黑龙江省哈尔滨市第四中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试卷及答案

哈四中2025届高一下学期期中考试

   数学试卷2023.5.19

试卷满分:150分         考试时间：13:00—15:00

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1. 下面四个几何体中，是棱台的是（    ）

A.  B.     C.   D.

 2．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ）

A．5  B． C．3          D．

3. 如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（    ）

A.         B.      C.      D.

4．已知复数（i是虚数单位），则复数在复平面中所对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

5. 在中，，则的形状为（    ）

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

6．如图，在中，，，

若，则的值为（    ）

A.           B．             C．              D．

7. 如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面截得，则的周长的最小值为（    ）

A.          B.            C.            D. 

8. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（    ）

A.         B.              C.          D.

二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，，则（    ）

A．  B．

C． D．在复平面内对应的点位于第二象限

10．设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则           B．若，则

C．若，则不与垂直       D．不与垂直

11. 如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ）

A．平面EF GH                  B．AC与BD异面

 C．平面EFGH                  D．直线FE，GH，CA交于一点

12. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）

A.若,,则有两解  

B.若,,则无解

C.若,,则有一解  

D.若,,,则有两解

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量,，若∥，则= ______.

14.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且∥y´轴，∥x´轴，，，则的周长___________.

第14题                                       第15题

15．如图所示（单位：cm），直角梯形ABCD挖去半径为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为　             　． 

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信是半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美. 如图1，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去若干个三棱锥，得到图  . 图  是由边长为2的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，则该半正多面体共有________ 个面，其外接球的体积为________ .

 图1                            图2

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）

已知向量与的夹角，且，．

（1）求；

（2）与的夹角的余弦值．

18．（本题满分12分）

函数（，，）的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数的单调递增区间.

19．（本题满分12分）

如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，，分别为和的中点．求证：

（1）平面；

（2）平面．

20.（本题满分12分）

如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

（1）求小岛A到小岛C的距离；

（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.

21. （本题满分12分）

如图，，，，点C是OB的中点，绕OB所在的边逆时针旋转一周.设OA逆时针旋转至OD时，旋转角为，.

（1）求旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；

（2）当时，求点O到平面ABD的距离.

22. （本题满分12分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）证明：；

（2）证明：；

（3）求cosB+cosC的取值范围.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1. 下面四个几何体中，是棱台的是（  C  ）

A.  B.     C.   D.

 2．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（  A ）

A．5 B． C．3         D．

3. 如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（  B  ）

A.        B.      C.      D.

4．已知复数（i是虚数单位），则复数在复平面中所对应的点的坐标为（  B）

A． B． C． D．

5. 在中，，则的形状为（C   ）

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

6．如图，在中，，，

若，则的值为（  A  ）

A.           B．             C．              D．

7. 如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面截得，则的周长的最小值为(  D  )

A. B. C.           D. 

8. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为(  C  )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，，则（ AB   ）

A．  B．

C． D．在复平面内对应的点位于第二象限

10．设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（　AB　）

A．若，则           B．若，则

C．若，则不与垂直       D．不与垂直

11. 如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是(　ABD　)

A．平面EGHF                   B．AC与BD异面

 C．平面EGHF D．直线FE，GH，CA交于一点

12. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是(  BD  )

A.若,,则有两解  

B.若,,则无解

C.若,,则有一解  

D.若,,,则有两解

三、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13. 已知向量,，若∥，则 = ______.

答案  -4

14.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且∥y轴，∥x轴，，，则的周长___________.

答案   

          第14题                                       第15题

15．如图所示（单位：cm），直角梯形ABCD挖去半径为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为　             　． 

答案

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信是半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美. 如图1，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去若干个三棱锥，得到图. 图是由边长为2的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，则该半正多面体共有________ 个面，其外接球的体积为________ .

      图1                            图2

答案：14 

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）

已知向量与的夹角，且，．

(1)求；

(2)与的夹角的余弦值．

17.（1）已知向量与的夹角，且，，

则，

所以；

（2）由（1）知：，

所以，

所以与的夹角的余弦值为.

18．（本题满分12分）

函数（，，）的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数的单调递增区间.

18．解：（1）由函数的图象，可得，可得，

因为，所以，所以，

又因为图象点，可得，

解得，可得，因为，所以，

所以函数的解析式为.

（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，

可得

令，可得，

所以的单调递增区间是.

19．（本题满分12分）

如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，，分别为和的中点．求证：

（1）平面；

（2）平面．

19.证明：（1）、分别是和中点．

，

又平面，平面，

平面．

（2）如图，取的中点，连接，．

为中点，为中点，且，

在三棱柱中，侧面是平行四边形，

且，是的中点，且，

且，四边形是平行四边形，，

又平面，平面，

平面．

20. （本题满分12分）

如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

（1）求小岛A到小岛C的距离；

（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.

20.解：(1)中，

，根据余弦定理得：.

.

所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.

(2)根据正弦定理得：

解得

在中，

为锐角

.

由得游船应该沿北偏东的方向航行

答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.

21. （本题满分12分）

如图，，，，点C是OB的中点，绕BO所在的边逆时针旋转一周.设OA逆时针旋转至OD时，旋转角为，.

（1）求旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；

（2）当时，求点O到平面ABD的距离.

21.解：（1）设底面半径为，圆锥BO底面面积为，底面周长母线，

母线.

圆锥BO的体积，侧面积.

圆锥CO的体积，，

侧面积.

旋转一周所得旋转体的体积

旋转一周所得旋转体表面积.

（2）连接AD，，，，

，

，设点O到平面ABD的距离为h，

，，

因为O是OB的中点.即点C到平面ABD的距离为.

22. （本题满分12分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）证明：;

（2）证明：；

（3）求cosB+cosC的取值范围.

22.解：（1），，

∴由余弦定理得：，

（2） 因为，

由正弦定理得：，

，

整理得，，即：，

又，，即：.

（3），

cosB+cosC=cos2C+cosC=

又，

，令,则，

令+ t -1, 则对称轴为，所以+ t -1在上单调递增，

当时时，y=0, 当t=1时，y=2;

即：cosB+cosC的取值范围为（0， 2）.