四川省南充高级中学2022-2023学年高一数学下学期第二次月考试题（Word版附解析）

南充高中高2022级高一下学期第二次月考

数 学 试 题

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知点在第三象限，则角的终边位置在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.

【详解】因为点在第三象限，

所以，

由，可得角的终边在第二、四象限，

由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，

所以角终边位置在第二象限，

故选：B.

2. 平面向量与的夹角为，则=（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由平面数量积的定义求解即可.

【详解】因为向量与的夹角为，，

故，

则.

故选：A.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用同角三角函数基本关系式先化简再求值.

【详解】，

.

故选：A.

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)选择合适的公式进行化简求值．

4. 已知向量满足则（    ）

A. 3 B. 49 C. 6 D. 7

【答案】D

【解析】

【分析】根据公式直接计算可得.

【详解】.

故选：D

5. 已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，得到，即可求解.

【详解】因为，由正弦定理得，

又因为，可得，

所以，

因为，可得，所以，

又因为，所以，所以为钝角三角形.

故选：D.

6. 在直角梯形中，，，，为的中点，则

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方形，结合向量的线性运算可知，展开运算即可得出答案.

【详解】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方形，，

根据题意得

.

故选:B.

【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题.

7. 已知是所在平面内一点，且点满足 则点一定的（    ）

A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心

【答案】C

【解析】

【分析】表示与的角平分线垂直的向量，因为与垂直，所以平行于的角平分线，即点位于的角平分线上，同理可得，点位于的角平分线上以及的角平分线上，即点是的角平分线的交点，因此点是的内心.

【详解】因为，所以，

即，

即可得，即是的角平分线；

同理可得是的角平分线，是的角平分线,

所以点为三条角平分线的交点，即点是的内心.

故选：C

8. 已知函数（其中）在区间上单调，且，当时，取得最大值，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据三角函数的性质确定函数解析式，然后解正弦不等式即可.

【详解】因为函数在区间上单调，且，

所以和均不是的极值点，其极值应该在处取得，

又，所以也不是的极值点，

又时，取得最大值，所以为另一个相邻的极值点，

故函数的最小正周期，所以，

又时，取得最大值，所以，即，

因为，所以，，可得，

由，得，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在下列各组向量中，能作为平面的基底的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.

【详解】对于A，因为，所以，故两向量不能作为基底；

对于B，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底；

对于C，因为，所以，故两向量不能作为基底；

对于D，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底.

故选：BD.

10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的值可以为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可求得值.

【详解】因为，

将函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数的图象，

因为函数为偶函数，则，

解得，

，则当时，，时，.

故选：AC.

11. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）

A. 若,则

B. 若，则为直角三角形

C. 若,则为直角三角形

D. 若，则满足条件的有两个

【答案】AC

【解析】

分析】根据正弦定理、余弦定理知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，

所以，，故A选项正确；

对于B选项，由可得：，则，

得到为钝角，故B选项不正确；

对于C选项，若，由正弦定理可得，

所以为直角三角形，故C选项正确；.

对于D选项，由正弦定理可得，则，

故，由可得或，

因为，则，故，故D选项不正确.

故选：AC.

12. 已知函数，则（      ）

A. 既是周期函数又是奇函数

B. 的图像关于点对称

C. 的图像关于直线对称

D. 的最大值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，找反例即可判断；对于B，验证即可；对于C，验证即可；对于D，令，则原函数可化为，分结合基本不等式即可判断.

【详解】因为函数，

对于A，，

，则，

所以不是奇函数， A错误．

对于B，因，

所以的图像关于点对称，B正确．

对于C，因为，

所以的图像关于直线对称．C正确．

对于D，令，则，

当时，；当或时，，

当且仅当时，等号成立，此时函数取得最大值，D正确．

故选：BCD

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 若非零向量与的夹角为，且，设为与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据投影向量及求出答案.

【详解】，又为与同向的单位向量，故，

所以.

故答案为：

14. 已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________cm．

【答案】

【解析】

【分析】设扇形的弧长为，半径为，由已知可得出，求解即可得出答案.

【详解】设扇形的弧长为，半径为，

由已知可得，圆心角，面积，

所以有，即，解得.

故答案为：.

15. 已知是平面内两个夹角为的单位向量，若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量夹角为锐角得到，再排除的情况，计算得到答案.

【详解】因为与的夹角为锐角，

所以，

又因，

则，

解得，

当时，，即，，解得.

综上所述：且

故答案：

16. 如图，在中，，，直线交于点，若则_________ .

【答案】##0.6

【解析】

【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可解得，利用向量的线性运算化简可得，即.

【详解】由题可知，三点共线，由共线定理可知，

存在实数使得,

又，所以，

又三点共线，所以，解得，

即可得，所以，

所以，即，可得，

又，即可得.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分

17. 已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．

（1）求；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分子分母同除，即可变成的分式，代入求值即可；

（2）利用二倍角公式变形，1的代换变成分式，分子分母同除，即可变成的分式，代入求值即可.

【小问1详解】

因为角终边经过点，所以，

所以；

【小问2详解】

.

18. 已知向量，，，（）

（1）若向量与垂直，求实数的值

（2）当为何值时，向量与平行.

【答案】（1）2    （2）1

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标公式可得；

根据向量平行的坐标公式可得.

【小问1详解】

由已知可得，

因为向量与垂直，所以，

解得；

【小问2详解】

，因为与平行，

所以，解得，

所以当时，向量与平行

19. 已知，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式计算；

（2）利用两角和与差的余弦公式计算，注意角的范围.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

因为，所以，

又因为，所以，

所以；

因为，所以，

所以.

所以

.

20. 已知向量，函数.

（1）求函数的最大值及相应自变量的取值集合；

（2）在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值.

【答案】（1），此时自变量的取值集合为   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到解析式，再由辅助角公式化简，由正弦型函数的最值即可得到结果；

（2）根据题意，结合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果.

小问1详解】

由题知，，

当，即时，最大，且最大值为，即，此时自变量的取值集合为.

【小问2详解】

由（1）知，，则，

因为在中， ，所以，

所以，所以，

又由余弦定理及，得：，

即，

所以，即（当且仅当时等号成立）.

所以.

21. 如图，游客从某旅游景区景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A乘缆车到B，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路AC长为3150m，经测量，.

（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

【答案】（1）2600m   

（2）

【解析】

【分析】1）在△ABC中，由cosA和cosC可得sinA和sinC，从而得sinB，由正弦定理，可得AB；

（2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值.

【小问1详解】

法一：由题意得：

所以  

由正弦定理得:

所以.   

法二：，

∴，       

如图作于点D,

设，则，，               

由，解得：

则

【小问2详解】

设乙出发 （）后到达点M，此时甲到达N点，

如图所示，则，     

由余弦定理得：

所以当时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短.

22. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.

（1）设函数，试求的相伴特征向量；

（2）若向量的相伴函数为，且在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）   

（2）   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）化简得到，得到相伴特征向量.

（2）确定，计算函数的单调区间，得到，解得答案.

（3）确定得到，再计算，，根据向量垂直关系，结合三角函数有界性得到答案.

【小问1详解】

，

的相伴特征向量为

【小问2详解】

向量的相伴函数为，故，

取，得，

所以的单调递增区间为，

故，且，即，且，解得

所以实数的取值范围为.

【小问3详解】

，相伴特征向量为，

故，则，

，

设，，

故，，

，故，

即，，

，，

故，又，

当且仅当时，和同时等于，等式成立，

故在图像上存在点，使得.