江苏省泰州中学2023-2024学年高一上学期第一次月度检测数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知集合M满足,那么这样的集合M的个数为( )
A.5B.6C.7D.8
3、如图U是全集,集合A、B是集合U的两个子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.B.C.D.
4、下列关系正确的是( )
A.B.C.D.
5、命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
6、已知,,则下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
7、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能㓩通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且,设,,则该图形可以完成的无字证明为( )
A.B.
C.D.
8、若两个正实数x,y满足且存在这样的x,y使不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、设集合,,若,则实数a的值可以为( )
A.B.0C.1D.3
10、函数有两个零点,,且,下列关于,的关系中错误的有( )
A.且B.且
C.且D.且
11、下面命题正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“,”是真命题,则
C.设x,则“且”是“”的必要而不充分条件
D.设a,,则“”是“”的必要不充分条件
12、已知,,且,则( )
A.ab的最小值是B.
C.的最大值是D.的最小值是
三、填空题
13、已知集合,,,则_________.
14、设,,求的值为_________.
已知命题：“,使”为真命题,则实数a的取值范围是_________.
15、已知,则的最小值为_________.
四、双空题
16、已知命题,使,则命题p的否定为_________;若命题p为真命题,则实数a的取值范围为_________.
五、解答题
17、回答下列问题
（1）化简：
（2）求值：.
18、解不等式
（1）;
（2）;
（3）
19、在①;②“”是“”的充分不必要条件;③,这三个条件中任选一个,补充到本题第（2）问的横线处,求解下列问题.
问题：已知集合,.
（1）当时,求和;
（2）若__________,求实数a的取值范围.
20、已知不等式的解集为或.
（1）求实数a,b的值;
（2）解关于x的不等式.
21、2020年初,新冠肺炎袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一方面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响,某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元,每生产一万件该产品需要再投入18万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？最大利润是多少？
22、设函数.
（1）若,且集合中有且只有一个元素,求实数a的取值集合;
（2）当时,求不等式的解集;
（3）当,时,记不等式的解集为P,集合.若对于任意正数t,,求的最大值.
参考答案
1、答案：B
解析：
2、答案：D
解析：由题意可知：且M可能包含中的元素,所以集合M的个数即为集合的子集个数,即为个,故选D.
3、答案：B
解析：依题意,阴影部分所表示的集合中任意元素x必须满足：且,即且,于是得,所以图中阴影部分所表示的集合是.
故选：B.
4、答案：D
解析：A.错误,因为元素和集合不能相等,所以该选项错误;
B.错误,因为元素和集合之间只能用“”或“”连接,所以该选项错误;
C.,不相等,所以该选项错误;
D.正确,所以该选项正确.
故选：D.
5、答案：D
解析：命题“”为真命题,则对恒成立,所以,故,
所以命题“,”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可,由于是的真子集,故符合,
故选：D.
6、答案：B
解析：已知,,A：取,,显然满足,但,故A错误;
,则有,故B正确;
取,,,,满足,,此时,故C错误;
取,,,,满足,,此时,故D错误.
故选B.
7、答案：D
解析：由图形可知,,
,
由勾股定理可得,
在中,由可得.
故选：D.
8、答案：D
解析：因为,且,所以,
所以,
当且仅当,即时等号成立.所以,即,
解得或,
所以m的取值范围是.
故选D.
9、答案：ABC
解析：由得：或,即;
,;
当时,,满足题意;
当时,,则或,解得：或;
综上所述：实数a的取值集合为.
故选：ABC.
10、答案：ABD
解析：令,则,
函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标,
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象,如图,
数形结合可得且.
故选：ABD.
11、答案：AB
解析：选项A,由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以“”是“”的充分不必要条件,故A正确;
选项B,“,”是真命题可知,时不成立,当时,只需满足,解得,故B正确;
选项C,根据不等式的性质可知：由且能推出,充分性成立,故C错误;
选项D,因为等价于且,由可推出,而可以等于零,所以由不能推出,所以“”是“”的充分不必要条件,故D错误.
故选：AB.
12、答案：BC
解析：对于A,,,且,
,即时,等号成立,即ab的最大值是,故A不正确;
对于B,,,,
所以,可得B正确;
对于C,,,且,,
即时,等号成立,可得C正确;
对于D,,即,时,
等号成立,即的最小值是,可得D错误;
故选：BC.
13、答案：0或3
解析：,则或,若,,,
满足;若,解得或,时,,,满足;时,A、B不满足集合中元素的互异性,舍去.综上所述,或3.
故答案为：0或3.
14、答案： .
解析：
15、答案：1
解析：.当且仅当,即时,等号成立.
16、答案：,,
解析：.当时,随着x的增大而增大,所以,由题意有,.
17、答案：（1）;
（2）0;
解析：（1）原式=
（2）原式;
18、答案：（1）
（2）.
（3）
解析：（1）由,得,即,解得,所以不等式的解集为;
（2）由已知：,
,
,
.
（3）且,解得或.
即该不等式的解集为：.
19、答案：（1）,
（2）答案不唯一,具体见解析
解析：（1）,,
,.
（2）若选择①,,则,
因为,所以,
又,所以,
解得,所以实数a的取值范围是.
若选择②,“”是“”的充分不必要条件,则,
因为,所以,
又,所以,
解得,所以实数a的取值范围是.
若选择③,,因为,,
所以或,
解得或,
所以实数a的取值范围是.
20、答案：（1）,;
（2）答案见解析
解析：（1）因为不等式的解集为或
所以,且的两根为,
所以,所以,.
（2）,即
①若,则
②若,则或
③若,
当即时,
当即时,无解
当即时,
综上所述：时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
21、答案：（1）
（2）该厂家2020年的促销费用投入5万元时,厂家的利润最大,最大利润为73万元
解析：（1）由题意得,当时,,可得,则,
所以,,
其中.
（2）
当且仅当时,等号成立,故该厂家2020年的促销费用投入5万元时,厂家的利润最大,最大利润为73万元.
22、答案：(1).
(2).
(3).
解析：(1)由已知即为,意时,方程只有一解,满足题意,否则,解得或,因此实数a的取值集合是;
(2)由已知不等式为,即,则 ,所以或,解集为 ;
(3)由题意,所以,又 , 所以 ,
则
令,此时,
则,
当且仅当,即,时等号成立,所以的最大值是.