江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期中数学试题

2022—2023学年度第二学期期中质量监测

高一年级数学试题

（本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设为实数，若向量，，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．4

2．已知复数，则下列结论正确的是（    ）

A．的虚部为 B． C．为纯虚数 D．

3．在中，若，，，则（    ）

A．或 B． C． D．或

4．已知中，，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知，，，均为锐角，则的值为（    ）

A． B． C． D．或

6．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

7．在中，，，则的大小为（    ）

A．或 B． C． D．或

8．在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知向量，，且，则（    ）

A．  B．

C．向量与向量的夹角是45° D．向量在向量上的投影向量坐标是

10．下列结论中正确的是（    ）

A．若，则或

B．若，则

C．若复数满足，则的最大值为3

D．若（，），则

11．下列各式的值为的是（    ）

A． B．

C． D．

12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（    ）

A．外接圆的半径为

B．若的平分线与交于，则的长为

C．若为的中点，则的长为

D．若为的外心，则

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．在中，若，，则的值为______．

14．若，则的值为______．

15．已知四边形中，，，是的中点，，，则的长为______．

16．函数的零点个数为______．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

已知复数满足，的虚部为2，所对应的点在第三象限，求：

（1）复数；

（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

18．（本题满分12分）

已知，，，求：

（1）；

（2）与的夹角．

19．（本题满分12分）

已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且．

（1）求顶点的坐标；

（2）若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求．

20．（本题满分12分）

在中，已知，最长边的长为．

（1）求的大小；

（2）若，求最短边的长．

21．（本题满分12分）

已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

22．（本题满分12分）

已知中，点是线段上一点，，且①，②，③，④．

（1）求的长；

（2）为边上的一点，若为锐角三角形，求的周长取值范围．

上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．

你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程．

高一数学参考答案

一、选择题

1．∵，，，∴，故选B．

2．，故选C．

3．∵，∴，又∵且，∴，故选B．

4．由课本p19例4知选A．

5．由题可知：，，∴，故选A．

6．分别作出与的图象，易知选B．

7．，知，又∵，∴，故选C．

8．由，又，得，故选C．

二、多选题

9．由得，故选ACD．

10．也满足A，由，知D错，故选BC．

11．由知A对，B结果为，故选AC．

12．由题中条件可算得，，，由投影向量的几何意义可得D为正确，故选BD．

三、填空题

13．

14．由，知

15．在中，，，

同理在中，，

在中，得

16．由

易知零点个数为6

四、解答题

17．解：（1）设（，），

所以，①

因为，又的虚部为2，

所以，②

由①②解得或，所以或，

又所对应的点在第三象限，所以．

（2），

因为复数在复平面上对应的点在第二象限，

所以，解得，

故实数的取值范围为．

18．解：（1）因为，

所以，，

将，，代入得，

所以，

（2）因为，，

所以，

设与夹角为，

所以

又因为，所以，即与夹角为．

19．解：（1）设，因为，，，

则，，，

在直角梯形中，，且，

所以，为直角，则，即，

解得，，所以顶点的坐标为．

（2）因为为线段上靠近点的三等分点，则，

设，则，

所以，，所以，

又因为为线段的中点，则，

所以，，

则，

所以

20．解：（1）因为，

所以，即．

在中，由余弦定理得，

又，故．

（2）因，故，

又因为，所以．

所以为最小角，为最大角，则为最短边，为最大边．

由，可得，解得

．

在中，由正弦定理得，

即，得．

21．解：（1）

所以函数的最小正周期，

（2）因为

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，所以，所以，

所以对恒成立，

令则，

则问题转化为对恒成立，

因为在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以在上的最大值为，

所以，所以实数的取值范围．

22．解：（1）去掉条件①：设，，则．

在中，

即①

同理在中，

即③

由①②联立可得，．

即，，故．

去掉条件④：设，则，在中，

同理在中，，

因为，所以，

即，解得：．

所以；

去掉②，③答案均不唯一，不成立．

（2）若删去①：

由（1）知，设，因为，则．

在中，由正弦定理知

则，，

所以的周长

因为为锐角三角形，则

所以，又∵

∴当时，在边上

所以，

因为在为单调增函数，则，

所以．

所以周长的取值范围为．

若删去④：

由（1）知，则在中由余弦定理得

，

因为，则．

下面过程同删去①