辽宁省阜新市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷+Word版含解析

2020-2021学年辽宁省阜新市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 

1．已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈R}，A∩B＝（　　）

A．（﹣∞，1] B．（0，2] C．（0，1] D．[0，1]

2．设命题p：∀x＞0，x2+x+1＞0，则￢p为（　　）

A．￢p：∃x＞0，x2+x+1≤0 B．￢p：∃x＜0，x2+x+1≤0 

C．￢p：∀x＞0，x2+x+1≤0 D．￢p：∀x＜0，x2+x+1≤0

3．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在等差数列{an}中，a1+3a7+a13＝120，则3a9﹣a13的值为（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48

5．函数f（x）＝x3﹣2x的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为（　　）

A．y＝x B．y＝2x﹣1 C．y＝x+2 D．y＝x﹣2

6．已知正实数x，y满足x+4y﹣xy＝0，若x+y≥m恒成立，则实数m的最大值为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．9

7．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（　　）

A．3或﹣1 B．3 C．1 D．﹣3或1

8．已知f（x）＝x+，g（x）＝x2﹣2x+a，若对∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是（　　）

A．[2，5] B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知集合{x|mx2﹣2x+1＝0}＝{n}，则m+n的值可能为（　　）

A．0 B． C．1 D．2

10．下列4个函数中，在定义域内是减函数的有（　　）

A． B．y＝﹣2x+1 C． D．

11．已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝﹣3，则（　　）

A．数列{3an+an+1}是等比数列 

B．数列{an+1﹣an}是等差数列 

C．数列{anan+1}是等比数列 

D．数列{log3|an|}是等差数列

12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）在x＝处取得极小值，极小值为 

B．f（x）只有一个零点 

C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞ 

D．f（1）＜f（）＜f（）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数f（x）＝的定义域是 　       　．

14．写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则an＝　                　．

15．已知f（x）＝，若a＝0，方程f（x）＝0的解集是 　         　；若方程f（x）＝0的解集中恰有3个元素，则a的取值范围是 　         　．

16．若关于x不等式x＞kex（x+1）的解集中的正整数有且只有一个，则k的取值范围是 　                　．

四、解答题（本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨（0＜x≤600且x是600的约数），运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．

（1）写出一年的总运费与总存储费用之和y（万元）与x的函数关系式

（2）求一年的总运费与总存储费用之和的最小值，并求出此时每次应购买多少吨．

18．在等差数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若 ______，求数列{bn}的前n项和Tn．

（在①bn＝；②bn＝（﹣1）n•an两个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）

19．已知函数f（x）＝有极小值﹣6．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求m的值；

（3）求f（x）在[﹣3，4]上的最大值和最小值．

20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3﹣2an．

（1）求证：{an}是等比数列；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn．

21．解关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＜0．

22．已知函数f（x）＝axalnx（a＞0）．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；

（2）若f（x）≤xex对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．

参考答案

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 

1．已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈R}，A∩B＝（　　）

A．（﹣∞，1] B．（0，2] C．（0，1] D．[0，1]

解：因为集合A＝{x|≤0}＝{x|0＜x≤2}，

又集合B＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈R}＝{y|y≤1}，

则A∩B＝{x|0＜x≤1}．

故选：C．

2．设命题p：∀x＞0，x2+x+1＞0，则￢p为（　　）

A．￢p：∃x＞0，x2+x+1≤0 B．￢p：∃x＜0，x2+x+1≤0 

C．￢p：∀x＞0，x2+x+1≤0 D．￢p：∀x＜0，x2+x+1≤0

解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x＞0，x2+x+1＞0，则￢p：∃x＞0，x2+x+1≤0．

故选：A．

3．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，

而当，时，例如取a＝﹣2，b＝﹣1，显然不能推出a＞b＞0．

故是a＞b＞0的必要不充分条件．

故选：B．

4．在等差数列{an}中，a1+3a7+a13＝120，则3a9﹣a13的值为（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48

解：在等差数列{an}中，a1+3a7+a13＝120，

∴a1+3（a1+6d）+a1+12d＝120，

∴a1+6d＝24，

∴3a9﹣a13＝3（a1+8d）﹣a1﹣12d＝2（a1+6d）＝2×24＝48．

故选：D．

5．函数f（x）＝x3﹣2x的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为（　　）

A．y＝x B．y＝2x﹣1 C．y＝x+2 D．y＝x﹣2

解：∵f（x）＝x3﹣2，

∴f′（x）＝3x2﹣2，

∴f′（1）＝1，f（1）＝﹣1

∴函数f（x）＝x3﹣2x的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为y+1＝（x﹣1），

即y＝x﹣2

故选：D．

6．已知正实数x，y满足x+4y﹣xy＝0，若x+y≥m恒成立，则实数m的最大值为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．9

解：因为x+4y﹣xy＝0，即，

因为x＞0，y＞0，

则x+y＝（x+y），

当且仅当，即x＝2y时取等号，

所以x+y的最小值为9，

因为x+y≥m恒成立，

故m≤9，

 则实数m的最大值为9．

故选：D．

7．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（　　）

A．3或﹣1 B．3 C．1 D．﹣3或1

解：根据条件知：α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，

∴+＝＝﹣1，

∴＝﹣1，

即：m2﹣2m﹣3＝0，

解得：m＝3或﹣1，

当m＝3时，方程为x2+9x+9＝0，此方程有两个不相等的实数根，

当m＝﹣1时，方程为x2+x+1＝0，此方程无实根，不合题意，舍去，

∴m＝3．

故选：B．

8．已知f（x）＝x+，g（x）＝x2﹣2x+a，若对∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是（　　）

A．[2，5] B． C． D．

解：由f（x）＝x+在[1，2]递减，在（2，3]递增，可得f（x）的值域为A＝[4，5]，

g（x）＝x2﹣2x+a在[1，3]递增，可得g（x）的值域为B＝[a﹣1，a+3]，

若对∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）＝g（x2），

可得f（x）的值域A为g（x）的值域B的子集．

则a﹣1≤4，且a+3≥5，解得2≤a≤5，

故选：A．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知集合{x|mx2﹣2x+1＝0}＝{n}，则m+n的值可能为（　　）

A．0 B． C．1 D．2

解：∵集合{x|mx2﹣2x+1＝0}＝{n}，

∴或，

解得或，

∴m+n＝或m+n＝2．

故选：BD．

10．下列4个函数中，在定义域内是减函数的有（　　）

A． B．y＝﹣2x+1 C． D．

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝，是反比例函数，在其定义域上不具有单调性，不符合题意；

对于B，y＝﹣2x+1，是一次函数，在定义域内是减函数，符合题意；

对于C，y＝ln＝﹣lnx，在定义域（0，+∞）内是减函数，符合题意；

对于D，y＝﹣ex，其导数y′＝﹣﹣ex＜0，在定义域R内是减函数，符合题意；

故选：BCD．

11．已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝﹣3，则（　　）

A．数列{3an+an+1}是等比数列 

B．数列{an+1﹣an}是等差数列 

C．数列{anan+1}是等比数列 

D．数列{log3|an|}是等差数列

解：等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝﹣3，

对于A，3an+an+1＝3[（﹣3）n﹣1]+（﹣3）n＝[（﹣1）n﹣1+（﹣1）n]•3n＝0，

∴数列{3an+an+1}是常数列，故A错误；

对于B，an+1﹣an＝（﹣3）n﹣（﹣3）n﹣1＝，是等比数列，故B错误；

对于C，anan+1＝（﹣3）n﹣1•（﹣3）n＝（﹣3）2n﹣1，是等比数列，故C正确；

对于D，log3|an|＝＝n﹣1，是等差数列，故D正确．

故选：CD．

12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）在x＝处取得极小值，极小值为 

B．f（x）只有一个零点 

C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞ 

D．f（1）＜f（）＜f（）

解：对 A，∵，且 x∈（0，+∞），

可得：

可得：

故 x2f（x）＝lnx+c（c 为常数 ）

∵f（1）＝0

可得：12f（1）＝ln1+c

求得：c＝0

故：x2f（x）＝lnx

整理可得：

＝

当1﹣2lnx＞0，即

解得：，此时 f（x） 单调递增，

当 1﹣2lnx＝0，即 ，

解得：

当 1﹣2lnx＜0，即

解得：，此时 f（x） 单调递减

∴ 取得极大值，

故A错误；

对 B，x→0+，f（x）＜0

x→+∞，f（x）＞0

画出 f（x） 草图：如图

根据图象可知：f（x） 只有一个零点，故B说法正确；

对 C，要保证 在 （0，+∞） 上恒成立

即：保证 在 （0，+∞） 上恒成立

∵，可得 在 （0，+∞） 上恒成立

故只需 ，

令 ，∴，

当时，

当时，

当时，

，

∴，故 C 说法正确，

对 D，根据 单调递增， 单调递减，

∵，可得 ，

又，

又，

根据，

∴，

故：，故D说法正确．

综上所述，正确的说法是：BCD．

故选：BCD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数f（x）＝的定义域是 　[﹣1，6]　．

解：根据函数f（x）＝，可得6+5x﹣x2≥0，即（x﹣6）（x+1）≤0，

求得﹣1≤x≤1，可得函数的定义域为[﹣1，6]，

故答案为：[﹣1，6]．

14．写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则an＝　（答案不唯一）　．

解：根据题意，要求的数列可以为an＝，

故答案为：（答案不唯一）．

15．已知f（x）＝，若a＝0，方程f（x）＝0的解集是 　{﹣1，1，2}　；若方程f（x）＝0的解集中恰有3个元素，则a的取值范围是 　[﹣1，1）　．

解：当a＝0时，f（x）＝，

当x≤0时，f（x）＝x+1＝0，解得x＝﹣1；

当x＞0时，f（x）＝x2﹣3x+2＝0，解得x＝1和x＝2．

故若a＝0，方程f（x）＝0的解集是{﹣1，1，2}；

因为f（x）＝，

则在同一直角坐标系中，作出函数f（x）＝x+1的图象，如图蓝色的直线，

作出函数f（x）＝x2﹣3x+2的图象，如图红色的抛物线，

将直线x＝a从左向右平移，

由图象可得，当a＜﹣1或1≤a＜2时，方程f（x）＝0有2个解，不符合题意；

当﹣1≤a＜1时，方程f（x）＝0有3个解，符合题意；

当a≥2时，方程f（x）＝0有1个解，不符合题意．

综上所述，实数a的取值范围为[﹣1，1）．

故答案为：{﹣1，1，2}；[﹣1，1）．

16．若关于x不等式x＞kex（x+1）的解集中的正整数有且只有一个，则k的取值范围是 　　．

解：当k≤0时，任一正整数都满足不等式x＞kex（x+1），故k＞0．

当k＞0，x≥1时，不等式x＞kex（x+1）等价于，

令f（x）＝﹣，x≥1，

∴当x≥1时，f′（x）＝恒成立，∴f（x）在[1，+∞]上单调递增，

∴，解得．

故答案为：．

四、解答题（本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨（0＜x≤600且x是600的约数），运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．

（1）写出一年的总运费与总存储费用之和y（万元）与x的函数关系式

（2）求一年的总运费与总存储费用之和的最小值，并求出此时每次应购买多少吨．

解：（1）设每次购买x吨，则一年需要购买次，

则总运费为万元，

由已知得，一年的总存储费用为4x万元，

则y＝，0＜x≤600，且，

∵0＜x≤600，

∴y＝，0＜x≤600．

（2） （万元），当且仅当，即x＝30吨时，y取得最小值，

故每次应购买30吨，一年的总运费与总存储费用之和取得最小值，最小值为240（万元）．

18．在等差数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若 ______，求数列{bn}的前n项和Tn．

（在①bn＝；②bn＝（﹣1）n•an两个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）

解：（1）等差数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20．

设首项为a1，公差为d，

所以，解得，故an＝2n．

（2）由（1）得：

选条件①时，bn＝＝，

故＝1﹣；

选条件②时，bn＝（﹣1）n•an＝（﹣1）n•2n，

当n为偶数时，；

当n为奇数时，Tn＝（﹣2+4）+（﹣6+8）+...+[﹣2（n﹣2）+2（n﹣1）]﹣2n＝（n﹣1）﹣2n＝﹣n﹣1，

所以．

19．已知函数f（x）＝有极小值﹣6．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求m的值；

（3）求f（x）在[﹣3，4]上的最大值和最小值．

解：（1）f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），

令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，

令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3，

所以f（x）单调递减区间为（﹣1，3），单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．

（2）由（1）知，f（x）极小值＝f（3）＝×33﹣33﹣3×2+m＝﹣6，

解得m＝18．

（3）由（1）知，f（x）在（﹣3，﹣1）单调递增，在（﹣1，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增，

f（﹣3）＝×（﹣3）3﹣（﹣3）2﹣3×（﹣3）+18＝9，

f（﹣1）＝×（﹣1）3﹣（﹣1）2﹣3×（﹣1）+18＝，

f（3）＝×（3）3﹣（3）2﹣3×（3）+18＝9，

f（4）＝×（4）3﹣42﹣3×4+18＝，

所以f（x）在[﹣3，4]上的最大值为，最小值为9．

20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3﹣2an．

（1）求证：{an}是等比数列；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn．

解：（1）证明：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3﹣2an，①，

当n＝1时，整理得：a1＝1；

当n≥2时，Sn﹣1＝3﹣2an﹣1，②，

①﹣②得：an＝﹣2an+2an﹣1，

整理得：（常数），

故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列；

（2）由（1）得：．

所以，

所以①，

②，

①﹣②得：，

所以：，

整理得：．

当n＝1时，满足上式，

故：．

21．解关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＜0．

解：原不等式等价为（ax﹣1）（x﹣2）＜0．

（1）当a＝0时，原不等式为﹣（x﹣2）＜0，解得x＞2．即原不等式的解集为（2，+∞）．

（2）若a＞0，则原不等式可化为，，即成立，

对应方程的根为x＝2或x＝．

当＞2，即0＜a＜时，不等式的解为2＜x＜．

当a＝时，不等式的解集为空集．

当＜2，即a＞时，不等式的解为＜x＜2．

（3）若a＜0，则原不等式可化为，，

即成立，对应方程的根为x＝2或x＝．

所以＜2，所以不等式的解为x＞2或x＜．

综上：（1）当a＝0时，不等式的解集为（2，+∞）．

（2）0＜a＜时，不等式的解集为（2，）．

当a＝时，不等式的解集为空集．

当a＞时，不等式的解集为（）．

当a＜0时，不等式的解集为（2，+∞）

22．已知函数f（x）＝axalnx（a＞0）．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；

（2）若f（x）≤xex对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．

解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，得f′（x）＝lnx+1，

则f（e）＝e，f′（e）＝2，

所以y＝f（x）在x＝e处的切线方程为y＝2x﹣e．

（2）当a＞0且x＞1时，

由于f（x）≤xex⇔axalnx≤xex⇔xalnxa≤xex⇔xalnxa≤ex•lnex，

构造函数g（x）＝xlnx，

得g′（x）＝lnx+1＞0（x＞1），所以g（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，

f（x）≤xex⇔xalnxa≤ex•lnex⇔g（xa）≤g（ex），

f（x）≤xex对于任意的x＞1都成立，又xa＞1，ex＞1，再结合g（x）的单调性可知，

xa≤ex对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，

令h（x）＝，则h′（x）＝，

h′（x）＞0⇒x＞e，h′（x）＜0⇒1＜x＜e，

则h（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，

故h（x）min＝h（e）＝e，故a≤e，

所以a的最大值为e．