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江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版），共24页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．设x∈R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}公差为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．若对于任意的x∈[0，2]，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．[1，+∞）
4．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C（八度）
A．F# B．G C．G# D．A
5．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点F1.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为r，近地点B与地球表面的距离为r，则地球同步转移轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P是底面A1B1C1内一动点，直线PA和底面ABC所成角是定值，则满足条件的点P的轨迹是（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若a，b＞0，4b+a＝ab，则a+b的最小值为10
C．函数的最小值是3
D．若a＞b＞c，a+b+c＝0，则
10．如图，正方体ADCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
B．点C到面ABC1D1的距离为
C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为
D．二面角C﹣BC1﹣D的平面角的余弦值为
11．已知曲线，（ ）
A．若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆
B．若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且其离心率为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m＝﹣2n，则C是双曲线，其离心率为或
12．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝18，若a8＞b8且a9＞b9，则以下结论正确的有（ ）
A．a8＞a9 B．a8•a9＜0 C．b9＞b8 D．b10＜0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），，则＝ ．
14．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的标准方程为
15．某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米．现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为 米．
16．如图，已知直线l：y＝x与曲线，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，Pn的横坐标分别为a1，a2，a3，…an.若a2019＝t．则a2020＝ 用t表示）．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①an+1﹣an＝﹣，②an+1＝an+n﹣8，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设Sn是数列{αn}的前n项和，且a1＝4，_______，补充完后．
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断Sn是否存在最大值（说明理由）．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明：EF⊥CD．
（2）若SD＝8，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．
19．已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝4．
（1）求数列{an}的前n项和Sn及通项公式an
（2）记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求Tn．
20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为线段BS上一点，BE＝λES．
（1）若λ＝2，证明：SD∥平面ACE；
（2）若二面角S﹣AC﹣E的余弦值为，求λ的值．
21．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）．如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8．由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长；
（3）在（2）的条件下，求线段PQ的长．
22．已知椭圆的右焦点F的坐标为（1，0），左焦点为F′，且椭圆C上的点与两个焦点F，F'所构成的三角形的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，已知P，Q两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF，QF的斜率之和为0，试问△PFQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设x∈R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由2x＞4⇒x＞2，
由x2+2x﹣3＞0⇒（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，
由x＞2，能够推出x2+2x﹣3＞0，
故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的充分条件，
由x＜﹣3或x＞1，不能够推出2x＞4，
故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的不必要条件．
故选：A．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}公差为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
解：∵a1＝12，S5＝90，
∴5×12+d＝90，
解得d＝3．
故选：C．
3．若对于任意的x∈[0，2]，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．[1，+∞）
解：不等式x2﹣2x+a＞0，转化为a＞﹣x2+2x，
设f（x）＝﹣x2+2x，x∈[0，2]，则f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，
当x＝1时，f（x）取得最大值为f（x）max＝f（1）＝1，
所以实数a的取值范围是（1，+∞）．
故选：B．
4．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C（八度）
A．F# B．G C．G# D．A
解：∵，
∴，∴，
∴数列{an}是公比q＝的等比数列，
∵a4＝D#，＝，
∴，
故选：B．
5．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：取线段AD上一点E，使AE＝2ED，连接ME、NE，如图所示：
因为A1D＝3MD，AN＝2NC，
所以，
所以NE∥CD，ME∥AA1，又CD∥C1D1，
所以∠MNE为异面直线MN与C1D1所成角，
设正方体的棱长为3a，
则EN＝，，
所以在Rt△MNE中，，
所以cos∠MNE＝．
故选：A．
6．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点F1.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为r，近地点B与地球表面的距离为r，则地球同步转移轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得：|AF，
|BF，
联立解得：a＝，
所以椭圆的离心率为e＝，
故选：D．
7．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
∴D（a，b），E（a，﹣b），
∵△ODE的面积为8，
∴•a•2b＝8，即ab＝8，
∴＝≥＝＝，当且仅当＝，即a＝，b＝4时，等号成立，
∴的最小值为．
故选：B．
8．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P是底面A1B1C1内一动点，直线PA和底面ABC所成角是定值，则满足条件的点P的轨迹是（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
解：设点P在平面ABC上的投影为P'，
因为直线PA和底面ABC所成角是定值，
所以∠PAP'为定值，即tan∠PAP'为定值，
因为PP'为定值，所以AP'也为定值，
设AP'＝a，所以点P'到点A的距离恒为定值a，
又因为P'为点P在平面ABC的投影，
所以点P到点A1的距离恒为a，
由圆的定义可知，点P的轨迹为圆的一部分．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若a，b＞0，4b+a＝ab，则a+b的最小值为10
C．函数的最小值是3
D．若a＞b＞c，a+b+c＝0，则
解：对于A，由a＞b＞0，则0＜，故正确，故A正确，
对于B，由a，b＞0，4b+a＝ab⇒+＝1，a+b＝（a+b）（+）＝5++≥5+4＝9，故B错误，
对于C，当x＜0时，f（x）＜0，故C错误，
对于D，由a＞b＞c⇒a﹣c＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞b﹣c，所以＜，由a＞b＞c，a+b+c＝0⇒c＜0，所以＞，故D正确．
故选：AD．
10．如图，正方体ADCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
B．点C到面ABC1D1的距离为
C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为
D．二面角C﹣BC1﹣D的平面角的余弦值为
解：如图，取BC1的中点H，连接CH，易证CH⊥平面ABC1D1，
所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为，故A正确；
点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度，为，故B正确；
易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，
因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为，故C错误；
连接DH，由BD＝DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，
所以∠CHD为二面角C﹣BC1﹣D的平面角，
易求得DH＝，又CD＝1，CH＝，
由余弦定理可得cos∠CHD＝＝，故D错误．
故选：AB．
11．已知曲线，（ ）
A．若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆
B．若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且其离心率为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m＝﹣2n，则C是双曲线，其离心率为或
解：曲线，
若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；
若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且e＝＝＝，故B错误；
若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为+＝0，故C正确；
若m＝﹣2n，则C是双曲线，当n＞0，可得双曲线的焦点在y轴上，
可得e＝＝，当n＜0，可得双曲线的焦点在x轴上，
可得e＝＝，故D正确．
故选：ACD．
12．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝18，若a8＞b8且a9＞b9，则以下结论正确的有（ ）
A．a8＞a9 B．a8•a9＜0 C．b9＞b8 D．b10＜0
解：因为等比数列{an}的公比，所以a8•a9＜0，B正确；
设等差数列{bn}的公差为d，所以，，
显然a1≠0，若a1＞0，则18+7d＜0，即d＜0，所以b9﹣b8＝d＜0，b10＝18+9d＝18+7d+2d＜0，a8＜a9，
若a1＜0，则18+8d＜0，即d＜0，所以b9﹣b8＝d＜0，b10＝18+9d＝18+8d+d＜0，a8＞a9，
所以A无法确定，C错误，D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），，则＝ ．
解：设P（x，y，z），，且，
∴（x﹣1，y﹣2，z﹣3）＝（﹣x，1﹣y，2﹣z），
∴，解得，
∴，∴．
故答案为：．
14．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的标准方程为
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为为，
设双曲线方程为＝λ（λ≠0），
∵双曲线C过点，
∴，即λ＝．
∴所求双曲线方程为．
故答案为：．
15．某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米．现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为 320 米．
解：由题意可知，2a＝200，2b＝120，即a＝100，b＝60，
所以椭圆方程为：，
即椭圆的参数方程为：，
所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为：，，
根据对称性可知矩形的长为2x，宽为2y，
所以矩形的面积S＝4xy＝12000sin2θ，当且仅当，时，面积S取到最大值，
此时，矩形的周长为4（x+y）＝4×（100cosθ+60sinθ）＝4×（100×）＝320，
故答案为：320．
16．如图，已知直线l：y＝x与曲线，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，Pn的横坐标分别为a1，a2，a3，…an.若a2019＝t．则a2020＝ 2﹣t 用t表示）．
解：因为P1为曲线C：y＝x上纵坐标为1的点，所以点P1的横坐标a1＝，
由题意可得点Qn+1与点Pn的横坐标相等，点Qn+1与点Pn+1的纵坐标相等，
因为点Qn+1在直线y＝x上，所以它的横纵坐标相等，都是an，
从而得到点Pn+1的纵坐标是an，
点Pn+1在曲线C：y＝x上，由纵坐标得到它的横坐标为，
即an+1＝，
若a2019＝t．则a2020＝＝2﹣t．
故答案为：2﹣t．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①an+1﹣an＝﹣，②an+1＝an+n﹣8，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设Sn是数列{αn}的前n项和，且a1＝4，_______，补充完后．
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断Sn是否存在最大值（说明理由）．
解：选①时，（1）由于an+1﹣an＝﹣，所以数列{αn}是以4为首项，为公差的等差数列，
所以，
（2）由，解得n≤13．
所以S13或S12最大，
由于，故最大值为26．
选②时，
（1）an+1＝an+n﹣8，
所以an+1﹣an＝n﹣8，an﹣an﹣1＝n﹣9，…，a2﹣a1＝﹣7，
所有的式子相加得：，
整理得，
（2）当n≥16时，数列的前n项和不存在最大值．
选③时，
（1），数列{αn}的首项为4，公比为﹣的等比数列．
所以．
（2）当n为奇数时，．
由于随着n的增大而减小，所以Sn的最大值为S1＝4，
当n为偶数时，．
所以Sn存在最大值，且最大值为4．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明：EF⊥CD．
（2）若SD＝8，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为SD⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，所以SD⊥CD，
取CD中点O，连结EO，FO，
因为点E，F分别为AB，SC的中点，底面ABCD是正方形，
所以EO∥AD，FO∥SD，
所以EO⊥CD，FO⊥CD，又EO∩FO＝O，且EO，FO⊂平面OEF，
所以CD⊥平面OEF，又EF⊂平面OEF，
所以EF⊥CD；
（2）解：因为SD⊥平面ABCD，且AD，CD⊂平面ABCDA，
所以SD⊥AD，SD⊥CD，
由（1）可知，FO∥SD，
所以FO⊥AD，FO⊥CD，AD，CD是平面ABCD中的相交线，
所以FO⊥平面ABCD，
所以∠FEO即为直线EF与平面ABCD所成的角，
在Rt△FEO中，∠FOE＝90°，EO＝FO，
所以∠FEO＝45°，
所以直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为．
19．已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝4．
（1）求数列{an}的前n项和Sn及通项公式an
（2）记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求Tn．
解：（1）数列{an}的前n项和Sn满足，
整理得（常数），
所以数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列；
所以，
所以，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝8n﹣4．
当n＝1时，a1＝4，
所以an＝8n﹣4．
（2），
所以Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝＝．
20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为线段BS上一点，BE＝λES．
（1）若λ＝2，证明：SD∥平面ACE；
（2）若二面角S﹣AC﹣E的余弦值为，求λ的值．
【解答】（1）证明：∵BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面SCD，
以C为原点，CD，CB所在直线分别为y，z轴，作Cx⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，2，2），B（0，0，4），D（0，2，0），S（1，1，0），
∴＝（0，2，2），＝（﹣1，1，0），
当λ＝2时，E（，，），∴＝（，，），
设平面ACE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝﹣1，则x＝y＝1，∴＝（1，1，﹣1），
∵•＝﹣1×1+1×1＝0，
∴⊥，
又SD⊄平面ACE，∴SD∥平面ACE．
（2）解：由B（0，0，4），S （1，1，0），及＝λ知，E（，，），
∴＝（，，），
设平面ACE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝1，则x＝1﹣，y＝﹣1，∴＝（1﹣，﹣1，1），
同理可得，平面SAC的一个法向量为＝（1，﹣1，1），
设二面角S﹣AC﹣E的平面角大小为θ，则cosθ＝，
∴|cos＜，＞|＝||＝||＝cosθ＝，
化简得8（﹣+3）＝0，
解得λ＝2或，
当λ＝2时，＝（﹣1，﹣1，1），＝（1，﹣1，1），
此时指向二面角S﹣AC﹣E的内部，指向二面角S﹣AC﹣E的外部，
∴θ与＜，＞相等，cosθ＝cos＜，＞＝＝＝，
当λ＝时，＝（﹣5，﹣1，1），＝（1，﹣1，1），
此时指向二面角S﹣AC﹣E的内部，指向二面角S﹣AC﹣E的外部，
∴θ与＜，＞相等，cosθ＝cos＜，＞＝＝＝﹣，不合题意，
综上所述，λ＝2．
21．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）．如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8．由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长；
（3）在（2）的条件下，求线段PQ的长．
解：（1）设椭圆C2的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题可知：2b＝2，4a＝8，则b＝，a＝2，所以c＝1，
故抛物线C1的焦点F1（1，0），
所以抛物线C1的方程为y2＝4x；
（2）由题可设Q（m，），代入抛物线的方程可得：m＝，即Q（），
所以|QF1|＝；
（3）由（2）可知k，即tan，
又∠QF1F2+∠PF1F2＝π，得tan，又∠PF1F2∈（0，π），
故cos，设PF1＝m，PF2＝4﹣m，而|F1F2|＝2，
所以由余弦定理可得：PFcos∠PF1F2，
即（4﹣m），解得m＝，
故线段PQ的长为．
22．已知椭圆的右焦点F的坐标为（1，0），左焦点为F′，且椭圆C上的点与两个焦点F，F'所构成的三角形的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，已知P，Q两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF，QF的斜率之和为0，试问△PFQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．
解：（1）设M（x，y）为椭圆C上的点，
得到S△MFF′＝FF′•|yM|＝|yM|，
又yM∈[﹣b，b]，
则（S△MFF′）max＝b＝，
所以a＝＝2，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（2）设Q′是Q关于x轴的对称点，
直线PF，QF的斜率之和为0知：直线PF，QF关于x轴对称，
由椭圆的对称性可知，P，F，Q′三点共线，
直线PF的斜率存在且不为0，设其方程为x＝my+1，
由，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
所以yP•yQ＝﹣，
所以S△PQF＝S△PQQ′﹣S△PQF＝|2yQ||xP﹣xQ|﹣|2yQ||xP﹣xQ|＝|yQ||xP﹣1|＝|yQ||myP|＝|myPyQ|＝，
又＝≤＝，
当且仅当|m|＝时，取等号，
故△PFQ的面积存在最大值．
2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．设x∈R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}公差为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．若对于任意的x∈[0，2]，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．[1，+∞）
4．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C（八度）
A．F# B．G C．G# D．A
5．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点F1.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为r，近地点B与地球表面的距离为r，则地球同步转移轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P是底面A1B1C1内一动点，直线PA和底面ABC所成角是定值，则满足条件的点P的轨迹是（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若a，b＞0，4b+a＝ab，则a+b的最小值为10
C．函数的最小值是3
D．若a＞b＞c，a+b+c＝0，则
10．如图，正方体ADCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
B．点C到面ABC1D1的距离为
C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为
D．二面角C﹣BC1﹣D的平面角的余弦值为
11．已知曲线，（ ）
A．若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆
B．若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且其离心率为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m＝﹣2n，则C是双曲线，其离心率为或
12．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝18，若a8＞b8且a9＞b9，则以下结论正确的有（ ）
A．a8＞a9 B．a8•a9＜0 C．b9＞b8 D．b10＜0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），，则＝ ．
14．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的标准方程为
15．某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米．现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为 米．
16．如图，已知直线l：y＝x与曲线，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，Pn的横坐标分别为a1，a2，a3，…an.若a2019＝t．则a2020＝ 用t表示）．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①an+1﹣an＝﹣，②an+1＝an+n﹣8，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设Sn是数列{αn}的前n项和，且a1＝4，_______，补充完后．
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断Sn是否存在最大值（说明理由）．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明：EF⊥CD．
（2）若SD＝8，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．
19．已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝4．
（1）求数列{an}的前n项和Sn及通项公式an
（2）记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求Tn．
20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为线段BS上一点，BE＝λES．
（1）若λ＝2，证明：SD∥平面ACE；
（2）若二面角S﹣AC﹣E的余弦值为，求λ的值．
21．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）．如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8．由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长；
（3）在（2）的条件下，求线段PQ的长．
22．已知椭圆的右焦点F的坐标为（1，0），左焦点为F′，且椭圆C上的点与两个焦点F，F'所构成的三角形的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，已知P，Q两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF，QF的斜率之和为0，试问△PFQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设x∈R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由2x＞4⇒x＞2，
由x2+2x﹣3＞0⇒（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，
由x＞2，能够推出x2+2x﹣3＞0，
故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的充分条件，
由x＜﹣3或x＞1，不能够推出2x＞4，
故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的不必要条件．
故选：A．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}公差为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
解：∵a1＝12，S5＝90，
∴5×12+d＝90，
解得d＝3．
故选：C．
3．若对于任意的x∈[0，2]，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．[1，+∞）
解：不等式x2﹣2x+a＞0，转化为a＞﹣x2+2x，
设f（x）＝﹣x2+2x，x∈[0，2]，则f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，
当x＝1时，f（x）取得最大值为f（x）max＝f（1）＝1，
所以实数a的取值范围是（1，+∞）．
故选：B．
4．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C（八度）
A．F# B．G C．G# D．A
解：∵，
∴，∴，
∴数列{an}是公比q＝的等比数列，
∵a4＝D#，＝，
∴，
故选：B．
5．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：取线段AD上一点E，使AE＝2ED，连接ME、NE，如图所示：
因为A1D＝3MD，AN＝2NC，
所以，
所以NE∥CD，ME∥AA1，又CD∥C1D1，
所以∠MNE为异面直线MN与C1D1所成角，
设正方体的棱长为3a，
则EN＝，，
所以在Rt△MNE中，，
所以cos∠MNE＝．
故选：A．
6．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点F1.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为r，近地点B与地球表面的距离为r，则地球同步转移轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得：|AF，
|BF，
联立解得：a＝，
所以椭圆的离心率为e＝，
故选：D．
7．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
∴D（a，b），E（a，﹣b），
∵△ODE的面积为8，
∴•a•2b＝8，即ab＝8，
∴＝≥＝＝，当且仅当＝，即a＝，b＝4时，等号成立，
∴的最小值为．
故选：B．
8．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P是底面A1B1C1内一动点，直线PA和底面ABC所成角是定值，则满足条件的点P的轨迹是（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
解：设点P在平面ABC上的投影为P'，
因为直线PA和底面ABC所成角是定值，
所以∠PAP'为定值，即tan∠PAP'为定值，
因为PP'为定值，所以AP'也为定值，
设AP'＝a，所以点P'到点A的距离恒为定值a，
又因为P'为点P在平面ABC的投影，
所以点P到点A1的距离恒为a，
由圆的定义可知，点P的轨迹为圆的一部分．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若a，b＞0，4b+a＝ab，则a+b的最小值为10
C．函数的最小值是3
D．若a＞b＞c，a+b+c＝0，则
解：对于A，由a＞b＞0，则0＜，故正确，故A正确，
对于B，由a，b＞0，4b+a＝ab⇒+＝1，a+b＝（a+b）（+）＝5++≥5+4＝9，故B错误，
对于C，当x＜0时，f（x）＜0，故C错误，
对于D，由a＞b＞c⇒a﹣c＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞b﹣c，所以＜，由a＞b＞c，a+b+c＝0⇒c＜0，所以＞，故D正确．
故选：AD．
10．如图，正方体ADCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
B．点C到面ABC1D1的距离为
C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为
D．二面角C﹣BC1﹣D的平面角的余弦值为
解：如图，取BC1的中点H，连接CH，易证CH⊥平面ABC1D1，
所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为，故A正确；
点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度，为，故B正确；
易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，
因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为，故C错误；
连接DH，由BD＝DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，
所以∠CHD为二面角C﹣BC1﹣D的平面角，
易求得DH＝，又CD＝1，CH＝，
由余弦定理可得cos∠CHD＝＝，故D错误．
故选：AB．
11．已知曲线，（ ）
A．若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆
B．若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且其离心率为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m＝﹣2n，则C是双曲线，其离心率为或
解：曲线，
若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；
若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且e＝＝＝，故B错误；
若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为+＝0，故C正确；
若m＝﹣2n，则C是双曲线，当n＞0，可得双曲线的焦点在y轴上，
可得e＝＝，当n＜0，可得双曲线的焦点在x轴上，
可得e＝＝，故D正确．
故选：ACD．
12．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝18，若a8＞b8且a9＞b9，则以下结论正确的有（ ）
A．a8＞a9 B．a8•a9＜0 C．b9＞b8 D．b10＜0
解：因为等比数列{an}的公比，所以a8•a9＜0，B正确；
设等差数列{bn}的公差为d，所以，，
显然a1≠0，若a1＞0，则18+7d＜0，即d＜0，所以b9﹣b8＝d＜0，b10＝18+9d＝18+7d+2d＜0，a8＜a9，
若a1＜0，则18+8d＜0，即d＜0，所以b9﹣b8＝d＜0，b10＝18+9d＝18+8d+d＜0，a8＞a9，
所以A无法确定，C错误，D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），，则＝ ．
解：设P（x，y，z），，且，
∴（x﹣1，y﹣2，z﹣3）＝（﹣x，1﹣y，2﹣z），
∴，解得，
∴，∴．
故答案为：．
14．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的标准方程为
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为为，
设双曲线方程为＝λ（λ≠0），
∵双曲线C过点，
∴，即λ＝．
∴所求双曲线方程为．
故答案为：．
15．某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米．现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为 320 米．
解：由题意可知，2a＝200，2b＝120，即a＝100，b＝60，
所以椭圆方程为：，
即椭圆的参数方程为：，
所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为：，，
根据对称性可知矩形的长为2x，宽为2y，
所以矩形的面积S＝4xy＝12000sin2θ，当且仅当，时，面积S取到最大值，
此时，矩形的周长为4（x+y）＝4×（100cosθ+60sinθ）＝4×（100×）＝320，
故答案为：320．
16．如图，已知直线l：y＝x与曲线，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，Pn的横坐标分别为a1，a2，a3，…an.若a2019＝t．则a2020＝ 2﹣t 用t表示）．
解：因为P1为曲线C：y＝x上纵坐标为1的点，所以点P1的横坐标a1＝，
由题意可得点Qn+1与点Pn的横坐标相等，点Qn+1与点Pn+1的纵坐标相等，
因为点Qn+1在直线y＝x上，所以它的横纵坐标相等，都是an，
从而得到点Pn+1的纵坐标是an，
点Pn+1在曲线C：y＝x上，由纵坐标得到它的横坐标为，
即an+1＝，
若a2019＝t．则a2020＝＝2﹣t．
故答案为：2﹣t．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①an+1﹣an＝﹣，②an+1＝an+n﹣8，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设Sn是数列{αn}的前n项和，且a1＝4，_______，补充完后．
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断Sn是否存在最大值（说明理由）．
解：选①时，（1）由于an+1﹣an＝﹣，所以数列{αn}是以4为首项，为公差的等差数列，
所以，
（2）由，解得n≤13．
所以S13或S12最大，
由于，故最大值为26．
选②时，
（1）an+1＝an+n﹣8，
所以an+1﹣an＝n﹣8，an﹣an﹣1＝n﹣9，…，a2﹣a1＝﹣7，
所有的式子相加得：，
整理得，
（2）当n≥16时，数列的前n项和不存在最大值．
选③时，
（1），数列{αn}的首项为4，公比为﹣的等比数列．
所以．
（2）当n为奇数时，．
由于随着n的增大而减小，所以Sn的最大值为S1＝4，
当n为偶数时，．
所以Sn存在最大值，且最大值为4．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明：EF⊥CD．
（2）若SD＝8，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为SD⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，所以SD⊥CD，
取CD中点O，连结EO，FO，
因为点E，F分别为AB，SC的中点，底面ABCD是正方形，
所以EO∥AD，FO∥SD，
所以EO⊥CD，FO⊥CD，又EO∩FO＝O，且EO，FO⊂平面OEF，
所以CD⊥平面OEF，又EF⊂平面OEF，
所以EF⊥CD；
（2）解：因为SD⊥平面ABCD，且AD，CD⊂平面ABCDA，
所以SD⊥AD，SD⊥CD，
由（1）可知，FO∥SD，
所以FO⊥AD，FO⊥CD，AD，CD是平面ABCD中的相交线，
所以FO⊥平面ABCD，
所以∠FEO即为直线EF与平面ABCD所成的角，
在Rt△FEO中，∠FOE＝90°，EO＝FO，
所以∠FEO＝45°，
所以直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为．
19．已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝4．
（1）求数列{an}的前n项和Sn及通项公式an
（2）记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求Tn．
解：（1）数列{an}的前n项和Sn满足，
整理得（常数），
所以数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列；
所以，
所以，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝8n﹣4．
当n＝1时，a1＝4，
所以an＝8n﹣4．
（2），
所以Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝＝．
20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为线段BS上一点，BE＝λES．
（1）若λ＝2，证明：SD∥平面ACE；
（2）若二面角S﹣AC﹣E的余弦值为，求λ的值．
【解答】（1）证明：∵BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面SCD，
以C为原点，CD，CB所在直线分别为y，z轴，作Cx⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，2，2），B（0，0，4），D（0，2，0），S（1，1，0），
∴＝（0，2，2），＝（﹣1，1，0），
当λ＝2时，E（，，），∴＝（，，），
设平面ACE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝﹣1，则x＝y＝1，∴＝（1，1，﹣1），
∵•＝﹣1×1+1×1＝0，
∴⊥，
又SD⊄平面ACE，∴SD∥平面ACE．
（2）解：由B（0，0，4），S （1，1，0），及＝λ知，E（，，），
∴＝（，，），
设平面ACE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝1，则x＝1﹣，y＝﹣1，∴＝（1﹣，﹣1，1），
同理可得，平面SAC的一个法向量为＝（1，﹣1，1），
设二面角S﹣AC﹣E的平面角大小为θ，则cosθ＝，
∴|cos＜，＞|＝||＝||＝cosθ＝，
化简得8（﹣+3）＝0，
解得λ＝2或，
当λ＝2时，＝（﹣1，﹣1，1），＝（1，﹣1，1），
此时指向二面角S﹣AC﹣E的内部，指向二面角S﹣AC﹣E的外部，
∴θ与＜，＞相等，cosθ＝cos＜，＞＝＝＝，
当λ＝时，＝（﹣5，﹣1，1），＝（1，﹣1，1），
此时指向二面角S﹣AC﹣E的内部，指向二面角S﹣AC﹣E的外部，
∴θ与＜，＞相等，cosθ＝cos＜，＞＝＝＝﹣，不合题意，
综上所述，λ＝2．
21．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）．如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8．由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长；
（3）在（2）的条件下，求线段PQ的长．
解：（1）设椭圆C2的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题可知：2b＝2，4a＝8，则b＝，a＝2，所以c＝1，
故抛物线C1的焦点F1（1，0），
所以抛物线C1的方程为y2＝4x；
（2）由题可设Q（m，），代入抛物线的方程可得：m＝，即Q（），
所以|QF1|＝；
（3）由（2）可知k，即tan，
又∠QF1F2+∠PF1F2＝π，得tan，又∠PF1F2∈（0，π），
故cos，设PF1＝m，PF2＝4﹣m，而|F1F2|＝2，
所以由余弦定理可得：PFcos∠PF1F2，
即（4﹣m），解得m＝，
故线段PQ的长为．
22．已知椭圆的右焦点F的坐标为（1，0），左焦点为F′，且椭圆C上的点与两个焦点F，F'所构成的三角形的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，已知P，Q两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF，QF的斜率之和为0，试问△PFQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．
解：（1）设M（x，y）为椭圆C上的点，
得到S△MFF′＝FF′•|yM|＝|yM|，
又yM∈[﹣b，b]，
则（S△MFF′）max＝b＝，
所以a＝＝2，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（2）设Q′是Q关于x轴的对称点，
直线PF，QF的斜率之和为0知：直线PF，QF关于x轴对称，
由椭圆的对称性可知，P，F，Q′三点共线，
直线PF的斜率存在且不为0，设其方程为x＝my+1，
由，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
所以yP•yQ＝﹣，
所以S△PQF＝S△PQQ′﹣S△PQF＝|2yQ||xP﹣xQ|﹣|2yQ||xP﹣xQ|＝|yQ||xP﹣1|＝|yQ||myP|＝|myPyQ|＝，
又＝≤＝，
当且仅当|m|＝时，取等号，
故△PFQ的面积存在最大值．
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