第1章 三角形的初步认识 浙教版八年级数学上册同步测试(含解析)

这是一份第1章 三角形的初步认识 浙教版八年级数学上册同步测试(含解析)，共30页。
浙教版八年级数学上册《第1章三角形的初步认识》同步练习题
一．选择题
1．△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　）
A．6 B．14 C．6或14 D．8或12
2．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（　　）

A．120° B．110° C．100° D．90°
3．如图，M是一个加油站，A，B是两个村庄，现要建一条直线型公路，使加油站M到公路的距离为1km，且A，B两村到公路的距离相等，那么这条公路的设计方案有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD D．PD＝CD


5．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　）

A．87° B．84° C．75° D．72°
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（　　）

A．BC+AD＝CD B．E为CD中点
C．∠AEB＝90° D．S△ABE＝S四边形ABCD
7．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　）
A．60° B．10° C．45° D．10°或60°
8．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个．

A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．

A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
二．填空题
11．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝　 　，△ABC为等腰三角形．
12．若满足∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是　 　．
13．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　 　°．

14．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC＝2∠BPC，则∠BAC＝　 　．
15．在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　 　；一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间关系式为：　 　．

16．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　．

三．解答题
17．如图，∠1＝∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，且BC＝DC．
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
（2）若DF＝1cm，AD＝3cm，则AB的长为 　 　cm．

18．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H．
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C．
（3）线段PH的长度是点P到　 　的距离．　 　是点C到直线OB的距离．
（4）线段PC、PH、OC的大小关系是　 　（用“＜”号连接）．

19．如图，D、E在△ABC的边AB上，且∠ACD＝∠ABC．若∠BAC的平分线AF交CD于F，BE+AC＝AB，求证：EF∥BC．

20．如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　 　（只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．

21．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．

（1）求∠ABC+∠ADC的度数；
（2）求证：FO＝OG；
（3）当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB．
22．已知，点A、B分别在∠MON的两边OM、ON上，点C是射线OP上的一点，连接AC、BC，，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）；AF平分∠MAC，BE平分∠NBC．
（1）如图1，若x＝y＝75°，
①求的度数；
②判断AF、BE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当点C在射线OP上运动时，若直线AF、BE相交于点G，请用含有x、y的代数式表示∠AGB（直接写结果）．

23．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 　 　秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 　 　边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

24．按下列要求分别作图：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；并利用尺规作图作出线段PD．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

（2）如图2是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画出与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形．（注：有几个画几个）
25．如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．
（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β＝　 　°，∠P＝　 　°；
（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．
①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为 　 　；
②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；
③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．


参考答案
一．选择题
1．解：∵AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
分两种情况：
当BD与CE无重合时，

∵BC＝10，DE＝4，
∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当BD与CE有重合时，

∵BC＝10，DE＝4，
∴AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，
综上所述：AD+AE的值为：6或14，
故选：C．
2．解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A，
∵∠1+∠2＝120°，
∴∠A＝60°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×60°
＝120°．
故选：A．
3．解：如图，这条公路的设计方案有4种，分别是图中的l1，l2，l3，l4．
取AB的中点O，作AB的垂直平分线，以点M为圆心，1km为半径作圆，
此时过点O的直线l1 和l2 符合题意；
另外，与直线AB平行且与圆相切的两条直线l3和l4也符合题意．

故符合题意的公路的设计方案有4种，分别是图中的l1，l2，l3，l4．
故选：D．
4．解：∵PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，故A选项正确；
∵∠PCO＝∠PDO＝90°，∠AOP＝∠BOP，
∴∠OPC＝∠OPD，故B选项正确；
∵∠OPC＝∠OPD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴PO垂直平分CD，故C选项正确；
∵∠PDC的度数不一定是60°，
∴△CDP不一定是等边三角形，
∴PD＝CD不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
5．解：如图，

由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
6．解：延长BE，AD交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠BAD＝180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠CBA，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
故选项C不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠ABF＝∠F，∠C＝∠D，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠FED，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴CE＝DE，
∴E为CD中点，
故选项B不符合题意；
∵△BCE≌△FDE，
∴S△ABF＝S四边形ABCD，
∵E为CD中点，
∴S△ABE＝S△ABF，
∴S△ABE＝S四边形ABCD，
故选项D不符合题意；
∵△ABE≌△AFE（AAS），△BCE≌△FDE（AAS），
∴AB＝AF，BC＝DF，
∵AF＝AD+DF＝AD+BC，
∴AB＝AD+BC，
∵AB与CD不一定相等，
∴BC+AD＝CD不一定成立；
故选项A符合题意．
故选：A．

7．解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，

∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，

∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，∠BCD的度数为60°或10°，
故选：D．
8．解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC，
同理：B′E′＝A′C′，
∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，
∴∠CAD＝∠C′A′D′，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选：A．

9．解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC＝为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即BC的长可能值有4个，
故选：A．

10．解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故选：B．

二．填空题
11．解：①当AB＝AC时，
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠B＝72°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝36°，
∴∠C＝108°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝36°，
综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，
故答案为：72°，36°，108°．
12．解：如图所示，以点A为圆心，2为半径画弧，弧线与射线OB有唯一交点B，即△AOB的形状与大小是唯一的；
以A为圆心，大于等于4为半径画弧，弧线与射线OB（不含端点）有唯一交点B'，即△AOB'的形状与大小是唯一的；

综上所述，k的取值范围是k＝2或k≥4．
故答案为：k＝2或k≥4．
13．解：∵AD⊥BC，
∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD，
又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD，
∴∠FCB＝∠B，
∴EF∥AB，
∴∠ECG＝∠BGC＝70°，
∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，
∴∠BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCG，
∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG＝×70°＝35°，
故答案为：35．

14．解：分两种情况：
①如图所示，当O在△ABC内部时，连接AO，
∵O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ACO＝∠CAO，
∴∠BOC＝∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠CAO＝2∠BAC，
∵P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
又∵3∠BOC＝2∠BPC，
∴3×2∠BAC＝2（90°+∠BAC），
解得∠BAC＝36°；

②如图所示，当O在△ABC外部时，连接AO，
∵O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ACO＝∠CAO，
∴四边形ABOC中，∠BOC＝360°﹣∠ABO﹣∠BAO﹣∠ACO﹣∠CAO＝360°﹣2∠BAC，
∵P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
又∵3∠BOC＝2∠BPC，
∴3×（360°﹣2∠BAC）＝2（90°+∠BAC），
解得∠BAC＝（）°，
故答案为：36°或（）°．


15．解：当AP＝AD时，
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP，
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA，
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△BDC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC），
＝S△BDC+S△ABC，
∴S△PBC＝S△BDC+S△ABC，
故答案为：S△PBC＝S△ABC+S△DBC；S△PBC＝S△BDC+S△ABC．
16．解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．

三．解答题
17．解：（1）BE＝DF，
证明：∵∠1＝∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF＝90°．
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL）．
∴BE＝DF．
（2）在△AFC与△AEC中
，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AE＝AF＝3+1＝4，DF＝BE＝1，
∴AB＝5．
故答案为：5．

18．解：（1）如图，直线PH即为所求：

（2）如图，直线PC即为所求：
（3）线段PH的长度是点P到直线OA的距离；线段PC的长度是点C到直线OB的距离．
（4）线段PC、PH、OC的大小关系是PH＜PC＜OC．
故答案为：直线OA，线段PC的长度；PH＜PC＜OC．
19．证明：∵BE+AC＝AB，BE+AE＝AB，
∴AE＝AC，
∵∠BAC的平分线AF交CD于F，
∴∠EAF＝∠ACF，
在△AEF与△ACF中
，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠AEF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴EF∥BC．
20．解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．
故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：
如图2，连接AA′．

由题意知：∠EAD＝∠EA′D．
∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
21．（1）解：在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
（2）证明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，
∵BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE，
∴2∠ABF+2∠ADE＝180°，
∴∠ABF+∠ADE＝90°，
又∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ADE＝∠AFB
∴BF∥ED，
∴∠BFG＝∠AFB，
在△BFO和△DOG中，
，
∴△BFO≌△DOG（ASA），
∴OF＝OG；
（3）证明：
证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，

则△BCD≌△BKD（AAS），
∴BK＝CD，
在△BAD和△NAD中，
，
∴△BAD≌△NAD（ASA），
∴NB＝2AB，
∵∠ABF＝∠CBF＝∠ADE＝22.5°
在△BKN和△MCD中，
，
∴△BKN≌△MCD（ASA），
∴MD＝BN＝2AB；
证法二：如图，延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L，

在△BAD和△BND中，
，
∴△BAD≌△BND（ASA），
∴AB＝NB，
在△LND和△BND中，
，
∴△LND≌△BND（ASA），
∴NB＝NL，
∴BL＝2AB，
∵∠LBC+∠BMN＝∠CMD+∠MDC＝90°，
∠BMN＝∠DMC，
∴∠LBC＝∠MDC，
在△LCB和△MCD中，
，
∴△LCB≌△MCD（ASA），
∴BL＝MD＝2AB．
22．解：（1）①∵∠MAC＝∠AOC+∠ACO，∠NBC＝∠BCO+∠BOC，
＝∠AOC+∠BOC＝75°，＝∠ACO+∠BCO＝75°，
∴∠MAC+∠NBC＝∠AOC+∠ACO+∠BCO+∠BOC＝150°；
②如图1中，连接AB．

∵AF平分∠MAC，BE平分∠NBC．
∴∠FAC＝∠MAC，∠EBC＝∠NBC，
∵∠MAC+∠NBC＝150°，
∴∠FAC+∠EBC＝75°，
∵∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝105°，
∴∠FAB+∠NBA＝∠FAC+∠CAB+∠CBA+∠CBE＝180°，
∴AF∥BE．
（2）由题意可以假设∠MAF＝∠FAC＝α，∠NBE＝∠CBE＝β．
如图2﹣1，则有∠MON＝∠AGB+GAO+∠GBO，

∵∠MAF＝∠FAC＝α，∠NBE＝∠CBE＝β，2α+2β＝∠MON+∠ACB＝x+y，
∴α+β＝x+y，
∴∠AGB＝∠MON﹣（GAO+∠GBO）＝x﹣（x+y）＝x﹣y．
如图2﹣2中，

∵∠AGB＝360°﹣∠MON﹣∠OAG﹣∠OBG，
∴∠AGB＝360°﹣x﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣x，
∵∠ACB＝∠AGB+∠CAG+∠CBG，
∴y＝α+β+∠AGB，
∴∠AGB＝y﹣∠AGB﹣x，
∴∠AGB＝y﹣x．
如图2﹣3中，

∵∠AGB＝360°﹣y﹣α﹣β，∠AGB＝360°﹣x﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β），
两式相加可得2∠AGB＝360°﹣x﹣y，
∴∠BGD＝180°﹣x﹣y，
综上所述，∠AGD＝x﹣y或y﹣x或180°﹣x﹣y．
23．解：（1）①全等，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5（厘米），
∵AB＝9cm，点D为AB的中点，
∴BD＝4.5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，
∴PC＝6﹣1.5＝4.5（cm），
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDP和△CPQ中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
②假设△BPD与△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又由∠B＝∠C，则只能是BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5，
∴点P，点Q运动的时间t＝BP÷1.5＝3÷1.5＝2（秒），
∴vQ＝CQ÷t＝4.5÷2＝2.25（cm/s）；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 2.25x＝1.5x+2×9，
解得x＝24，
∴点P共运动了24×1.5＝36（cm）．
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
故答案为：24；AC．

24．解：（1）如图，点P即为所求；线段PD即为所求；

（2）如图2中与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形有6个．
25．（1）解：∵∠EAF＝50°，
∴α+β＝180°﹣50°＝130°，
∴∠FCB+∠EBC＝360°﹣（α+β）＝230°，
∵CP、BP分别平分∠FCB、∠EBC，
∴∠PCB＝∠FCB，∠＝∠EBC，
∴∠PCB+∠PBC＝115°，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝65°，
故答案为：130°，65°．
（2）①如图2
∵∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，
∴∠ACQ+∠ABQ＝210°，
∴∠FCQ+∠EBQ＝150°，
∵CP、BP分别平分∠FCB、∠EBC，
∴∠PCQ+∠PBQ＝75°，
∴∠ACP+∠ABP＝285°，
∴∠P＝25°，
故答案为：25°.
②如图所示：猜想：BM与CN平行．
证明：延长BQ交CN于H，
设∠EAF＝∠CQB＝x°，
∴∠ACQ+∠ABQ＝360°﹣2x°，
∴∠FCQ+∠EBQ＝360°﹣（360°﹣2x°）＝2x，
∵CN、BM分别平分∠FCQ、∠EBQ，
∴∠HCQ+∠MBQ＝×2x°＝x°，
∵∠CQB＝∠HCQ+∠CHQ＝x°，
∴∠MBQ＝∠CHQ，
∴BM∥CN，
③BM与CN能垂直，理由如下：
设∠EAF＝x°，∠CQB＝y°，
延长BQ交AF于G，
∵∠CGQ＝∠A+∠QBA＝x°+∠QBA，
y°＝∠CGB+∠ACQ，
∴y°＝x°+∠ABQ+∠ACQ，
∴∠ABQ+∠ACQ＝y°﹣x°，
∵CN、BM分别平分∠FCQ、∠EBQ，
∴∠QCD+∠QBD＝（360°﹣∠ACQ﹣∠ABQ）＝180°﹣（x°﹣y°），
∵y°+∠QCD+∠QBD+90°＝360°，
∴y°+180°﹣（y°﹣x°）+90°＝360°，
∴x°+y°＝180°，
∴∠EAF+∠CQB＝180°．