江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中模拟检测数学试题 Word版含答案

这是一份江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中模拟检测数学试题 Word版含答案，共17页。试卷主要包含了11，命题，则的否定为， 若双曲线C，在R上定义运算⊗等内容，欢迎下载使用。

江苏省泰州中学高二第一学期期中模拟检测
2020.11.6
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.命题，则的否定为（　　）
A． B．
C． D．
2. 若双曲线C:的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
3. 已知关于不等式的解集为，则关于的不等式解集为（ ）
A． B． C． D．

4. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
5.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊗（x+1）＜1对任意实数x成立，则（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣2＜a＜2
6.在公比为q的正项等比数列{an}中，＝1，则当取得最小值时，等于（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
7.在正项等比数列{an}中，a1＝1，前三项的和为7，若存在m，n∈N*使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项的和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则满足＜＜的n的最大值为( )．
A.7 B.8 C.9 D.10

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6
B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为
C．存在点P，使PF1⊥PF2
D．PF1的取值范围是[1，3]
10. 数列{an}是首项为1的正项数列，an+1＝2an+3,Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（　　）
A．＝13 B．数列{ }是等比数列
C．＝4n﹣3 D．
11.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，
＞1，＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．0＜q＜1 B．＞1
C．Sn的最大值为S10 D．Tn的最大值为T9
12. 下列结论不正确的是（　　）
A．当x＞0时，
B．当x＞0时，的最小值是2
C．当时，的最小值是
D．设x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知等差数列的前n项和为，若，，则的值为________．
14. 设椭圆C:的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为________．
15.已知x，y为非负实数，且满足x+2y＝1，则的最小值是　　．
16.为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．(式子要整理成最简形式）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设p：实数x满足x2﹣4ax﹣5a2＜0，a＞0，q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．
（1）若a＝1，A=，B=，求;
（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．


18. 已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）．
（1）若不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；
（2）求不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．





19. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）以椭圆的右焦点为焦点F．
（1）求抛物线方程．
（2）过F作直线L与抛物线交于C，D两点，已知线段CD的中点M横坐标3，求弦|CD|的长度．



20.已知数列{an}中，＝21，＝9，满足（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式
（2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在最大的整数p，使得对任意（n∈N*）均有成立？若存在，求出p，若不存在，请说明理由．







21.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且＝6，. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}通项公式为bn＝2n＋1，求数列的前n项和Tn.







22. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D.
①求的值；
②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值.


江苏省泰州中学高二第一学期期中模拟检测
2020.11.6
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.命题，则的否定为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
2. 若双曲线C:的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．
【解答】解：双曲线的离心率为，
可得，
即，
解得，
双曲线C的渐近线方程为：y＝．
故选：C．
3. 已知关于不等式的解集为，则关于的不等式解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

4. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知B，设P(0，t)，又A(a,0)，
∵＝，∴(－a，t)＝，
∴a＝c，∴e＝＝.

5.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊗（x+1）＜1对任意实数x成立，则（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣2＜a＜2
【分析】不等式即 （x﹣a）（﹣x）＜1，即 x2﹣ax+1＞0恒成立，故有△＝a2﹣4＜0，由此解得不等式的解集．
【解答】解：不等式（x﹣a）⊗（x+1）＜1，即 （x﹣a）（﹣x）＜1，即 x2﹣ax+1＞0恒成立，
故有△＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，
故选：D．
【点评】本题主要考查新定义，一元二次不等式的解法，属于中档题．
6.在公比为q的正项等比数列{an}中，＝1，则当取得最小值时，等于（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】利用基本不等式求解最小值，从而求解q的值，即可求解log2q．
【解答】解：由a4＝1，那么a2＝，a6＝q2，
则2a2+a6＝，当且仅当q＝时，取等号；
∴log2q＝log2＝；
故选：A．
7.在正项等比数列{an}中，a1＝1，前三项的和为7，若存在m，n∈N*使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，则有a1+a2+a3＝1+q+q2＝7，变形可得q2+q﹣6＝0，解可得q的值，又由，分析可得m+n＝6，由基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，则q＞0，
若等比数列{an}的前三项的和为7，即a1+a2+a3＝1+q+q2＝7，
变形可得q2+q﹣6＝0，解可得q＝2或﹣3（舍），
又由，即aman＝16（a1）2，则有a1qm﹣1×a1qn﹣1＝16（a1）2，变形可得m+n＝6，
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的性质的应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．

8.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项的和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则满足＜＜的n的最大值为( )．
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C　
【解析】2an＋1＋Sn＝2，2an＋Sn－1＝2(n≥2)，相减得2an＋1＝an(n≥2)，a1＝1，a2＝，则{an}是首项为1，公比为的等比数列，＜1＋＜，＜＜，则n的最大值为9.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6
B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为
C．存在点P，使PF1⊥PF2
D．PF1的取值范围是[1，3]
【分析】利用椭圆的定义与性质，逐步验证选项的正误即可．
【解答】解：由椭圆方程可知，，从而．
据椭圆定义，PF1+PF2＝2a＝4，又F1F2＝2c＝2，
所以△PF1F2的周长是6，A项正确．
设点P（x0，y0）（y0≠0），因为F1F2＝2，
则．
因为，则△PF1F2面积的最大值为，B项正确．
由图可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．
此时，PF1＝PF2＝a＝2，又F1F2＝2，
则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，
所以不存在点P，使PF1⊥PF2，C项错误．
由图可知，当点P为椭圆C的右顶点时，PF1取最大值，此时PF1＝a+c＝3；
当点P为椭圆C的左顶点时，PF1取最小值，此时PF1＝a﹣c＝1，
所以PF1∈[1，3]，D项正确，
故选：ABD．

10. 数列{an}是首项为1的正项数列，an+1＝2an+3,Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（　　）
A．＝13 B．数列{ }是等比数列
C．＝4n﹣3 D．
【分析】此题在向量基础上把数列综合进来，其本质还是向量线性表示问题．首先利用平面向量找到数列递推公式，再求解．
【解答】解
an+1＝2an+3，
∴an+1+3＝2（an+3），
∴数列{an+3}是等比数列．
又∵a1＝1，
∴，
∴，
∴a3＝13，
∴．
故选：AB．
11.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，
＞1，＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．0＜q＜1 B．＞1
C．Sn的最大值为S10 D．Tn的最大值为T9
【分析】先由题设推出q的取值范围，再逐个选项判断正误即可．
【解答】解：∵a1＞1，a9a10＞1，∴a12q17＞1，∴q＞0，
由＜0，得a9＞1，a10＜1，若不然，a10＞a9，则q＞1，又a1＞1，an＝a1qn﹣1＞1，＜0不成立，
又q＝1时，有a10＝a9，显然与已知矛盾，
综上，有0＜q＜1，故选项A正确；
∵a1＞1，0＜q＜1，∴数列{an}是正项的递减数列，∴Sn没最大值，故选项C错误；
又a9＞1，a10＜1，∴a10a11＜1，T9最大，故选项B错误；选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查等比数列的性质及反证法的应用，属于中档题．

12. 下列结论不正确的是（　　）
A．当x＞0时，
B．当x＞0时，的最小值是2
C．当时，的最小值是
D．设x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值是
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质，逐项判断即可得出．
【解答】解：对于A：x＞0时，，当且仅当x＝1时，取等号，∴A正确；
对于B：x＞0时，设（t≥2），则x2+5＝t2+1，原式转化为，当且仅当t＝1时，取等号，由于t≥2，取不到最小值，∴B不对；
对于C：时，＝＝，当且仅当x＝时，取等号，即最大值是，∴C不对；
对于D：x+y＝2，可得，则＝（）（）＝+，当且仅当x＝，y＝时，取等号，即最小值是，∴D正确；
故选：BC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知等差数列的前n项和为，若，，则的值为________．
-5

14. 设椭圆C:的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为________．
【解析】由，解得，
在△PF1F2中，由正弦定理:，解得，则，
又，可知， ，得
解得， ， ，所以椭C方程
15.已知x，y为非负实数，且满足x+2y＝1，则的最小值是　3　．
【分析】先由x+2y＝1⇒x+2（y+1）＝3，然后对，再由基本不等式可求得其最小值．
【解答】解：∵x，y非负，满足x+2y＝1，
∴x+2（y+1）＝3，
∴＝（）[x+2（y+1）]＝（5++）≥（5+2）＝3，
当且仅当y＝0且x＝1时取“＝“，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于中档题．

16.为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．(式子要整理成最简形式）
【答案】依题意，2019年1月1日存款a元后，账户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元)．
2022年1月1日可取出钱的总数为
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)
＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)]
＝[(1＋p)5－1－p]．
ap＋2a 　[(1＋p)5－1－p]

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设p：实数x满足x2﹣4ax﹣5a2＜0，a＞0，q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．
（1）若a＝1，A=，B=，求;
（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求解一元二次不等式可得p，q为真命题的x的范围，取交集得答案；
（2），求解一元二次不等式可得p，q为真命题的x的范围，q⫋p，可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，若命题p为真命题，则不等式x2﹣4ax﹣5a2＜0可化为x2﹣4x﹣5＜0，
解得﹣1＜x＜5；
若命题q为真命题，则由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．
∵p∧q为真命题，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是（2，3）．
（2）由x2﹣4ax﹣5a2＜0，解得（x﹣5a）（x+a）＜0，又a＞0，∴﹣a＜x＜5a
设p：A＝{x|﹣a＜x＜5a，a＞0}q：B＝{x|2＜x＜3}
∵p是q的必要不充分条件，∴B⫋A
∴，解得≤a
∴实数a的取值范围是[，+∞）．
18. 已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）．
（1）若不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；
（2）求不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．
【分析】（1）由题意可得1为ax2﹣3x+2＝0的根，求得a，再由二次不等式的解法，即可得到得到b的值；
（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
【解答】解：（1）将x＝1代入ax2﹣3x+2＝0，则a＝1，
∴不等式为ax2﹣3x+2＞0即（x﹣1）（x﹣2）＞0，
∴不等式解集为{x|x＞2或x＜1}，∴b＝2；
（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，
当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；
当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1＝，x2＝﹣1，
∴①当a＞0时，＞﹣1，∴解集为{x|x＞或x＜﹣1}；
②当﹣3＜a＜0时，＜﹣1，∴解集为{x|＜x＜﹣1}；
③当a＝﹣3时，＝﹣1，∴解集为∅；
④当a＜﹣3时，＞﹣1，∴解集为{x|﹣1＜x＜}．
【点评】本题考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．



19. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）以椭圆的右焦点为焦点F．
（1）求抛物线方程．
（2）过F作直线L与抛物线交于C，D两点，已知线段CD的中点M横坐标3，求弦|CD|的长度．
【分析】（1）先求出椭圆的右焦点坐标，知，从而可求得抛物线的标准方程；
（2）由于直线过焦点，先利用中点的坐标公式求出x1+x2，利用弦长公式x1+x2+p求出CD的长．
【解答】解：（1）椭圆的右焦点（1，0），
由题意知
∴p＝2．…（2分）
抛物线的标准方程为y2＝4x；
（2）：因为抛物线为y2＝4x，
所以p＝2
设C、D两点横坐标分别为x1，x2，
因为线段CD中点的横坐标为3，
则，即x1+x2＝6，
故|CD|＝x1+x2+p＝6+2＝8．
【点评】本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，一般可以由公式：|AB|═求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程．但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．

20.已知数列{an}中，＝21，＝9，满足（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式
（2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在最大的整数p，使得对任意（n∈N*）均有成立？若存在，求出p，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由，
知{an}是等差数列．
由a1＝21，a5＝9得：，
∴an＝24﹣3n．
（2），
∴
由对任意n∈N*，均有成立知，，
又当n＝1时，，
∴p＜6，故存在最大的整数p＝5，使得对任意n∈N*，均有成立．


21.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且＝6，. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}通项公式为bn＝2n＋1，求数列的前n项和Tn.
[解]　(1)设{an}的公比为q，
由题意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2.
又an＞0，解得a1＝2，q＝2，
所以an＝2n.
(2) bn＝2n＋1.
令cn＝，则cn＝，
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得
Tn＝＋－＝＋1－n－1－＝－，
所以Tn＝5－.



22. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D.
①求的值；
②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值.
解：（1）依题意可得解得，故椭圆的方程为；
（2）①设的方程为，，
联立消去并整理得到
，
于是
同理可得

②由①知，，，，
所以，
所以的中点
所以
当且仅当即时取等号，
所以面积的最大值为