2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，1，，，若，则实数的值为　　

A． B．0 C．1 D．2

2．（5分）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为　　

A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米

3．（5分）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知是函数的零点，则实数　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知角的终边经过点，则的值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为　　

A．60万元 B．160万元 C．200万元 D．240万元

7．（5分）在平面直角坐标系中，是单位圆上的一段弧（如图），点是圆弧上的动点，角以为始边，为终边．以下结论正确的是　　

A． B． 

C． D．以上答案都不对

8．（5分）已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，若函数有5个不同零点，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分

9．（5分）下列命题中的真命题是　　

A．， B．， 

C．， D．，

10．（5分）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列命题正确的是　　

A．是偶函数 

B．函数的单调递减区间为 

C．直线是函数的图象的对称轴 

D．函数在上的最小值为

11．（5分）设，，且，那么　　

A．有最小值 B．有最小值 

C．有最小值 D．有最大值

12．（5分）函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设，是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有　　

A． B． 

C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡指定位置上.

13．（5分）函数的定义域为　　．

14．（5分）已知正数，满足，则的最小值是　 　．

15．（5分）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的　　；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到　　年之间．（参考数据：，，

16．（5分）如图，直线是函数的图象，曲线是函数图象，为曲线上纵坐标为1的点．过作轴的平行线交于，过作轴的垂线交曲线于；再过作轴的平行线交于点，过作轴的垂线交曲线于；，设点，，，，的横坐标分别为，，，，若，则　　（用表示）

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（1）已知，求的值；

（2）计算：．

18．（12分）已知集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

19．（12分）已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

（1）请写出满足的这两个条件序号，并说明理由；

（2）求出的解析式；

（3）求方程在区间，上所有解的和．

20．（12分）已知函数为奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并用单调性定义加以证明；

（3）解关于的不等式．

21．（12分）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．

（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度的值．（精确到

（下列数据提供参考：，，

（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，直线与直角车道的外壁相交于、．

①若小汽车卡在直角车道内（即点、分别在、上，点在上），求水平截面的长（即的长，用表示）

②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？

备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．

结论1 ；

结论2 若函数和函数都在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增．

22．（12分）已知函数在区间，上有最大值4，最小值1．函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；

（3）若函数有三个零点，求实数的范围．

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：，，

，1，，

，解得．

故选：．

2．【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为

（平方米）．

故选：．

3．【解答】解：，则，

故选：．

4．【解答】解：由可得，，

结合幂函数及指数函数的性质可知，当无限增加时，指数函数爆炸式增加，当时，恒成立，没有零点，

因为（1），（2），故在上有零点，

结合图象可知，当时，即恒在的下方．

故．

故选：．

5．【解答】解：，

，

根据三角函数定义可知，，

故选：．

6．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：（万元）．

当且仅当时取等号．

故选：．

7．【解答】解：由题设可得上的动点的坐标为，，，，，

其中，，

注意到当，，，

故按如下分类讨论：

若，则，，，

故，

若，则，，，且，

所以，

因为，故，故，

所以有正有负，所以有正有负，

而，，故有正有负，

故，大小关系不确定．

故选：．

8．【解答】解：原问题等价于函数与函数有5个不同的交点，

很明显，坐标原点为两函数的交点，

且函数与函数均为偶函数，

则原问题转化为当时，函数与函数有两个交点，

绘制函数图象如图所示，

由临界条件可得关于实数的不等式组：，解得：，

即实数的取值范围是．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分

9．【解答】解：对于，的定义域为，值域为，，为真命题，则对；

对于，当时， 不大于0，，为假命题，则错；

对于，当 时，，，为真命题，则对；

对于，当 时，，，为真命题，则对；

故选：．

10．【解答】解：将的图象向右平移个单位长度，得到，

再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数的图象，

即，

则函数是奇函数，故错误，

由，，得，，即函数的单调递减区间为，故正确，

由，得，即函数的对称轴为，则也是对称轴，故正确，

当时，，则当时，函数取得最小值，最小值，故正确，

故选：．

11．【解答】解：因为，，且，

所以，当且仅当时取等号，

解得，，或（舍，

故有最小值，正确，错误；

由，当且仅当时取等号，

解得，，即有最小值，正确，错误．

故选：．

12．【解答】解：根据函数的定义，对于定义域内的任意自变量，函数的值唯一确定的．

对于一个自变量，的值不一定唯一，如时，或3，

故不满足函数的定义，故排除；

对于一个任意一个，存在唯一确定的，

故满足函数的定义，故可以．

对于一个任意一个，存在多个的值，故不满足函数的定义，故排除；

对于一个，则的值唯一，

故满足函数的定义，故 可以，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡指定位置上.

13．【解答】解：由函数，得，解得，

所以的定义域为，．

故答案为：，．

14．【解答】解：正数，满足，

则，

当且仅当，取得最小值4，

故答案为：4．

15．【解答】解：，

当时，，

经过5730年后，碳14的质量变为原来的．

由题意可知：，

两边同时取以2为底的对数得：，

，

，

推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．

故答案为：，6876．

16．【解答】解：由题意可求出，，，，，点的坐标．

，，，，，，，，，，

故的横坐标为，

由，可得，

由，可得，

所以若，

则，

．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【解答】解：（1）由题意知，

平方可得，

所以；

（2）原式

．

18．【解答】解：（1），

当时，，

所以；

（2）因为“”是“”的必要条件，所以，

由题意知，则，解得：，

所以的取值范围为，．

19．【解答】解：（1）若①成立，则．若②成立，则，，若③成立，则，即，即，则．

则满足条件的只能是①③，

（2）由（1）知，，

则．

（3）由得，即，

得，

则或，

得或，，

，，

当时，或，

当时，或，

则所有零点之和为．

20．【解答】解：（1）函数的定义域为，且为奇函数，

，即，解得，

经检验，此时对任意的都有，故．

（2）由（1）可知，

在上为增函数，

证明：任取，，且，

则，

，

，即，

即，

，

即在上为增函数．

（3）是奇函数，

等价为，

在上为增函数．

，即，

解得或，

即不等式的解集为，，．

21．【解答】解：（1）在中，，，

则，又，

，

，，

在中，，，

，

；

（2）①延长与直角走廊的边相交于，，

则，其中，

，，

又，

的长，其中；

②由①知，其中，

令，则，，

则．

故，，

，

当，时，恒成立，则在，上为减函数，

．

此车能顺利通过此直角拐弯车道．

22．【解答】解：（1）函数对称轴为，

所以函数在，上单调递增，

所以（3），

（2），解得，

所以．

（2），，

所以不等式，变为，

令，，

所以不等式化为，

即，

所以，

所以，

所以实数的取值范围，．

（3）有三个零点，

则有三个根，

令，作出函数图象：

则，即有两个根，，

其中，或，，

记，

所以或

解得，

所以实数的取值范围为，．

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日期：2021/4/10 17:47:22；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394