初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定第1课时同步训练题

2　平行四边形的判定

第1课时

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．一组对边平行的四边形是平行四边形．(　×　)

2．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(　√　)

3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(　√　)

4．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．(　×　)

知识点1　由两组对边分别相等判定平行四边形

1．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.

嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充，下列正确的是(B)

A．嘉淇推理严谨，不必补充  B．应补充：且AB＝CD

C．应补充：且AB∥CD   D．应补充：且OA＝OC

【解析】∵CB＝AD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是(D)

A．①②     B．②④     C．③④     D．①③

【解析】只有①③两块碎玻璃角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.

3．(2021·长沙期末)如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是__两组对边分别相等的四边形是平行四边形__．

【解析】根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__AB∥CD(答案不唯一)__，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).

【解析】根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AB∥CD.

5．如图，在△ABC中，AB≠AC，△ACD，△ABE，△BCF均为直线BC同侧的等边三角形，求证：四边形ADFE为平行四边形．

【证明】∵△ABE，△BCF为等边三角形，

∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，

∠ABE＝∠CBF＝60°，

∴∠FBE＝∠CBA，

在△FBE和△CBA中，，

∴△FBE≌△CBA(SAS)，

∴EF＝AC.

又∵△ADC为等边三角形，

∴CD＝AD＝AC，

∴EF＝AD.同理可得AE＝DF，

∴四边形ADFE是平行四边形.

知识点2　由一组对边平行且相等判定平行四边形

6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是(A)

A．AD＝BC     B．AB＝CD

C．AD∥BC     D．∠A＝∠C

【解析】A.当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；B.AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；

C．AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；

D．∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，

∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠D＝180°，∴AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

7．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD.请你添加一个条件__AD＝BC(答案不唯一)__，使AB＝CD.(填一种情况即可)

【解析】添加的条件：AD＝BC，理由是：

∵∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC，

∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD.

8．(2021·岳阳中考)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.

(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是____；

(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．

【解析】(1)添加条件为：AE＝CF.

答案：AE＝CF

(2)∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∵AE＝CF，

∴四边形AECF为平行四边形．

关键能力·综合练

9．(2021·北京期末)如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)

A．AB＝CD，AD＝BC    B．AB∥CD，AB＝CD

C．AB＝CD，AD∥BC    D．AB∥CD，AD∥BC

【解析】A.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C.不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意．

10．如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)

A．AB∥CD，AB＝CD

B．AB＝CD，AD＝BC　

C．∠B＋∠DAB＝180°，AB＝CD

D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC

【解析】根据平行四边形的判定，A，B，D均符合是平行四边形的条件，C不能判定是平行四边形．

11．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD是平行四边形，需要补充的一个条件是(B)

A．AD＝BC        B．AB＝CD

C．∠DAB＝∠ABC　      D．∠ABC＝∠BCD

【解析】∵AB∥CD，

∴只要满足AB＝CD，可得四边形ABCD是平行四边形．

12．(2021·太原期末)在四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)

A．AB＝CD       B．AD＝BC

C．AD∥BC       D．∠A＋∠B＝180°

【解析】根据平行四边形的判定，A，C，D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．

13．一个四边形，对于下列条件：

①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是(C)

A．①     B．②     C．③     D．④

【解析】根据平行四边形的判定，能满足是平行四边形条件的有：①，②，④，而③无法判定．

14．(2021·盐城期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动，则__2__秒后四边形ABQP为平行四边形．

【解析】设运动x秒后四边形ABQP为平行四边形，

∴AP＝x，QC＝2x，

∵四边形ABQP是平行四边形，

∴AP＝BQ，

∴x＝6－2x，

∴x＝2.

15．(2021·宁波期末)如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.

求证：四边形OPMN是平行四边形．

【证明】在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，

∴OM2＋ON2＝MN2，

∴△MON是直角三角形，

∴∠MON＝∠PMO＝90°，因此，在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x，

由勾股定理可得，OM2＋MP2＝OP2，

即42＋(11－x)2＝(x－3)2，

解得：x＝8，

∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3，

∴OP＝MN，MP＝ON，

∴四边形OPMN是平行四边形．

16．(素养提升题)若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.

(1)如图(1)，点B是边DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；

(2)如图(2)，若点G是边EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.

求证：①EB＝DC，

②∠EBG＝∠BFC.

【解析】(1)四边形BEAC是平行四边形，

理由如下：

∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，点B是边DE的中点，∴AB＝BE＝BD，

∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，

∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，

∴BC∥AE，AC∥BE，

∴四边形BEAC是平行四边形；

(2)①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，

∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，

∴△AEB≌△ADC(SAS)，∴EB＝DC；

②延长FG至点H，使GH＝FG，

∵点G是边EC的中点，∴EG＝CG，

又∵∠EGH＝∠FGC，

∴△EGH≌△CGF(SAS)，

∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，

∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，

∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC.

易错点　平行四边形判定中的动点分析不清致误

【案例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t s.

(1)当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？

(2)当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？

【解析】(1)根据题意有，AP＝t，CQ＝2t，PD＝12－t，BQ＝15－2t，

∵AD∥BC，

∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，

∴t＝15－2t，解得：t＝5，

即当t＝5 s时，四边形APQB是平行四边形；

(2)由AP＝t cm，CQ＝2t cm，

∵AD＝12 cm，BC＝15 cm，

∴PD＝AD－AP＝(12－t)cm，

∵AD∥BC，即PD∥QC，

当PD＝CQ时，

四边形PDCQ为平行四边形，

∴12－t＝2t，解得：t＝4，

即当t＝4 s时，四边形PDCQ是平行四边形．