2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．下面四个几何体中，是棱台的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.

【详解】A项中的几何体是棱柱．

B项中的几何体是棱锥；

D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；

C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．

故选：C

2．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案.

【详解】复数的实部与虚部互为相反数，

，解得：，

故选：A.

3．如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据旋转体的形成过程即可得出选项.

【详解】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，

而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，

分析四个选项，A项，旋转后圆台；

C项，旋转后圆台；D项，球体中挖去一个小球；

故选：B

【点睛】本题考查了旋转体的形成过程，掌握旋转体的结构特征是解题的关键，属于基础题.

4．已知复数（i是虚数单位），则复数在复平面中所对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的四则运算及几何意义即可判定.

【详解】计算可得：，即其在复平面对应的点为.

故选：B

5．在中，，则为（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可.

【详解】由正弦定理可得：，而，

所以，

则，即

易知，所以

在三角形中，所以.

故选：C.

6．如图，在中，，，若，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据向量线性运算，可利用和表示出，从而可根据对应关系求得结果.

【详解】由题意得：

又，可知：

本题正确选项：

【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.

7．如图：正三棱锥中，，侧棱长为2，过点的平面截得．则的周长的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【分析】沿正三棱锥的侧棱AC剪开，根据两点间线段最短，由的周长的最小值为求解.

【详解】由题意，沿正三棱锥的侧棱AC剪开，所得侧面展开图是三个顶角为的等腰三角形，腰长为2，如图所示：

连接，则，

所以是等腰直角三角形，

则，

由两点间线段最短得：的周长的最小值为两点之间的距离，即，

故选：D

8．把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径

【详解】因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，

所以圆柱的高为，

则圆柱的体积为，

设球的半径为，则，

故选：C

二、多选题

9．已知复数，，则（    ）

A．

B．

C．

D．在复平面内对应的点位于第二象限

【答案】AB

【分析】根据复数的加减、乘法及共轭复数定义判断A、B、C，再由复数对应点判断所在象限判断D.

【详解】A：，对；

B：，对；

C：，错；

D：由C分析知：对应点为在第四象限，错.

故选：AB

10．设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则不与垂直 D．不与垂直

【答案】AB

【分析】根据模长公式即可判断A，根据数量积是否为0可判断BCD.

【详解】对于A，由平方可得

，故A正确，

对于B,若则，所以，故B正确，

对于C, 若，则或或（舍去），故可能与垂直，故C错误，

对于D，，所以 ，故D错误，

故选：AB

11．如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ）

A．平面EFGH

B．AC与BD异面

C．平面EFGH

D．直线FE，GH，CA交于一点

【答案】ABD

【分析】由题意，根据线面平行的判定判断A；由异面直线的定义判断B；由题设不平行、不平行、且，结合平面的基本性质判断C、D.

【详解】由知：，面，面，故平面EFGH，A对；

由面，面，而，又面，

所以AC与BD异面，B对；

因为分别是边的中点，分别是边上的三等分点，

所以不平行，延长，与必交于一点，

所以面，故平面EFGH不成立，C错；

同理不平行，由上知：且，

所以延长线与、延长线都相交，而面，面，且，

所以与面交于一点，而直线与平面相交，则交点有且只有一个，

综上，与、延长线的交点均为，D对.

故选：ABD

12．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则有两解 B．若，，则无解

C．若，，则有一解 D．若，，，则有两解

【答案】BD

【分析】A选项，推出是边长为2的等边三角形，有1解；B选项，由正弦定理得到，无解；C选项，由大边对大角得到三角形中有2个钝角，无解；D选项，由正弦定理得到或，D正确.

【详解】A选项，因为，，所以，故，是边长为2的等边三角形，有1解，A错误；

B选项，若，，由正弦定理得，即，

解得，无解，B错误；

C选项，若，，由大边对大角可知，，此时三角形中有2个钝角，不可能，则无解，C错误；

D选项，若，，，由正弦定理得，即，

解得，因为，所以或，

所以有两解，D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知向量,，若，则_________．

【答案】

【详解】分析:直接代向量平行的坐标公式即得x的值.

详解：由题得2×（-2）-x=0，所以x=-4.故填-4.

点睛：本题主要考查向量平行的坐标运算公式，属于基础题.

14．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长______.

【答案】/

【分析】根据斜二测画法的直观图与原图的关系确定的长，即可求的周长.

【详解】由直观图可得，在中，，，且，为中点，

则，所以的周长为.

故答案为：.

15．如图所示（单位：cm），直角梯形ABCD挖去半径为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为__．  

【答案】/

【分析】根据旋转之后的几何体为圆台去掉半球体，根据圆台与球体的体积公式求解即可.

【详解】如图，旋转之后形成的图形为圆台去掉一个半球体

则旋转一周所形成的几何体的体积为.

故答案为：.

四、双空题

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信是半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美. 如图1，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去若干个三棱锥，得到图2. 图2是由边长为2的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，则该半正多面体共有________ 个面，其外接球的体积为________ .

【答案】     14    

【分析】根据图形确定面的个数，找到半正多面体任意两条体对角线，确定其长度即可确定外接球直径，进而求体积.

【详解】由半正多面体，即如图2的十四面体，共有14个面，

该半正多面体两条体对角线如下图，，

同理，其它对应体对角线长都为4，即该十四面体外接球直径为4，,

故外接球半径，所以外接球的体积为.

故答案为：14，

五、解答题

17．已知向量与的夹角，且，．

(1)求；

(2)与的夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果；

（2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值.

【详解】（1）已知向量与的夹角，且，，

则，

所以；

（2）由（1）知：，

所以，

所以与的夹角的余弦值为.

18．函数（，，）的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由函数的图象得到，求得，得出，再由图象点，求得，求得，即可求解；

（2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由函数的图象，可得，可得，

因为，所以，所以，

又因为图象点，可得，

解得，可得，

因为，所以，

所以函数的解析式为.

（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，

可得

令，可得，

所以的单调递增区间是.

19．如图，在三棱柱中，E，F分别为和BC的中点，M，N分别为和的中点求证：

（1）平面；

（2）平面；

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】由题意，，由线面平行的判定定理可得结果．

取AB的中点G，连结FG，，易得四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理可得结果．

【详解】证明：，N分别为和的中点，，平面ABC，平面ABC，

由线面平行的判定定理可得平面ABC．

取AB的中点G，连结FG，，

则，，

则，所以四边形为平行四边形，

故，

又平面，平面B.故EF平面B.  

【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理，属于中档题．

20．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

(1)求小岛A到小岛C的距离；

(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.

【答案】(1)海里

(2)游船应该沿北偏东的方向航行.

【分析】(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛 C的距离；

(2)两边两角，由正弦定理可以求角.

【详解】（1）解：(1)在中，

，根据余弦定理得：.

.

所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.

（2）解：(2)根据正弦定理得：

解得

在中，

为锐角

.

由得游船应该沿北偏东的方向航行

答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.

21．如图，，，，点C是OB的中点，绕OB所在的边逆时针旋转一周.设OA逆时针旋转至OD时，旋转角为，.

(1)求旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；

(2)当时，求点O到平面ABD的距离.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）旋转一周所得旋转体为大圆锥挖去小圆锥，利用圆锥的体积公式和侧面积公式可求旋转体的体积V和表面积S；

（2）利用等积法可求O到平面ABD的距离.

【详解】（1）设底面半径为，圆锥BO底面面积为，底面周长，

母线.

圆锥BO的体积，侧面积.

圆锥CO的体积，，

侧面积.

旋转一周所得旋转体的体积

旋转一周所得旋转体表面积.

（2）  

连接AD，在等腰三角形AOD中，，，，

，

而，设点O到平面ABD的距离为h，

，故，，

22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)证明：；

(2)证明：；

(3)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)(0,2)

【分析】（1）由已知及余弦边角关系即可证结论；

（2）由（1）及正弦边角关系得，再根据三角形内角性质、三角恒等变换可得，即可证结论；

（3）由（2）及二倍角余弦公式得，注意确定的范围，应用换元法、二次函数性质求范围.

【详解】（1）由，则，

余弦定理得：.

（2）由（1）知：，正弦定理得：，

，

整理得，即，

又，故，即.

（3）由（2），则，

又，

，令，则，令，则对称轴为，

所以在上单调递增，当时， 当时，

即的取值范围为.