江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

溧阳市2020～2021学年度第一学期期末质量调研测试

高二数学试题

2021．1

注意事项：1．请将本试卷答案填写在答题卡相应位置上．

2．考试时间为120分钟，试卷总分为150分．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

2．等差数列的前项和为，若，，则等差数列公差为（    ）．

A．2 B． C．3 D．4

3．若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

4．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的．”音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载境创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中，，…，表示这些半音的频率，它们满足．若某一半音与的频率之比为，则该半音为（    ）．

A． B． C． D．

5．已知在正方体中，，分别为，上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）．

A． B． C． D．

6．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点．若地球的半径为，地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为，近地点与地球表面的距离为，则地球同步转移轨道的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

7．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为8，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

8．如图，已知直三棱柱中，是底面内一动点，直线和底面所成角是定值，则满足条件的点的轨迹是（    ）．

A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．下列结论正确的是（    ）．

A．若，则

B．若，，则的最小值为10

C．函数的最小值是3

D．若，，则

10．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ）．

A．直线与平面所成的角等于

B．点到面的距离为

C．两条异面直线和所成的角为

D．二面角的平面角的余弦值为

11．已知曲线，（    ）．

A．若，则是焦点在轴上的椭圆．

B．若，则是椭圆，且其离心率．

C．若，则是双曲线，其渐近线方程为．

D．若，则是双曲线，其离心率为或．

12．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（    ）．

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知点，，，则 __________．

14．已知双曲线过点且渐近线为，则双曲线的标准方程为 __________．

15．某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米．现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为 __________米．

16．如图，已知直线与曲线，设为曲线上纵坐标为1的点，过作轴的平行线交于，过作轴的垂线交曲线于；再过作轴的平行线交于点，过作轴的垂线交曲线于；…设点，，，…，的横坐标分别为，，，…，．若，则 __________（用表示）．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设是数列的前项和，且，__________，补充完后，

（1）求的通项公式；

（2）判断是否存在最大值（说明理由）．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面，，分别为，的中点．

（1）证明：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

19．（12分）已知数列的前项和满足，且．

（1）求数列的前项和，及通项公式；

（2）记，为的前项和，求．

20．（12分）如图，在四枝锥中，为直角梯形，，，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，为线段上一点，．

（1）若，证明：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求的值．

21．（12分）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线和一个“开了孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的左上方）．如图，椭圆与抛物线均关于轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，，为椭圆的焦点，同时也为抛物线的焦点，其中椭圆的短轴长为，在处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到经过的路程为8．由照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．

（1）求抛物线的方程；

（2）若由发出的一条光线经由椭圆上的点反射后穿过小孔，再经抛物线上的点反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段的长．

（3）在（2）的条件下，求线段的长．

22．（12分）己知椭圆的右焦点的坐标为，左焦点为，且椭圆上的点与两个焦点，所构成的三角形的面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，已知，两点是位于轴同侧的椭圆上的两点，且直线，的斜率之和为0，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

2020～2021学年度第一学期期末质量调研测试

高二数学试题参考答案

1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B

9．AD  10．AB  11．ACD 12．BD

13．  14．  15．  16．

17．选①：因为，，

所以是首项为4，公差为的等差数列，

所以， （4分）

由得，  （5分）

所以存在最大值，且最大值为（或），  （7分）

因为，

所以的最大值为26． （10分）

选②：因为，所以，

所以，，…，，

则， （4分）

又，所以．

当时，，故不存在最大值．  （10分）

选③：因为，，

所以是首项为4，公比为的等比数列．

所以．  （4分）

当为奇数时，，

因为随着的增加而减少，所以此时的最大值为．

当为偶数时，，且，

综上，存在最大值，且最大值为4．  （10分）

18．方法1：（1）因为平面，所以，

取中点，连结，．

因为点，分别为，的中点，底面是正方形，

所以，．

所以，，

所以平面，．

（2）因为平面，所以，．

由（1）知，所以，．

所以平面，

所以是直线与平面所成的角．

中，，，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

方法2：因为平面，所以，．

又因为底面是正方形，所以．

（注：必须证明两两垂直）

以为原点，，，所在方向为，，物的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

（1），，，设，

由，分别为，的中点知：，，

则，

又，，

故．  （6分）

（2）因为，所以，，

，，

因为平面，所以是平面的法向量．

设直线与平面所成角为，

所以，

故直线与平面所成角的正弦值为．  （12分）

19．（1）为等差数列，  （2分）

公差为2，首项为，

故， （4分）

当时，， （5分）

当时，满足，

综上，． （6分）

（2），  （8分）

所以

  （12分）

20．因为平面平面，平面平面，

平面，，

所以平面． （2分）

（注：必须证明垂直关系）

以为坐标原点，，所在的方向分别为轴、轴的正方向，

与，均重直的方向作为轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标． （3分）

（1）方法1：当时，

则，，共面，

又平面，故平面．  （6分）

方法2：由知

，，，，

，．

当时，，，

设平面的一个法向量为，

则，得，

令，得，，于是．

所以，所以．

又因为平面，所以平面．

（2）由，，及知，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得，，于是，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得，，于是，

设二面角的平面角的大小为，

则，

解得或．  （10分）

当时，，，

此时的方向指向二面角的内部，

的方向指向二面角的外部，

与相等，．

当时，，，

此时的方向指向二面角的内部，

的方向指向二面角的外部，

与相等，，不合题意．

因此，．  （12分）

21．（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，

由题可知：，，，

则，

故抛物线的焦点，抛物线的方程为． （4分）

（2）由题可设，代入抛物线的方程得，即，

又，故．

（3）由（2）知，即，

又，得，

又，故．  （9分）

设，，

又，在中，由余弦定理知

．  （11分）

故线段的长为．  （12分）

22．（1）设为椭圆上的点，

则，

又，则，

∴，

故椭圆的标准方程为． （4分）

（2）设是关于轴的对称点，

由直线，的斜率之和为0，知，关于轴对称，

又由椭圆的对称性知，，，三点共线，  （5分）

直线的斜率存在且不为0，设其方程为，

由消去得

，  （7分）

  （9分）

又，

当且仅当时取等号．  （11分）

故的面积存在最大值．  （12分）

方法2：设点，，

直线方程为，与椭圆联立，

消去得，

，，  （6分）

因为直线，的斜率之和为0，所以，

即，

整理得

．

所以直线方程为，直线过定点，  （8分）

  （10分）

令，

则，

当，即时，的面积取得最大值．  （12分）

方法3：设点，，

直线方程为，与椭圆联立，

消去得，

，，

因为直线，的斜率之和为0，所以，

即，

整理得

．

所以直线方程为，直线过定点， （8分）

．  （10分）

令，则，

当且仅当，即时取得等号，

此时，的面积取得最大值． （12分）