专题09 二元一次方程（组）及其应用（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题09 二元一次方程（组）及其应用

一、单选题

1．（2022·安徽九年级专题练习）若xm﹣n﹣2ym+n﹣2＝2018．是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（　　）

A．m＝1，n＝0 B．m＝0，n＝1 C．m＝2，n＝1 D．m＝2，n＝3

【答案】C

【分析】

根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可．

【详解】

解：根据题意得，

即，

解得：，

故选：C．

2．（2022·浙江杭州市·）2022年高桥初中教育集团足球联赛在我校进行，集团足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某支足球队共进行了8场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能有（　　）种．

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】

设该队获胜x场，踢平y场，则负了（8-x-y）场，根据得分=3×获胜场次数+1×踢平场次数，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y，（8-x-y）均为自然数，即可得出结论．

【详解】

解：设该队获胜x场，踢平y场，则负了（8-x-y）场，

依题意得：3x+y=12，

∴x=4-y，

∵x，y，（8-x-y）均为自然数，

∴或或．

∴该队获胜的场数可能有3种．

故选：A．

3．（2022·黑龙江九年级二模）李老师一次购买单价分别为5元/瓶、8元/瓶的消毒液共用了90元，购买两种（两种都买）消毒液的数量和最多是（  ）

A．18瓶 B．17瓶 C．16瓶 D．15瓶

【答案】D

【分析】

设购买5元/瓶的消毒液x瓶，购买8元/瓶的消毒液y瓶，列出二元一次方程，找出和最大的一组整数解即可．

【详解】

解：设购买5元/瓶的消毒液x瓶，购买8元/瓶的消毒液y瓶，

根据题意可得，

要使购买数量和最多，优先购买5元/瓶的消毒液，

当时，，不符合实际，舍去；

当时，，不符合实际，舍去；

当时，，不符合实际，舍去；

当时，，不符合实际，舍去；

当时，，符合实际，∴最多买15瓶，

故选：D．

4．（2022·黑龙江九年级三模）社区李主任要用600元钱购买一次性防护服和医用洗手液两种防疫用品，一次性防护服每套40元，医用洗手液每瓶30元，李主任的购买方案共有（    ）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【答案】B

【分析】

设购买一次性防护服x套，医用洗手液y瓶，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解即可判断．

【详解】

设购买一次性防护服x套，医用洗手液y瓶，依题意可得40x+30y=600

解得其正整数解为，，，

故李主任的购买方案共有4种

故选B．

5．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）某商店出售两种规格口罩，2大盒、4小盒共装80个口罩；3大盒、5小盒共装110个口罩，大盒与小盒每盒各装多少个口罩？设大盒装x个，小盒装y个，则下列方程组中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据等量关系“2大盒、4小盒共装80个口罩”和“3大盒、5小盒共装110个口罩”列出关于x，y的二元一次方程组即可．

【详解】

解：依题意得：

．

故选C．

6．（2017·安徽九年级专题练习）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝﹣6的解，则k的值是（    ）

A．﹣ B． C． D．﹣

【答案】A

【分析】

先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x＋3y＝﹣6中可得．

【详解】

解：解方程组 ，

得：x＝7k，y＝﹣2k，

把x，y代入二元一次方程2x＋3y＝﹣6，

得：2×7k＋3×（﹣2k）＝﹣6，

解得：k＝﹣，

故选：A．

7．（2022·全国）陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定弄错了．”陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于5元的整数，那么笔记本的单价可能是（    ）元．

A．1元 B．2元 C．3元 D．4元

【答案】B

【分析】

设购买单价为8元的书x本，笔记本的单价为y元，则购买单价为12元的书（105﹣x）本，根据105本书及笔记本共花了（1500﹣418）元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，且y＜5，即可求出结论．

【详解】

解：设购买单价为8元的书x本，笔记本的单价为y元，则购买单价为12元的书（105﹣x）本，

依题意，得：8x+y+12（105﹣x）＝1500﹣418，

∴x＝ ，

又∵x，y均为正整数，且y＜5，

∴x＝45，y＝2．

故选：B．

8．（2022·武城县四女寺镇明智中学九年级一模）已知方程组，则的值为（    ）

A．-1 B．0 C．2 D．-3

【答案】D

【分析】

先分别利用加、减法求出x＋y与x−y的值，原式分解后代入计算即可求出值．

【详解】

解：，

①＋②得：，即，

①−②得：，

．

故选：D．

9．（2022·黑龙江齐齐哈尔·）喜迎建党100周年，某校将举办以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，计划用80元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品（两种笔记本都买），已知甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本12元，80元恰好用完，则购买笔记本的方案共有（    ）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【答案】A

【分析】

设购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本，根据两种笔记本的总价为80元，建立方程，求出其解即可．

【详解】

解：设购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本，根据两种笔记本的总价为80元，由题意得

，

∵x、y为整数，
∴y=6，4，2时，x=1，4，7，
∴共有3种购买方案．
故选：A．

10．（2022·河北九年级期中）已知，则用含的代数式表示为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

消去t，确定出x与y的关系式即可．

【详解】

解：，
①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9，
故选：A．

二、填空题

11．（2019·宁夏银川市·）方程组的解中x与y的值相等，则k等于_______．

【答案】1

【分析】

根据x与y的值代入，把y=x代入方程组求出k的值即可．

【详解】

解：根据题意得：y=x，

代入方程组得：，

解得：，

故答案为：1．

12．（2022·沙坪坝·重庆八中九年级模拟预测）为了满足不同群体的口味偏好，某坚果公司推出原味和奶香味两种口味的袋装坚果，原味每袋有8克核桃仁，8克巴旦木，8克黑加仑；奶香味每袋有16克核桃仁，6克巴旦木，6克黑加仑．每袋坚果的成本为三种坚果成本之和．已知核桃仁每克成本价0.25元，原味坚果每袋的售价为9.45元，利润率为12.5%，奶香味坚果每袋利润率为25%．若这两种袋装的销售利润率达到20%，则该公司销售原味、奶香味两种坚果的数量之比为________．

【答案】44∶63

【分析】

根据已知条件列出表格，算出奶香成本和利润，即可得解；

【详解】

，

∴，

∴奶香成本，

利润，

∴，

∴；

13．（2022·湖南）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问可以买________斗醇酒和_________斗行酒．

【答案】       

【分析】

设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】

解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组得：

，

解得；

故答案为：；．

14．（2022·黑龙江绥化·）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．

【答案】330

【分析】

设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．

【详解】

解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，

依题意，得：，

解得：

∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．

设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：

m≥(20-m)，解得：m≥，

∴≤m≤20，

设总费用为W，根据题意得：

W=20m+15(20-m)=5m+300，

∵k=5>0，

∴W随m的减小而减小，

∴当m=6时，W有最小值，

∴W=5×6+300=330元

则在购买方案中最少费用是330元．

故答案为：330．

15．（2022·四川绵阳·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省_____元．

【答案】145

【分析】

设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，根据“打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数=打折前购买的总费用-打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．

【详解】

解：设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，

依题意得：， 解得：，

∴5x+5y-（0.6×5x+0.7×5y）=5×50+5×30-（0.6×5×50+0.7×5×30）=145．

故答案为：145．

三、解答题

16．（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：．

【答案】

【分析】

先把原方程去分母，然后利用加减消元法进行解方程即可得到答案.

【详解】

解：

去分母得：

得6a=18，解得a=3

把a=3代入②得，解得

∴方程组的解是：

17．（2022·福建省福州外国语学校九年级三模）解方程组：

【答案】

【分析】

观察方程组中各未知数的系数特点，可用①②消去，解得，再代入①方程得到，因此可得原方程组的解．

【详解】

解：

①②得，解得：，

把代入①中，得，解得：，

原方程组的解为．

18．（2022·福建厦门一中九年级三模）解方程组：

【答案】

【分析】

方程组利用加减消元法求出解即可．

【详解】

解：，

①+②得：，

解得：，代入①中，

解得：，

则原方程组的解是．

19．（2022·佛山市华英学校九年级一模）为积极响应政府提出的“绿色发展低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需6400元．

（1）求男式单车和女式单车的单价；

（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，购置两种单车的费用不超过2000元，该社区至多购置女式单车多少辆？

【答案】（1）男式单车的单价为800元，女式单车的单价为600元；（2）该社区至多购置女式单车12辆．

【分析】

（1）设男式单车的单价为x元，女式单车的单价为y元，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需6400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设该社区购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据总价=单价×数量，结合购置两种单车的费用不超过20000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设男式单车的单价为x元，女式单车的单价为y元，

依题意得：，

解得：．

答：男式单车的单价为800元，女式单车的单价为600元．

（2）设该社区购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，

依题意得：600m+800（m+4）≤20000，

解得：m≤12．

答：该社区至多购置女式单车12辆．

20．（2022·福建省福州杨桥中学）解方程组；

【答案】

【分析】

直接利用代入消元法即可求解．

【详解】

解：

由①得：y=9-5x，代入②，得：3（9-5x）-x=3， 解得x= 1.5，

代入①得：y=1.5；

∴原方程组的解为：

21．（2022·南通市新桥中学九年级月考）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．

（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元？

（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为w元．

①求关于a的函数关系式；

②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

【答案】（1）每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元；（2）①（且为正整数）；②商店购进A型电脑台和购进B型电脑台的销售利润最大．

【分析】

（1）设每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元，根据题意建立二元一次方程组解决问题；

（2）①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，根据（1）的结论以及总利润等于每台电脑的利润乘以总数列出函数关系式，根据题意建立一元一次不等式组，确定的范围；

②根据①的结论，以及一次函数的性质求得最值即可．

【详解】

（1）设每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元，根据题意，得：

解得，

答：每台A型电脑销售利润为元，每台B型电脑销售利润为元．

（2）①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台，依题意得：

，

即，

解得，

关于a的函数关系式为：（且为正整数），

②，

，

随的增大而减小，

且为正整数，

当时，取得最大值，

则购进B型电脑（台），

答：商店购进A型电脑台和购进B型电脑台的销售利润最大．

22．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）为抗疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩．

（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；

（2）已知普通口罩每包进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．

【答案】（1）普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元；（2）10元

【分析】

（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；

（2）设普通口罩每包的售价降低m元，根据题意列出一元二次方程求解即可；

【详解】

.解：（1）设普通口罩每包的售价为元，N95口罩每包的售价为元，

依题意，得：，

解得：．

答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．

（2）设普通口罩每包的售价降低元，则此时普通口罩每包的售价为元，日均销售量为包，

依题意，得：，

整理，得：，

解得：，（不合题意，舍去），

∴．

答：此时普通口罩每包的售价为10元．

23．（2022·佛山市华英学校九年级一模）为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需6400元．

（1）求男式单车和女式单车的单价；

（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，购置两种单车的费用不超过20000元，该社区至多购置女式单车多少辆？

【答案】（1）男式单车的单价为800元，女式单车的单价为600元；（2）12辆

【分析】

（1）设男式单车的单价为x元，女式单车的单价为y元，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需6400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设该社区购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据总价＝单价×数量，结合购置两种单车的费用不超过20000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设男式单车的单价为x元，女式单车的单价为y元，

依题意得： ，

解得：．

答：男式单车的单价为800元，女式单车的单价为600元．

（2）设该社区购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，

依题意得：600m+800（m+4）≤20000，

解得：m≤12．

答：该社区至多购置女式单车12辆．