2023-2024学年江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学高一上学期12月联合质量检测数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学高一上学期12月联合质量检测数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M=x−2( )
A. 3B. 4C. 7D. 8
2.已知函数f(x)=−sin x,x<0x12,x⩾0，则ff−π6的值为
( )
A. 4B. 2C. 22D. 14
3.下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是( )
A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型
4.不等式x2−x−m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是
( )
A. m≤−14B. m<−14C. m<−12D. −15.已知sin α+cs α=−12，则cs (π2+α)1−tan (−α)的值为
( )
A. −34B. 34C. −316D. 316
6.函数f(x)=1−2x1+2x⋅sinx−4≤x≤4的图象大致形状是
( )
A. B.
C. D.
7.设a=160.3，b=lg23，c=lg34，则
( )
A. a>b>cB. c>b>aC. a>c>bD. b>a>c
8.设函数fx=2x+a,x<14x+ax+2a,x≥1，若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是
( )
A. −2,−12B. −∞,−2∪−1,−12
C. −∞,−1D. −2,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 已知角α的终边经过点P−2,4，则函数sinα−csα的值等于 55
B. 幂函数y=xα(α>0)的图象始终经过点0,0和1,1
C. “a>3且b>3”是“ab>9”的充分不必要条件
D. 若函数fx=lg3x，则∀x1,x2∈0,+∞有fx1+fx22≤fx1+x22
10.下列函数中最大值为1的有( )
A. y=x2+14x2B. y=x+1x−3,x<3
C. y=2exe2x+1,x>0D. y=2x 1−x2,x∈[0,1]
11.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为圆O与x轴正半轴的交点，Q的角速度大小为5rad/s，起点为角−π3的终边与圆O的交点，则当Q与P重合时，Q的坐标可以为
( )
A. cs2π9,sin2π9B. csπ9,−sinπ9
C. −cs5π9,−sin5π9D. −csπ9,sinπ9
12.已知x0是函数fx=ex+2x−4的零点(其中e=2.71828…为自然对数的底数)，则下列说法正确的有
( )
A. x0∈12,1B. ln4−2x0=x0
C. x02−x0>1D. 2x0+1−e−x0>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．
14.若cs5π6−θ=−23，θ∈0,π2，则sinθ+π6的值为________．
15.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx=−fx−2，当x∈0,1时，fx=3x−2，则flg336=_______．
16.不等式x2−x−2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)0.125−13+ −26+π0+sin20236π；
(2)设2a=3b=18，求2a+bab．
18.(本小题12分)
设全集U=R，集合A=xx2−2x−8≤0，B=xx−2x+6≥0．
(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)已知集合C=x∣10−a19.(本小题12分)
已知角α满足cs α+7sin α=0．
(1)若−π2<α<0，求sin α，cs α的值；
(2)若角β的终边与角α的终边关于x轴对称，求sinβ−3csβ2sinβ+csβ的值．
20.(本小题12分)
据悉一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y(元)与发车时间间隔t(分钟)相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当8≤t≤12时，单程营业额Y与4t−60t+12成正比；当5≤t≤8时，单程营业额会在t=8时的基础上减少，减少的数量为408−t2．
(1)求当5≤t≤12时，单程营业额Y关于发车间隔时间t的函数表达式；
(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间t∈8,12，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R最大？求出该最大值．
21.(本小题12分)
已知函数fx=lg39x+1+kx为偶函数．
(1)求实数k的值;
(2)设g(x)=lg3(a⋅3x+a)(a≠0)，若函数fx与gx的图象有2个不同的公共点，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx=12ex+e−x，gx=12ex−e−x．
(1)利用函数单调性的定义，证明：fx在区间0,+∞上是增函数；
(2)已知Fx=4f2x−4mfx+9，其中m是大于1的实数，当x∈0,lnm时，Fx≥0恒成立，求实数m的取值范围；
(3)当a≥0，判断gxfx与afx+1−a的大小，并注明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算以及集合子集个数的求解，属于基础题．
利用集合交集的定义求出M∩N，然后利用子集个数的计算公式求解即可．
【解答】
解：因为集合M=x−2所以M∩N={0,2,4}，
故 M∩N的子集的个数为23=8．
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查求分段函数的函数值，属于基础题．
利用分段函数解析式，由内向外逐个求解即可．
【解答】解：因为f(x)=−sin x,x<0,x 12,x⩾0,,
所以，所以f [f (−π6)]=f12=1212= 22．
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用，以及几种常规函数的性质，属于基础题．
根据函数值的增加幅度进行判断即可．
【解答】
解：由表格中的数据可得，随着自变量x增加，函数值也在增加，但是增加的幅度越来越小，
则最可能的函数模型是对数函数模型．
故选D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于中档题．
由不等式x2−x−m>0在x∈R上恒成立，可得m<−14，然后根据必要不充分条件的概念逐项判断即可．
【解答】
解：∵不等式x2−x−m>0在x∈R上恒成立，
∴Δ=(−1)2+4m<0，解得m<−14，
结合选项可知该条件的一个必要不充分条件是A．
故选A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
根据sinα+csα=−12，求出sinαcsα的值，然后化简所求式子，整体代入即可得解．
【解答】解：sinα+csα=−12①，
所以(sinα+csα)2=14，
即sin2α+cs2α+2sinαcsα=14，
故sinαcsα=−38．
则cs (π2+α)1−tan (−α)=−sinα1+tanα=−sinαcsαcsα+sinα=−(−38)−12=−34，
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，函数图象的识别，属于基础题．
利用偶函数定义得f(x)为偶函数，排除B与D，再利用指数函数和正弦函数性质得当x∈(0,π2)时，f(x)<0，排除A，从而得结论．
【解答】
解：因为函数f(x)的定义域为−4,4，
且f(−x)=1−2−x1+2−x⋅sin(−x)=−2x−12x+1⋅sinx=f(x)，
所以f(x)为偶函数，因此排除B，D ;
又因为当x∈(0,π2)时，2x>1，所以1−2x1+2x<0，
而sinx>0，因此f(x)<0，所以排除A，故选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数和对数函数的图象与性质比较实数的大小，属于基础题．
易知a>2，b<2，利用中间值32比较b和c的大小，即可得出结论．
【解答】
解：因为a=160.3=240.3=21.2>21=2，lg22=1所以1，c=lg34<，
所以a>b>c．
故选A．
8.【答案】B
【解析】解：当a=0时，x<1时，f(x)=2x无零点，
x≥1时，f(x)=4x2只有一个零点，故排除D，
当a=−4时，x<1时，f(x)=2x−4=0，解得x=2不符合条件，
x≥1时，f(x)=4(x−4)(x−8)=0解得x=4或x=8，
此时f(x)有2个零点，符合条件，排除A，
当a=−32时，x<1时，f(x)=2x−32=0，解得x=lg2 32符合条件，
x≥1时，f(x)=4(x−32)(x−3)=0解得x=32或x=3，此时f(x)有3个零点，不符合条件，
排除C，
故选：B．
特值排除法，用a=0代入排除D，用a=−4代入排除A，用a=−32代入排除C，从而得到正确选项．
本题考查了分段函数的零点，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数定义，幂函数的图象与性质，充分条件与必要条件判断，对数函数的性质，属于基础题．
根据任意三角函数的定义可判断A；根据幂函数的性质可判断B；根据不等式的性质及取特殊值即可判断C，根据对数运算性质及基本不等式可判断D．
【解答】
解：由于角α的终边上的点P的坐标为P(−2,4)，则sinα=4 (−2)2+42=2 55，csα=−2 (−2)2+42=− 55，则sin α−cs α=3 55，故选项A错误；
幂函数y=xα(α>0)的图象始终经过点0,0和1,1，故选项B正确；
由“a>3且b>3”可得“ab>9”，而“ab>9”，取a=10，b=1，不满足“a>3且b>3”，所以“a>3且b>3”是“ab>3”的充分不必要条件，故选项C正确；
任意的∀x1,x2∈(0,+∞)，要证f(x1)+f(x2)2⩽f(x1+x22)，
即证lg3x1+lg3x22⩽lg3x1+x22，
即x1x2⩽(x1+x22)2，
即x12+x22⩾2x1x2，易知成立，故选项D正确．
故选：BCD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．
根据基本不等式，逐个求最值即可得出结论．
【解答】
解：对于A：y=x2+14x2 ≥2 x2⋅14x2=1，
当且仅当x2=14x2，即x=± 22时取等号，所以最小值是1，没有最大值，故A错误；
对于B： ∵x<3， ∴x−3<0，
则y=x+1x−3=x−3+1x−3+3=−[−(x−3)+ 1−(x−3)]+3≤−2 −(x−3)⋅1−(x−3)+3=1，
当且仅当−(x−3)=1−(x−3)，即x=2时取等号，
即y=x+1(x−3)，x<3的最大值为1，故B正确．
对于C：y=2exe2x+1=2ex+1ex ≤22 ex⋅1ex=1，
当且仅当ex=1ex，即x=0时等号成立，但x>0，故函数取不到1，故C错误；
对于D：因为x∈[0,1]，所以y=2x 1−x2=2 x2(1−x2)≤2×x2+1−x22=1，
当且仅当x2=1−x2，即x= 22时取等号，
所以y=2x 1−x2，x∈[0,1]的最大值为1，故D正确．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查终边相同的角，三角函数的定义，以及有点公式的应用，属于基础题．
确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值，利用诱导公式，对比选项即可得解．
【解答】
解：由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为(12,− 32)，锐角∠Q1OP=π3，
设t时刻两点重合，则5t−2t=π3+2kπ，(k∈N)，即t=π9+2k3π，(k∈N)，
此时点Q(cs(−π3+5t),sin(−π3+5t))，
即Q(cs(2π9+10k3π),sin(2π9+10k3π))，(k∈N)，
当k=0时，Q(cs2π9,sin2π9)，故A正确;
当k=1时，Q(cs32π9,sin32π9)，即Q(−cs5π9,−sin5π9)，故C正确．
当k=2时，Q(cs62π9,sin62π9)，即Q(−csπ9,sinπ9)，故D正确．
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的零点判定定理，涉及命题真假的判断，属于中档题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：对于A，因为函数f(x)=ex+2x−4在R上是增函数，f(0)=1−4=−3<0，f12= e−3<0，f(1)=e+2−4>0，
由零点存在性定理可得：函数的零点x0∈12,1 ，故选项A正确;
对于B，由f(x0)=ex0+2x0−4=0可得：4−2x0=ex0，
两边同时取自然对数可得：ln(4−2x0)=x0，故选项B正确;
对于C，因为x0∈12,1 ，所以2−x0>1，则有x02−x0<1，故选项C错误;
对于D，因为x0∈12,1 ，所以2x0−e−x0+1=2x0ex0−1+ex0ex0=2x0ex0+(ex0−1)ex0>0，
故选项D正确，
故选：ABD．
13.【答案】92
【解析】【分析】
本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．
设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=9，l=r，根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．
【解答】
解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=9，
∵圆心角为1rad的弧长l=r，
∴3r=9，则r=3，l=3，
则对应的扇形的面积S=12lr=12×3×3=92．
故答案是：92．
14.【答案】 53
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
先利用诱导公式求得 cs (θ+π6)=23，并判断得，再结合同角三角函数的基本关系求得 sin (θ+π6)．
【解答】
解：由题意得，
又 θ∈(0,π2)，∴ ，
所以 sin (θ+π6)= 1−cs2(θ+π6)= 1−232= 53．
15.【答案】−14
【解析】【分析】
本题考查函数函数的奇偶性、求函数值，属于基础题．
利用fx=−fx−2可得f(lg336)=flg349 ，由奇偶性得 f(lg336)=flg349 =−f−lg349=−flg394=−3lg394−2，代入解析式求解．
【解答】
解：∵fx=−fx−2，lg336=2+lg34，
∴f(lg336)=−flg336−2=−flg34=flg34−2=flg349 ，
∵fx是定义在R上的奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
∴f(lg336)=flg349 =−f−lg349=−flg394=−3lg394−2=−94−2=−14，
故答案为−14．
16.【答案】(0,2)
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解不等式，考查函数的单调性的判定，考查解不含参的一元二次不等式，属于中档题．
不等式x2−x−20，令g(x)=lnx+x，易得g(x)在(0,+∞)上单调递增，再利用函数的单调性解不等式即可．
【解答】
解：不等式x2−x−2可化为：x2+lnx20)
令g(x)=lnx+x，
任取0则g(x1)−g(x2)=x1+lnx1−x2−lnx2=x1−x2+lnx1x2，
因为0所以x1−x2<0，0故lnx1x2<0，
所以g(x1)−g(x2)<0，
即g(x1)故g(x)在(0,+∞)上单调递增，
则由x2+lnx20)
可得x2即x2−x−2<0，
解得−1结合x>0，
故原不等式的解集为(0,2)，
故答案为：(0,2)．
17.【答案】解：(1)0.125−13+ (−2)6+π0+sin 20236π=0.53 −13+8+1−12=2+8+1−12=212；
(2)∵2a=3b=18，∴a=lg218，b=lg318．
∴1a=lg182，1b=lg183
∴2a+bab=2b+1a=2⋅lg183+lg182
=lg189+lg182
=lg1818=1．
【解析】本题考查指数与对数运算，属于基础题．
(1)根据指数幂的运算性质以及三角函数诱导公式化简即可求解；
(2)根据对数的运算以及换底公式即可求解．
18.【答案】解：(1)∵A={x|(x−4)(x+2)≤0}={x|−2≤x≤4}，B={x|x<−6，或x≥2}，
∴∁UB={x|−6≤x<2}，
∴A∩(∁UB)={x|−2≤x<2}，
所以图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|−2≤x<2}；
(2)当C=⌀时，10−a≥2a+1，即a≤3时，满足题意；
当C≠⌀时，即a>3时，
由题意可得10−a≥2，或2a+1≤−6，
又a>3，∴3综上：a≤8，即a的取值范围为(−∞,8]．
【解析】本题主要考查集合的运算，含参数的集合关系的问题，属于基础题．(1)图中阴影部分表示A∩(∁UB)，根据交集、补集的定义计算可得；
(2)依题意分C=⌀与C≠⌀两种情况讨论，列出不等式求解即可．
19.【答案】解：(1)因为−π2<α<0，所以sinα<0，csα>0
由csα+7sinα=0，得csα=−7sinα，
又因为sin2α+cs2α=1，所以50sin2α=1，
sinα=− 210
csα=7 210
(2)因为角β的终边与角α的终边关于x轴对称，
所以β=−α+2kπ，k∈Z
由csα+7sinα=0，得tanα=−17
则tanβ=−tanα=17
所以sinβ−3csβ2sinβ+csβ=tanβ−32tanβ+1=17−32×17+1=−209
【解析】本题考查同角三角函数基本关系，三角函数值的符号特征，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当8≤t≤12时，
设Y=a(4t−60t+12)，
由t=12时满载可知Y=2200，
即 a4×12−6012+12=2200 ，
则a=40，
所以当8≤t≤12时，
Y=160(t−15t+3)，
当5≤t≤8时，
单程营业额Y=160(8−158+3)−408−t2
=−40t2+640t−1100，
则Y=160(t−15t+3),8≤t≤12−40t2+640t−1100,5≤t<8；
(2)R=160(t−15t+3)⋅120t，t∈[8,12]，
化简得R=19200(−15⋅1t2+3⋅1t+1)，t∈[8,12]，
令1t=u∈[112,18]，
则R=19200(−15u2+3u+1)，
当u=110，
即t=10时，Rmax=22080．
答;发车时间间隔为10分钟时，每辆列车的日均营业总额最大，最大值为22080元．
【解析】本题考查利用分段函数模型解决实际问题，考查二次函数的最值，属于中档题．
(1)分别求得当8≤t≤12时，当5≤t≤8时的函数解析式，即可得解．
(2)R=160(t−15t+3)⋅120t，t∈[8,12]，由换元法结合二次函数的性质可得最大值．
21.【答案】解：(1)函数的定义域为R，函数f(x)=lg3(9x+1)+kx为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，即lg3(9−x+1)−kx=lg3(9x+1)+kx，
2kx=lg3(9−x+1)−lg3(9x+1)=lg39−x+19x+1=−2x，
所以k=−1；
(2)因为函数f(x)与g(x)图象有2个不同的公共点，
所以方程f(x)=g(x)有两个不同的实数根，
由(1)知f(x)=lg3(9x+1)−x=lg33x+13x，
所以方程a⋅3x+a=3x+13x有两个不同的实数根，
设t=3x>0，则at+a=t+1t，即(a−1)t2+at−1=0，
又t=3x在R上单调递增，
所以方程(a−1)t2+at−1=0在(0,+∞)有两个不等根;
所以a−1≠0△=a2−4(a−1)×(−1)>0−aa−1>0−1a−1>0，解得2 2−2所以a的取值范围为(2 2−2,1)．
【解析】本题考查函数的奇偶性，方程的解，以及换元法，属于中档题．
(1)由函数为偶函数，满足f(−x)=f(x)，即可解出k值；
(2)将两个函数图象的交点问题转化为方程的解的问题，通过换元，结合二次函数性质即可求实数a的取值范围．
22.【答案】(1)证明：设x1，x2为区间[0,+∞)上的任意两个值，且x1因为f(x2)−f(x1)=12(ex2+e−x2)−12(ex1+e−x1)
=12(ex2−ex1)(1−e−x2−x1)，
且ex2−ex1>0，1−e−x2−x1>0，
所以f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1).
故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数．
(2)解：F(x)=4f2(x)−4mf(x)+9=(ex+e−x)2−2m(ex+e−x)+9，
由(1)知，当x∈[0,lnm]时f(x)单调递增，所以f(x)∈[1,12(m+1m)]，且m>1．
设t=ex+e−x=2f(x)∈[2,m+1m]，
记G(t)=t2−2mt+9=(t−m)2+9−m2，
①当1只需G(t)min=G(2)=13−4m≥0即可，
解得m≤134．
又因为1②当m>2时，G(t)在[2,m]上递减，在[m,m+1m]上递增，
只需G(t)min=G(m)=9−m2≥0即可，
解得−3≤m≤3.
又因为m>2，所以m∈(2,3]．
综上，实数m的取值范围是(1,3]．
(3)g(x)f(x)理由如下：
gxfx−[af(x)+(1−a)]=1f(x)[g(x)−(a(f(x))2+(1−a)f(x))]
=1f(x)[a(f(x)−(f(x))2)+(g(x)−f(x))]．
因为f(x)≥f(0)=1，所以f(x)−(f(x))2≤0;
因为a≥0，所以故a(f(x)−(f(x))2)≤0.
又因为g(x)−f(x)=−e−x<0，
所以a(f(x)−(f(x))2)+(g(x)−f(x))<0，
结合f(x)>0，可得g(x)f(x)−[af(x)+(1−a)]<0．
故g(x)f(x)【解析】本题考查函数的单调性、指数函数的性质以及利用作差法比较大小，属于拔高题．
(1)利用定义法进行证明即可；
(2)设t=ex+e−x=2f(x)∈[2,m+1m]，记G(t)=t2−2mt+9=(t−m)2+9−m2，结合二次函数的性质求出最值即可；
(3)利用作差法进行证明即可．x
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0.63
1.01
1.26
1.46
1.63
1.77
1.89
1.99

2023-2024学年江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学高一上学期12月联合质量检测数学试卷（含解析）

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