2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，则的等差中项为（    ）

A．6 B．5 C．7 D．8

【答案】A

【分析】利用等差中项的性质进行求解即可

【详解】设的等差中项为，

所以，

因为，，所以，

故选：A

2．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间．

【详解】由已知得，

令，

则，

∴函数的单调递增区间为．

故选：B．

3．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（    ）

A．增加了

B．增加了

C．增加了，但减少了

D．增加了，但减少了

【答案】C

【分析】列出和的情况，比较得到答案.

【详解】当时，，

当时，，

故增加了，但减少了.

故选：.

4．如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据的图象，分析的函数值的正、负情况，即可判断.

【详解】解：由图象知在上先减后增，故在上函数值先负后正，

同理在上的符号是先负后正，四个选项中仅有选项A符合.

故选：A.

5．在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列，，，可以求出，且，，，从而判断出，，的正负，选出正确答案.

【详解】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，

故选：B

6．等差数列的前项和分别为，且，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质及等差数列的求和公式即得.

【详解】∵，

∴由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得，

.

故选：B.

7．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，且，则的值是（    ）

A．8 B．2 C．-4 D．-6

【答案】D

【分析】根据题意结合导数可得，结合等差数列运算求解.

【详解】因为，则，

则，故，

所以数列是以首项，公差为的等数列，可得.

故选：D.

8．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（    ）

A． B．4 C．3 D．2

【答案】D

【分析】由结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案．

【详解】各项为正的数列，

，

时，，

即，化为：，

，，

又，解得，

数列是等差数列，首项为1，公差为2．

，

，

，当且仅当时取等号，

的最小值为2．

故选：D．

二、多选题

9．下列求导运算错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，，故A错误，

对于B，，故B正确，

对于C，，故C错误，

对于D，，故D错误，

故选：ACD

10．已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．是等比数列 D．

【答案】AC

【分析】根据递推关系求得，由此判断ABD选项的正确性，结合等比数列的定义判断C选项的正确性.

【详解】，即，则，，，所以A正确；

显然有，所以B不正确；亦有，所以D不正确；

又，相除得，

因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，故C正确.

故选：AC

11．下列命题正确的有（   ）

A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列

B．若为等比数列，且，则

C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大

D．若 ，则数列的前2020项和为4040

【答案】BCD

【分析】A.利用等差数列的性质判断；B.利用等比数列的性质判断；C.根据等比数列前n项和公式判断；D.利用数列并项求和判断.

【详解】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；

B. 为等比数列，且，则，所以，故正确；

C. 因为，则，，则，所以，，

所以数列前项的和最大，故正确；

D. 因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.

故选：BCD

12．1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(   )

A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则

B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列

C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)

D．若最初有个桃子,则必有的倍数

【答案】ABD

【分析】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,根据与关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的正误;根据B求出数列的通项公式,将代入求解即可判断C;根据题意,,又为等比数列,判断D的正误.

【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则

,

若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则

,

所以,

即,故A正确;

由A，,

则,

即是等比数列,

若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,

所以是以为公比的等比数列,故B正确.

由B知,是等比数列,

所以,

即,

若最初有个桃子,即,

所以,故C错误;

根据题意:,

因为以为公比的等比数列,

所以,

化简得,

因为,且为正整数,

所以,

即必有的倍数,故D正确.

故选:ABD.

三、填空题

13．已知函数在处的导数值为2，则________.

【答案】4

【分析】根据导数的定义计算即可得解.

【详解】,

,

故答案为：4

【点睛】本题考查了导数的定义，考查了学生概念理解，转化与化归的能力，属于基础题.

14．曲线，在点处的切线的倾斜角为____________.

【答案】/

【分析】对所给曲线求导代入，得到在处的导数值，进而得到斜率，得倾斜角的正切值，得答案.

【详解】对求导得，，

当时，，

由导数的几何意义，在点处的切线的斜率为，

即，所以.

故答案为：.

15．函数的单调递减区间为___________.

【答案】

【分析】求导数，解不等式即可得函数的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，则，

令，则，解得，

故函数的单调递减区间为.

故答案为：.

16．为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则___________.

【答案】

【分析】通过规律找出，再裂项相消求和即可.

【详解】因为时，，，即；

时，，，即；

时，，，即；

时，，，即；

…

以此类推，，

故，

故.

故答案为：

四、解答题

17．求下列已知函数的导函数

(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可逐一求解.

【详解】（1）

（2）

（3）

（4）

18．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和为．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；

（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.

【详解】解（1）设正项等比数列的公比为，

由题意可得，解得．

数列的通项公式为；

（2）.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.

19．已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意求出,再由即可写出的通项公式；

(2)根据的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和.

【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，

则，所以

当时，

又也符合上式，

故数列的通项公式为.

（2）当时，，数列的前n项和；

当时，，

数列的前n项和

，

.

综上所述：

20．在数列中，，且对任意的，都有.

(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；

(2)若，且数列的前项积为，求和.

【答案】(1)证明见解析，

(2)，

【分析】（1）由条件变形化简，利用等比数列的定义证明即可；

（2）结合（1）得，计算乘积即可.

【详解】（1）由题意可得：，

是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以

是以1为首项，1为公差的等差数列；

（2）由上可得：，

同理.

21．小明同学高一的时候跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼．后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”．现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数（函数恒有意义）：和，得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下三个问题，请你解答：

(1)当时，求函数的单调递增区间；

(2)当时，经过点作曲线的切线，切点为．求证：不论怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上；

(3)当时，若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的最小值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）求导，由导数大于0解得单调递增区间；

（2）先把，代入的方程，然后求出在点处的切线方程，再把点代入切线方程，可得点坐标满足，即可证明结论；

（3）先根据斜率为分别求出直线与曲线和的切点，再把的坐标代入直线的斜率公式,从而得到的关系式，代入消去，用基本不等式即可求的最小值.

【详解】（1），

当时，，

故函数的单调递增区间为.

（2）当时，，

设，切线方程为，

代入，得，即

又因为，则，即

于是可得，即点在“双升双降函数”的图像上.

（3）当时，，

，

设曲线在点处的切线斜率为1，

则，所以，则，

设曲线在点处的切线斜率为1，则，

所以，点，

所以直线的斜率，所以，

由于，所以（当且仅当时取等号），

所以当时，的最小值为.

22．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明；

（2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.

【详解】（1）证明：因为，

所以，即，

因为，所以，

故数列是以12为首项，3为公比的等比数列，

所以，则.

（2）解：由（1）知，

所以.

当为偶数时，

，

因为是单调递减的，所以.

当为奇数时，

，

又是单调递增的，

因为，所以.

要使存在，使，只需，即，

故的取值范围是.