2020-2021学年辽宁省辽阳市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年辽宁省辽阳市高二上学期期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，现有下列两个命题等内容，欢迎下载使用。

考生注意:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部公，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容，人教B版选择性必修第一册、第二册第三章.
第I卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2. 已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3. 椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
4. 若直线与圆相离，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.现有下列两个命题:
:在正方体中，；
:若四点共面，则一定存在，，使得.
那么（ ）
A．是真命题，是假命题 B．与都是真命题
C．是假命题，是真命题 D．与都是真命题
6. 已知是抛物线上一点，是焦点，是上一点，且则的纵坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7. 若从中选取两个数，从中选取两个数，将这四个数组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的总个数为（ ）
A． B． C． D．
8. 设分别为双曲线的左、右焦点，直线与相交于两点(在第一象限)，若梯形的面积大于，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题:本大题共4小题.每小题5分北20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知直线的方程为，下列判断正确的是（ ）
A．若则的斜率小于
B．若，则的倾斜角为
C．可能经过坐标原点
D．若，则的倾斜角为
10. 现有个男生个女生，若从中选取个学生，则（ ）
A．选取的个学生都是女生的不同选法共有种
B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有种
C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有种
D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，若为上一点，且，则（ ）
A．的虚轴长与实轴长的比值为 B．的值可能为
C．为抛物线的焦点 D．的值可能为
12.已知椭圆的左、右顶点分别为，点为上一点，且不在坐标轴上，直线AP与直线交于点直线与直线交于点.设直线的斜率为，则满足的的值可能为（ ）
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.双曲线的渐近线方程为_ ．
14.设平面的一个法向量为，点，则与所成角的正弦值为_ ．
15.的展开式中各项系数之和为_ _，常数项为_ _.(本题第一空2分，第二空3分）
16.已知是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为则的最小值为_ ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在与坐标轴所围成三角形面积为，与之间的距离为，点到的距离为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题:已知直线与直线平行，且 ，求的方程.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 如图，在正方体中，为的中点.
证明:平面.
若为平面的中心，求异面直线与所成角的余弦值.
19. 已知圆，直线.
证明:直线与圆相交.
设与圆交于两点，若，求直线的倾斜角及其方程.
20. 直线与抛物线交于两点，且.
证明经过的焦点，并求的值；
若直线与交于两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率.
21.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，
，点为的中点.
证明:平面.
求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22.已知椭圆的左、右焦点分别为，且
求的方程；
若为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明:直线过定点.
高二考试数学试卷参考答案
一、选择题
1. 因为，
所以，
故准线方程为
2. 由题意知
则.
3. 因为
所以
则椭圆的短轴长为.
4. 依题意可得，圆心到直线的距离，则的取值范围是.
5. 在正方体中，，
故是假命题；
若三点都在直线上，，
则，
故是假命题.
6. 因为是抛物线上一点，
所以.
设，
由
得，
整理得，
解得或.
7. 若被选中，则不同的四位数的个数；
若不被选中，则不同的四位数的个数
故不同的四位数的总个数为.
8. 将代入的方程，得，
则梯形的面积，
解得
9. 若则的斜率，则正确；
若，则的方其倾斜角为，则正确；
若可能经过坐标原点，
则，这显然不成立，则错误；
若，则的方程为，其倾斜角为，则正确.
10. 选取的个学生都是女生的不同选法共有种，
恰有个女生的不同选法共有种，
至少有个女生的不同选法共有种，
选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种.
11. 的虚轴长与实轴长的比值为.
因为，
所以的坐标为，
所以为抛物线的焦点.
因为，且
所以.
12. 设，
则
因为，
所以，
直线的方程为，
则的横坐标为，
直线的方程为，
则的横坐标为，
所以，
整理得或，
解得或或.
二、填空题
l3.(或)双曲线的渐近线方程为，
即
14． 与平面所成角的正弦值为
15. 令得的展开式中各项系数之和为，
该展开式的常数项为
16. 圆的标准方程为，
则圆的半径为.
设，
则，
因为，
所以，
所以，
当且仅当.
即时，等号成立，
故的最小值为.
三、解答题
17. 解:依题意可设直线的方程为.
选择，令，得
令，得
故与坐标轴所围成的三角形的面积，
解得
所以的方程为或
选择，因为与之间的距离为
所以
解得或，
所以的方程为或
选择，因为点到的距离为，
所以
解得或，
所以的方程为或.
18.证明:因为在正方体中，，
所以，
又平面平面，
所以平面.
解:以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设
则.
因为，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
19.(方法一)证明:直线过定点，
因为，
所以点在圆的内部，
故直线与圆相交.
解:圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为，
且圆心到直线的距离
因为，
所以
由，得
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
(方法二)
证明；圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为，
且圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
解:因为，
所以
由，得
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
20.证明:因为的焦点为，
且直线经过点，所以经过的焦点.
联立
得
设，则
则，
解得.
解:由知的方程为.
设，则
两式相减，得
因为，
所以的斜率为
21.证明:由题意可得四边形为菱形，连接，
在中，
则为正三角形.·
由点为的中点，得.
点为的中点，
又
，
则
平面.
解:如图，不妨设，以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则
令，
得
设平面的法向量为，
则
令，
得
平面与平面所成锐二面角的余弦值为
22.解:因为，
所以
所以
又
所以，
故的方程为.
证明:由题意可知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，
设，
由
得，
则，
且
设直线的倾斜角分别为，
则，
所以，
即，
所以，
所以，
化简可得，
所以直线的方程为，
故直线过定点.