2020-2021学年江苏省常州市部分学校高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省常州市部分学校高一（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省常州市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）在等边中，，为边的中点，则的值为　　
A． B． C． D．
3．（5分）第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是　　

A．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
B．甲成绩的众数比乙成绩的众数小
C．甲成绩的极差比乙成绩的极差小
D．乙的成绩比甲的成绩稳定
4．（5分）已知，则的值等于　　
A． B． C． D．
5．（5分）如图，已知平面，，且．设梯形中，，且，．则下列结论一定正确的是　　

A． B．直线与可能为异面直线
C．直线与可能为异面直线 D．直线，，相交于一点
6．（5分）2021年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项、、、中，有多项符合题目要求．规定：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．若某题的正确答案是，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于，则其得分的概率为　　
A． B． C． D．
7．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（5分）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中不一定正确的是　　

A．平面 B．平面平面
C．三棱锥的体积不变 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9．（5分）若复数满足（其中是虚数单位），则　　
A．的虚部为
B．的模为
C．的共轭复数为
D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．（5分）已知正四面体的棱长为，则　　
A．
B．四面体的表面积为
C．四面体的体积为
D．四面体的外接球半径为
11．（5分）下列命题正确的有　　
A．
B．若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，若点满足，则点是的重心
D．在中，若，则点的轨迹经过的内心
12．（5分）在中，满足，则下列说法正确的是　　
A．
B．
C．若，为不同象限角，则的最大值为
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）从含有两件正品，和一件次品的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为　　．
14．（5分）已知一组样本数据，，，，且，平均数，则该组数据的标准差为　　．
15．（5分）已知向量、满足为单位向量，且，，则向量、的夹角是 　　．
16．（5分）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）计算：为虚数单位）；
（2）已知是一个复数，求解关于的方程．为虚数单位）．
18．（12分）已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
19．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）设，，延长到点使，求的面积．
20．（12分）如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，其中，，平面平面，点，，，分别是，，，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）当与平面所成的角为时，求四棱锥的体积．

21．（12分）习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态．”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：
调查评分
，
，
，
，
，
，
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在，的市民为400人．
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在，的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在，的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于0.8，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数问卷调查评分
22．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点，，，．
（1）若平面与平面的交线为，求证：；
（2）求直线与平面所成角的正切值；
（3）求直线与所成角的余弦值．


2020-2021学年江苏省常州市部分学校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的四则运算即可求解．
【解答】解：，，
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．
2．（5分）在等边中，，为边的中点，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可．
【解答】解：等边中，，为边的中点，
则．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基础题．
3．（5分）第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是　　

A．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
B．甲成绩的众数比乙成绩的众数小
C．甲成绩的极差比乙成绩的极差小
D．乙的成绩比甲的成绩稳定
【分析】分别计算出两组数据的中位数，众数，极差，方差，再判断即可．
【解答】解：甲的成绩分别为90，93，92，94，96，93，乙的成绩分别为93，94，91，95，92，93，
甲成绩的中位数为，乙成绩的中位数为，错误，
甲成绩的众数为93，乙成绩的众数为93，错误，
甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，错误，
甲成绩的平均数为，甲成绩的方差为，
乙成绩的平均数为，乙成绩的方差为，
，乙成绩比甲成绩稳定，正确．
故选：．
【点评】本题考查了求中位数，极差，平均数，众数和方差的应用问题，属于基础题．
4．（5分）已知，则的值等于　　
A． B． C． D．
【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5．（5分）如图，已知平面，，且．设梯形中，，且，．则下列结论一定正确的是　　

A． B．直线与可能为异面直线
C．直线与可能为异面直线 D．直线，，相交于一点
【分析】由梯形的定义和平面的基本性质，结合图形，可得结论．
【解答】解：梯形中，，且，，则不一定成立；
和不为异面直线；和不为异面直线；
由、相交，设交点为，可得在上，又在平面内，可得在平面内；
同理可得也在平面内，则在平面、的交线上，
即直线，，相交于一点．
故选：．
【点评】本题考查空间中线线的位置关系，以及平面的基本性质，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
6．（5分）2021年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项、、、中，有多项符合题目要求．规定：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．若某题的正确答案是，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于，则其得分的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】求出基本事件总数和能得分的基本事件数，再利用古典概型的概率公式即可求解．
【解答】解：考生随机地选了至少一个选项，共有：种，
得分的选法有：种，
能得分的概率为．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．
【解答】解：由正弦定理得，
所以，
因为三角形有两解，
所以且，
所以，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的解的个数，属于基础题．
8．（5分）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中不一定正确的是　　

A．平面 B．平面平面
C．三棱锥的体积不变 D．
【分析】对于，当在处时，符合题意；对于，由三垂线定理易知平面，进而可得平面平面；对于，由等体积法结合线面平行的性质易判断正确；对于，可证得平面，由此得到，而这显然不成立，由此判断其错误．
【解答】解：对于，当在处时，易知，，而平面，平面，故平面，
故选项可能正确；
对于，在正方体中，由三垂线定理可得，，，
而，且平面，平面，故平面，
又平面，故平面平面，故选项正确；
对于，，而，则易知平面，点在上，
则点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故选项正确；
对于，由三垂线定理可知，，
若，则易知平面，则，而这显然不成立，故选项一定不正确．
故选：．

【点评】本题考查立体几何中线线，线面，面面间的位置关系，考查等体积法的运用，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9．（5分）若复数满足（其中是虚数单位），则　　
A．的虚部为
B．的模为
C．的共轭复数为
D．在复平面内对应的点位于第四象限
【分析】由可得，利用复数的除法法则将转化为、的形式即可对选项逐一判断．
【解答】解：由，得，
所以的虚部为，选项错误；
，选项正确；
的共轭复数为，选项错误；
在复平面内对应的点为位于第四象限，选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的运算，涉及的模、虚部、几何意义等，考查运算求解能力，属于基础题．
10．（5分）已知正四面体的棱长为，则　　
A．
B．四面体的表面积为
C．四面体的体积为
D．四面体的外接球半径为
【分析】、取中点，由面，即有；
、正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；
、设在底面的投影为，求出，从而求得即可得四面体的体积；
、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可．
【解答】解：，如图，取中点，连接，，可得，，即可得面，即有，故正确；
、正四面体的各棱长为，正四面体的表面积．故正确；
、如图，设在底面的投影为，则，
，四面体的体积为，故错；
、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，
正四面体的棱长为，正方体的棱长为，正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为，，．故正确．
故选：．

【点评】本题考查了正四面体的性质、体积，属于中档题．
11．（5分）下列命题正确的有　　
A．
B．若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，若点满足，则点是的重心
D．在中，若，则点的轨迹经过的内心
【分析】直接利用向量的线性运算，单位向量的应用，中线向量，三角形的重心和内心的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于，故正确；
对于：若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故错误；
对于：在中，若点满足，
如图所示：

整理得：以和为邻边作平行四边形，
所以，
则，
则点是的重心，故正确；
对于：由于为单位向量，
由于，则点的轨迹在角平分线上，即经过的内心，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，单位向量的应用，中线向量，三角形的重心和内心的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12．（5分）在中，满足，则下列说法正确的是　　
A．
B．
C．若，为不同象限角，则的最大值为
D．
【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，
对于，利用两角和与差的余弦函数公式可得，进而可求，或，即可判断；
对于，利用同角三角函数基本关系式即可判断；
对于，由，为不同象限角，可得，利用三角函数恒等变换及基本不等式即可求解，即可判断；
对于，利用三角函数恒等变换的应用可求，即可判断．
【解答】解：因为，可得，
所以，
对于，由题意可得，可得，可得，或，故错误；
对于，，故正确；
对于，因为，为不同象限角，所以，
可得，故正确；
对于，因为
，
所以，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）从含有两件正品，和一件次品的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为　　．
【分析】基本事件总数，取出的两件产品都是正品包含的基本事件个数，由此能求出取出的两件产品都是正品的概率．
【解答】解：从含有两件正品，和一件次品的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，
基本事件总数，
取出的两件产品都是正品包含的基本事件个数，
取出的两件产品都是正品的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知一组样本数据，，，，且，平均数，则该组数据的标准差为　9　．
【分析】该组数据的方差为，先求出该组数据的方差，再求出该组数据的标准差．
【解答】解：一组样本数据，，，，且，平均数，
则该组数据的方差为


，
该组数据的标准差为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，方差的定义，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知向量、满足为单位向量，且，，则向量、的夹角是 　　．
【分析】根据可得出，然后对两边平方即可得出的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可得出的值，从而可得出，的夹角．
【解答】解：，，
，
，
又，
，
，
，且，
的夹角是．
故答案为：．
【点评】本题考查了单位向量的定义，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
16．（5分）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 　　．

【分析】分别取中点，中点，中点，可得出过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，由此能求出过，，三点的平面截正方体所得截面面积．
【解答】解：分别取中点，中点，中点，可得出过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，则正六边形的边长，
故截面多边形的面积等于．

【点评】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）计算：为虚数单位）；
（2）已知是一个复数，求解关于的方程．为虚数单位）．
【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；
（2）设，则，代入，整理后利用复数相等的条件列式求得与的值，则答案可求．
【解答】解：（1）
；
（2）设，则，
代入，
得，即，
则，解得或．
则或．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查计算能力，是中档题．
18．（12分）已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
【分析】（1）由已知结合向量平行的坐标表示及和差角公式及同角平方关系即可求解，
（2）由已知结合同角基本关系可求，然后结合两角和的正切公式可求，进而可求．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以，
所以，即．
（2）因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，且，
所以，
因为，所以．
因为，所以．
【点评】本题以向量平行为载体，主要考查了两角和与差的三角公式，同角基本关系，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）设，，延长到点使，求的面积．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等可得，化简可得：，结合范围，情况的值．
（2）由正弦定理可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正弦公式可求的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）．由正弦定理，可得，
可得：，可得：，化简可得：，
，
．
（2）由，可得，
可得，
，
所以，可得．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．
20．（12分）如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，其中，，平面平面，点，，，分别是，，，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）当与平面所成的角为时，求四棱锥的体积．

【分析】（1）由，知，再由平面平面，推出平面，然后由面面垂直的判定定理，得证；
（2）连接，则，由平面平面，知平面，连接，则，再求得的长，然后由，得解．
【解答】（1）证明：由题意知，，
，分别是，的中点，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2）解：连接，
，且是的中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
连接，则为与平面所成的角，即，
，
而，
，即点到平面的距离为，
点是的中点，点到平面的距离为，
四棱锥的体积．

【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和棱锥体积的求法，熟练掌握线与面垂直的判定定理、性质定理，以及等体积法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态．”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：
调查评分
，
，
，
，
，
，
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在，的市民为400人．
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在，的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在，的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于0.8，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数问卷调查评分
【分析】（1）调查评分在，的市民为400人，该区间的频率为0.2，即可求解的值，再根据每组的纵坐标的和乘以组距10为1，即可求解．
（2）根据已知条件，结合分层抽样的知识和概率乘法知识，即可求解．
（3）根据频率分布直方图，求出平均值，即可求解．
【解答】解：（1）调查评分在，的市民为400人，
，
每组的纵坐标的和乘以组距10为1，
，解得．
（2）调查评分在，的频率为0.002，调查评分在，的频率为0.004，
调查评分在，的人数占调查评分在，人数的，
若按分层抽样抽取3人，则查评分在，的人数为1人，调查评分在，人数为2人，
经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
选出的3人经过心里辅导后，心里等级均达不到的概率为，
经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为．
（3）由频率分布直方图可得，
，
估计市民心里健康问卷调查的平均评分为80.7，
市民心里健康指数平均值为，
只需发放心里指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．
22．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点，，，．
（1）若平面与平面的交线为，求证：；
（2）求直线与平面所成角的正切值；
（3）求直线与所成角的余弦值．

【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，由线面平行的性质定理即可证明；
（2）连结，取的中点，连接，，利用面面垂直的性质定理证明平面，由线面角的定义得到，为与平面所成的角，在三角形中，由边角关系求解即可；
（3）利用直线与所成的角即为直线与所成的角，然后在三角形中，由余弦定理求解即可．
【解答】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，又平面平面，
所以；
（2）解：连结，取的中点，连接，，
因为是的中点，是的中点，所以，
因为，为的中点，所以，
又因为平面平面且平面平面，
所以平面，则平面，
所以是在平面内的射影，
则为与平面所成的角，
因为，，为的中点，，
所以四边形为矩形，
则，，
又，
在中，，
故直线与平面所成角的正切值为；
（3）解：由（2）可知，，
所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
连接，在中，，
在中，，又，
则在中，，
所以直线与所成角的余弦值为．

【点评】本题考查了线面角与异面直线所成角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．
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日期：2021/8/23 17:48:07；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394