3)

【详解】（1）以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，，

所以.

（2）设，，

则，.

，

由于，根据对勾函数的性质可知.

（3）；

.

设，，则这两个式子为，

化简得

解得

所以，

设，，

令，

所以由对勾函数的性质得，

所以当时，即点与点重合时，取到最大值.