江苏省泰州中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试卷 Word版含答案
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一、单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.二次函数的零点为( )
A. B. C. D.
3.能正确表示集合和集合关系的Venn图是( )
A. B. C. D.
4.命题“存在实数x,使”的否定是( )
A.对任意实数x,都有
B.存在实数x,使
C.不存在实数x,使
D.对任意实数x,都有
5.“”是“关于x的方程有实数根”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若,则下列不等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
7.己知,,则下列说法中正确的是( )
A.y的最大值为 B.y的最小值为
C.y的最大值为 D.y的最小值为
8.若,则,就称A是具有伙伴关系的集合.集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为( )
A.1 B.3 C.7 D.31
二、多项选择题:共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.下列命题能表述“,”的有( )
A.有一个,使得成立
B.对有些, 使得成立
C.任选一个,都有成立
D.至少有一个,使得成立
10.已知关于x的不等式的解集是,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
11.下列不等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
12.已知关于x的不等式,则下列说法中正确的是( )
A.若不等式的解集为,则
B.若不等式的解集为,则
C.若不等式的解集为R,则
D.若不等式的解集为,则
三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分
13.已知,,则的取值范围是______.
14.已知,集合,,且,则______.
15.下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有______,p是q的必要条件的有______.(填序号)
①,;
②p:四边形是矩形,q:四边形是正方形;
③p:方程有两个不等的实数解,;
④,.
16.已知,,且.若恒成立,则实数m的取值范围为______.
四、解答题:共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.(10分)已知,,其中且.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
18.(12分)解下列不等式:
(1)
(2)
(3)
(4)
19.设集合,.
(1)若,求实数a的值;
(2)若,求实数a的取值范围;
20.(12分)给出如下三个条件:①充分不必要;②必要不充分;③充要.
请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合,,则是的条件.若存在实数m,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.为了鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策,由政府协调,企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台,出厂价为12元/台,每月的销售量y(台)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数.
(1)设他每月获得的利润为W元,写出W与X之间的函数关系式.
(2)根据相关部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3000元的利润,那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?
22.(12分)已知集合P中的元素有个且均为正整数,将集合P分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A,B,C,即,,,,其中,,.若集合A,B,C中元素满足,
,,则称集合P为“完美集合”,
(1)若集合,,判断集合P和集合Q是否为“完美集合”?并说明理由.
(2)若集合为“完美集合”,求正整数x的值.
江苏省泰州中学高一年级第一次质量检测数学试卷(答案)
一、单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
2.二次函数的零点为( )
A. B. C. D.
【答案】B
3.能正确表示集合和集合关系的Venn图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
4.命题“存在实数x,使”的否定是( )
A.对任意实数x,都有
B.存在实数x,使
C.不存在实数x,使
D.对任意实数x,都有
【答案】D
5.“”是“关于x的方程有实数根”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
提示 若方程x的方程有实数根,则,
即,所以“”是“关于x的方程有实数根”的充分不必要条件
6.若,则下列不等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
提示 因为,所以,从而,所以.
7.己知,,则下列说法中正确的是( )
A.y的最大值为 B.y的最小值为
C.y的最大值为 D.y的最小值为
【答案】C
8.若,则,就称A是具有伙伴关系的集合.集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为( )
A.1 B.3 C.7 D.31
【答案】B
提示 因为,所以;因为,所以.
因此,M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有,,.
二、多项选择题:共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.下列命题能表述“,”的有( )
A.有一个,使得成立
B.对有些, 使得成立
C.任选一个,都有成立
D.至少有一个,使得成立
【答案】ABD
10.已知关于x的不等式的解集是,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
11.下列不等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
提示 对于A,.
对于B,当,时,,.
对于C,当且仅当时取“=”.
对于D,当,时,,左边,右边>0;
当,时,,所以.
12.已知关于x的不等式,则下列说法中正确的是( )
A.若不等式的解集为,则
B.若不等式的解集为,则
C.若不等式的解集为R,则
D.若不等式的解集为,则
【答案】ACD
三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分
13.已知,,则的取值范围是______.
【答案】
14.已知,集合,,且,则______.
【答案】.
15.下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有______,p是q的必要条件的有______.(填序号)
①,;
②p:四边形是矩形,q:四边形是正方形;
③p:方程有两个不等的实数解,;
④,.
【答案】.③ ①②③④
16.已知,,且.若恒成立,则实数m的取值范围为______.
【答案】
提示 由题意及基本不等式可得,
当且仅当,时取“=”,所以,解得或.
四、解答题:共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.(10分)已知,,其中且.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【解析】设命题p对应的集合为,即.
命题q对应的集合为.
(1)因为p是q的充分不必要条件,所以,即,解得,
故实数a的取值范围为
(2)因为p是q的必要不充分条件,所以.
①当时,由,得,解得;
②当时,显然不满足题意.
综上,实数a的取值范围为.
18.(12分)解下列不等式:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:(1) (2)或 (3) (4)
19.设集合,.
(1)若,求实数a的值;
(2)若,求实数a的取值范围;
解:∵,∴或,故集合.
(1)∵,∴,代入B中的方程,得或.
当时,,满足条件;
当时,,满足条件.
综上,实数a的值为-1或-3.
(2)对于集合B,.
∵,∴
①当,即时,,满足条件;
②当,即时,,满足条件;
③当,即时,才能满足条件,
则由根与系数的关系,得
,解得矛盾.
综上,实数a的取值范围是.
20.(12分)给出如下三个条件:①充分不必要;②必要不充分;③充要.
请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合,,则是的条件.若存在实数m,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】:若选择①,即是的充分不必要条件,则则,
即,解得,且两个等号不同时成立,
解得,故,即实数m的取值范围是.
若选择②,即是的必要不充分条件,则.
当时,,解得.
当时,,解得,且
两个等号不同时成立,解得,所以.
综上,实数m的取值范围是.
若选择③,即是的充要条件,则,即此方程组无解,
则不存在实数m,使是的充要条件
21.为了鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策,由政府协调,企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台,出厂价为12元/台,每月的销售量y(台)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数.
(1)设他每月获得的利润为W元,写出W与X之间的函数关系式.
(2)根据相关部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3000元的利润,那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?
【解析】:(1)依题意可知每台的销售利润为元,每月的销售量为台,
所以每月获得的利润W与销售单价X之间的函数关系式为.
(2)由每月获得不少于3000元的利润,得,
化简得,解得.又
因为这种节能灯的销售单价不得高于25元,所以.
设政府每个月为他承担的总差价为p元,则.
由,得.
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元
22.(12分)已知集合P中的元素有个且均为正整数,将集合P分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A,B,C,即,,,,其中,,.若集合A,B,C中元素满足,
,,则称集合P为“完美集合”,
(1)若集合,,判断集合P和集合Q是否为“完美集合”?并说明理由.
(2)若集合为“完美集合”,求正整数x的值.
【解析】:(1)对于集合,取,,,
满足,,,,且,
所以集合P为“完美集合”.若为“完美集合”,则存在A,B,C,
使得,,,.
设A中各元素的和为M,B中各元素的和为N,C中各元素的和为L,
则且,所以,它不是整数,
故Q不是“完美集合”.
(2)因为为“完美集合”,由(1)可知.
根据定义可知为P中的最大元素,故.
又C中各元素的和为,所以C的另一个元素为,
它是1,3,4,5,6中的某个数,所以x的值可能为17,13,11,9,7.
当时,,,,满足定义要求:
当时,,,,满足定义要求;
当时,,,,满足定义要求;
当或时,或,3和1没办法写成两个元素的和,
故不满足定义要求.
综上,x的值为7,9,11。
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