2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.

【详解】集合，.

要使，只需，解得：.

故选：A

2．已知等差数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等差中项求解即可.

【详解】因为数列是等差数列，

所以，即，

所以，

故选：A

3．设函数在处的导数为2，则（    ）

A． B．2 C． D．6

【答案】D

【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.

【详解】根据导数的定义，可得.

故选：D．

4．条件，，则的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.

【详解】若，使得，则，可得，则，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

且，

故当时，，即，

所以，的一个必要不充分条件是.

故选：A.

5．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的四则运算直接求得.

【详解】因为，

所以.

故选：D

6．若函数在处取得极值1，则（   ）

A．-4 B．-3 C．-2 D．2

【答案】D

【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值.

【详解】由题意，，

在中，，

在处取得极值1，

∴，解得：，经经验满足题意，

∴，

故选：D.

7．已知数列满足，若，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】D

【分析】通过递推公式逐个求解项，对照选项可得答案.

【详解】因为，所以，，

，，

；

因为，所以.

故选：D.

8．已知，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质结合指数运算及“媒介数”比较判断作答.

【详解】显然，，，

，

显然，有，，于是得，即，

所以.

故选：B

二、多选题

9．下列求导正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BCD

【分析】利用导数的求导法则及复合函数求导可得答案.

【详解】若，则，故A错误；

若，则，故B正确；

若，则，故C正确；

若，则，故D正确；

故选：BCD.

10．已知函数，则（    ）

A．函数在上单调递增 B．有三个零点

C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线

【答案】CD

【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程.

【详解】函数，定义域为R，，

，解得或；，解得，

在和上单调递增，在上单调递减，

极大值为，极小值为，

，，函数图像如图所示，

则函数的图像与轴只有一个交点，即只有一个零点，

所以AB选项错误，C选项正确；

曲线切线的切点坐标为，当切线斜率为2时，，解得，

当时，切点坐标为，切线方程为，即，D选项正确.

故选：CD.

11．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，则

【答案】BC

【分析】根据等差数列的定义判断A；根据与的关系求出通项公式，结合等比数列的定义判断B；根据等差数列的性质和前n项求和公式计算判断C；举例说明判断D．

【详解】选项A，由，得，

则，所以不是等差数列，故A错误；

选项B，当时，，

当时，，

经检验，符合上式，所以，故是等比数列，故B正确；

选项C，若是等差数列，则，故C正确；

选项D，若，则，

，而，故D错误，

故选：BC．

12．已知函数，则（    ）

A．若的最小正周期为，则

B．若，则在上的最小值为

C．若在上单调递增，则

D．若在上恰有2个零点，则

【答案】AC

【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求在上的值域可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D.

【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；

对于B，若，则，

时，，所以，

故在上的最小值为，故B错误；

对于C，时，，

因为在上单调递增，则，解得，故C正确；

对于D，时，，

若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误.

故选:AC.

三、填空题

13．已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______．

【答案】

【分析】根据题意可得出关于的方程，结合可求得的值.

【详解】由题意可得，则，

上述两个等式作商可得，即，

因为，解得.

故答案为：.

14．是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则__________．

【答案】/

【分析】根据正三角形的性质可得，，然后代入向量的数量积公式即可求解.

【详解】由题意可知：，，由平面向量的数量积公式可得，

，

故答案为：.

15．某质点运动的位移随时间变化的函数关系为，则时的加速度为_______.

【答案】16

【分析】先求位移的导数得到速度函数，再对速度函数求导，得到加速度函数，代入即可求解.

【详解】由，速度函数，

加速度函数，

当时，.

故答案为：16.

16．将数列中的项排成下表：

，

，，，

，，，，，，，

…

已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______.

【答案】1344

【分析】根据所满足的条件，求出数列，由在表中的位置，得，所以每行等差数列公差，即可求第6行所有项的和．

【详解】解：∵(且)，

∴，即，

∴数列的通项公式为，（且），

观察表中各行规律可知，第n行的最后一项是数列的第项，

 ，∴在表中第8行第3列，

∵，且，∴公差；

∴第6行共有32个元素，则第6行所有项的和为

故答案为：1344．

【点睛】思路点睛：由的前项和满足，构造法求数列的通项公式，观察数列的规律，找到在表中的位置，结合的通项公式可求得表中每一行的公差，继而可求第6行所有项的和．

四、解答题

17．已知各项均为正数的数列{}满足（正整数

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列{}的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意转化条件得，结合即可得证；

（2）由题意可得，进而可得，由分组求和法即可得解.

【详解】（1）证明：已知递推公式，两边同时加上3，

得：，

因为，

所以，

又，

所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列.

（2）由（1），则，

所以

.

18．已知分别为的内角的对边，且.

(1)求角；

(2)若的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）根据，利用正弦定理结合两角和与差的正弦函数得到，再利用辅助角公式求解.

（2）由的面积为，结合，得到，再利用余弦定理求解.

【详解】（1）解：因为，

所以由正弦定理得.

因为，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以，即.

所以，

即

又，

所以.

（2）因为的面积为，所以.

由，所以.

由余弦定理得，

又，所以.

解得.

故的周长为.

19．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调增区间．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；

（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．

【详解】（1），则

则，又，

则曲线在点处的切线方程为，即

（2），

则，

由可得或，

则函数的单调增区间为，.

20．如图，四棱锥中，，为正三角形，，，，．

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可

（2）利用等体积法求解即可

【详解】（1）如图，取中点，连结，

因为，，，

所以四边形为矩形，

∴，

∵侧面为等边三角形，，

则，且，而，

∴满足，

∴为直角三角形，即，

又，平面，平面

∴平面，且平面

∴，

又∵，，

平面，平面

∴平面．

（2）由（1）可知，

∴，

又∵，，

∴，

而，

设点到平面的距离为，

由于，

则有，

∴，

∴，

因此点到平面的距离为．

21．已知数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件，利用与的关系，得到，再求出，即可求出结果；

（2）利用（1）所求结果得到，然后利用分组求和及错位相减法即可求出结果.

【详解】（1）因为，所以当时，，

两式相减，得，整理得，

即时，，又当时，，解得，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以.

（2）由（1）知，所以，

令，易知，，

设数列的前项和为，则①，②，

由①-②，得，

即，

所以，

所以.

22．已知函数在处取得极值．

(1)求的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是；

(2)．

【分析】（1）由题意根据求解，再带回检验即可；

（2）求导分析在上的最大值，再根据求解不等式即可.

【详解】（1）∵，，又在处取得极值，

∴，∴，

检验：当时，，，，

令，得，

当x变化时，，的变化情况如表所示．

在处取得极小值成立；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）由（1）知在单调递减，单调递增，

又，，

则，．

若在上恒成立，则．

即，解得或，

所以实数c的取值范围是．