辽宁省抚顺市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（教师版含解析）

抚顺市重点高中协作校2020-2021学年度下学期期末试卷

高二数学试卷

一．选择题(每题5分，共60分)

1. 的展开式中的系数为

A. -80 B. -40 C. 40 D. 80

【答案】D

【解析】

【详解】分析：利用通项公式，分情况讨论x4y3项，即可求解．

详解：(2x﹣y)6由通项公式可得：．

那么(x+y)•

要得到x4y3项：

可得：r=2或r=3．

当r=2时，系数为=240．

当r=3时，系数为﹣=﹣160．

合并后系数为：240﹣160=80．

故选D．

点睛：本题考查了二项式定理系数的求法，要灵活运用通项公式，合理分类讨论．属于中档题．

2. 记为等差数列的前项和，已知，，则(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题首先可以将转化为，将转化为，然后两式联立，解得以及，最后根据等差数列通项公式以及前项和公式即可得出结果.

【详解】设等差数列的公差为，

则，，

联立，解得，，

则，

，

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列通项以及前项和的求法，主要考查等差数列通项公式以及前项和公式的灵活应用，考查计算能力，是简单题.

3. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出，代值计算即可得出结果.

【详解】因，则，故.

故选：C.

4. 设随机变量，若在内取值概率0.8，则在内取值为(    )

A. 0.2 B. 0.1 C. 0.8 D. 0.4

【答案】D

【解析】

【分析】由正态曲线的对称性求解即可

【详解】解：因为随机变量，

所以正态曲线关于对称，

因为在内取值概率为0.8，

所以在内取值为，

故选：D

5. 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停车方法有(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】4个空车位连在一起捆绑当作一个元素与8辆车进行排序，即可求出结果.

【详解】4个空车位连在一起捆绑当作一个元素与8辆车构成9个元素，共有种排法.

故选：C.

6. 函数y＝的最大值为(    )

A. e－1 B. e C. e2 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】先求导找极大值，再得最大值.

【详解】令 当时， ；当 时 ，

所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以

故选：A.

7. 设是等差数列前项和，若，则(    )

A. 2 B.  C. 1 D. 0.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可

【详解】解：因为在等差数列中，，

所以，

故选：C

8. 袋子中有大小、形状、质地完全相同的五个球，其中2个黑球，3个红球.小明随机取出两个球，若已知小明取到的两个球为同色，则这两个球都为黑球的概率(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.

【详解】设取到的两个球为同色为事件，这两个球都为黑球为事件，

则，，

所以.

故选：C

9. (多选)下列函数中，在内为增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦函数得单调性即可判断A；要使函数在内为增函数，只要证明其导函数在上大于等于零恒成立(不连续为零)即可.依次分析B、C、D即可得解.

【详解】解：因为得单调增区间为，故A不符题意；

对于B，由，则，

因为，所以，所以函数在内为增函数，故B符合题意；

对于C，由，则，所以函数在内为增函数，故C符合题意；

对于D，由，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在递减，故D不符题意.

故选：BC.

10. (多选)下列说法错误的有(    )

A. 若，，成等差数列，则，，成等差数列

B. 若，，成等差数列，则，，成等差数列

C. 若，，成等差数列，则，，成等差数列

D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列

【答案】ABD

【解析】

【分析】

【详解】解：若，，成等差数列，可取，

则，，，所以，故A错误；

则，，，所以，故B错误；

则，，，所以，故D错误；

若，，成等差数列，则，

所以，

所以，，成等差数列，故C正确.

故选：ABD.

11. (多选)等于(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由组合数性质可得结果.

【详解】.

故选：CD.

12. (多选)设等比数列的前项和为，且满足，则(    )

A. 数列的公比为2 B. 数列的公比为

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】利用等比数列的通项公式求出公比可判断A、B，利用等比数列的前项和公式可判断C、D.

【详解】设等比数列的公比，由，

则，解得，解得，故A正确、B错误；

由等比数列的前项和公式可得，故D正确.

故选：AD

二、填空题(共20分)

13. 从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽取5张，则抽到的期望是______．

【答案】

【解析】

【分析】计算抽到的张数可能为0，1，2，3，4及对应的概率可得答案.

【详解】抽到的张数可能为0，1，2，3，4，

所以，

，

，

，

所以.

故答案为：.

14. 如果，取得最大值时，______．

【答案】10

【解析】

【分析】利用二项分布的概率公式求出，再由组合数的性质可得答案

【详解】解：因为，所以，

由组合数的性质可知当时，最大，此时取得最大值，

故答案为：10

15. 曲线 在处切线斜率为，则数列的前项的和为________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用导数求得，可得出，进而可利用裂项相消法可求得数列的前项的和.

【详解】对函数求导可得，由题意可得，

，

因此，数列的前项的和为.

故答案为：.

【点睛】本题考查裂项相消法，同时也考查了利用导数求切线的斜率，考查计算能力，属于中等题.

16. 设函数．若，则a=_________．

【答案】1

【解析】

【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值

【详解】由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得：.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.

三、解答题(70分)

17. 已知随机变量的分布列为

(1)求

(2)若，求；

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】(1)由分布列求出的值，再根据随机变量期望公式可得答案；

(2)由可得答案.

【详解】(1)由分布列得，解得，

(2)若，

则.

18. 设，求：

(1)；

(2)

【答案】(1)64；(2).

【解析】

【分析】(1)利用赋值法，令，可求出的值；

(2)利用赋值法，先，求出，再结合(1)中的值可求得答案

详解】解：(1)令，则，

(2)令，则，

因为，

所以

19. 若展开式中前三项的系数之和为15，

(1)展开式中是否有常数项，说明理由；

(2)求展开式中系数最大的项．

【答案】(1)无常数项；(2)

【解析】

【分析】由已知得：，解得，代入通项公式，整理令无整数解，所以展开式中无常数项；

(2) 由知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数，所以展开式中的第5项为系数最大的项

【详解】，所以由已知得：，解得，

所以()

因为无整数解，所以展开式中无常数项；

(2)由知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数，所以展开式中的第5项为系数最大的项，即．

【点睛】本题以二项式为载体，考查展开式的通项公式以及展开式中系数最大的项，考查二项展开式中的系数最大的项的求法，是圣.

20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)求的值；

(2)求在上的最大值．

【答案】(1)，；(2)13

【解析】

【分析】(1)依题意，由，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解；

 (2)由(1)，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．

【详解】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，

所以，即，

又由，则，

而由切线的斜率可知，∴，即，

由，解得，

∴，．

(2)由(1)知，则，

令，得或，

当变化时，，的变化情况如下表：   

∴的极大值为，极小值为，

又，，所以函数在上的最大值为13．

【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值(最值)之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

21. 已知等差数列，满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求．

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】(1)利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列的通项公式；

(2)先由(1)得到，再利用错位相减法求和即可.

【详解】(1)设等差数列的公差为，

由已知得，

即，

所以，

解得，

所以．

(2)由(1)得，

所以，①

，②   

①②得：，

所以．