专题27 二次函数（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题27 二次函数

1.了解二次函数的概念和二次函数的平移。

2.掌握求解析式的方法。

3.掌握各系数的关系。

一、二次函数的概念及解析式      

1.一次函数的定义

形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.

2.解析式

（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.

二 、系数a、b、c的关系

三 、二次函数的平移

抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,

四 、二次函数与一元二次方程以及不等式

1.二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

2.二次函数与不等式

抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.

1．（2022·河南开封市·九年级期末）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（    ）

A．开口向上，对称轴是直线，顶点是

B．开口向上，对称轴是直线，顶点是

C．开口向上，对称轴是直线，顶点是

D．开口向下，对称轴是直线，顶点是

【答案】B

【分析】

所给抛物线是一般式，可得，所以开口向上；再通过配方法变形为顶点式，可直接得出抛物线的对称轴及顶点坐标．

【详解】

解：抛物线，

，开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，

故选：B．

2．（2022·台州市书生中学九年级开学考试）二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由二次函数对于x的任何值都恒为负值，抛物线开口向下，，二次函数与x轴没有交点，方程没有实数根，即可．

【详解】

解：∵二次函数对于x的任何值都恒为负值，

∴抛物线开口向下，，

二次函数与x轴没有交点，

方程没有实数根，

∴，

∴．

故选择D．

3．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）若抛物线y＝x2－bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，则b＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

抛物线的顶点坐标为，，因为抛物线的顶点在轴的负半轴上，所以顶点的横坐标小于0，纵坐标为零，列不等式和方程求解．

【详解】

解：抛物线的顶点在轴的负半轴上，

顶点的横坐标小于0，纵坐标为零，即，，解得，

故选：B．

4．（2022·浙江衢州市·九年级期中）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都是二次函数y＝x2＋4x＋k的图象上的点，则（    ）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2

【答案】B

【分析】

根据题意可以将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到y1，y2，y3的大小关系．

【详解】

解：∵y＝x2+4x+k＝（x+2）2﹣4+k，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，

∴当x＜﹣2时，y随x的增大减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，

∵C（1，y3）关于对称轴的对称点为（﹣5，y3），且﹣5＜﹣4＜﹣1，

∴y2＜y1＜y3，

故选B．

5．（2022·浙江衢州市·九年级期中）二次函数y＝（x﹣4）2﹣1的顶点坐标是（    ）

A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（4，1）

【答案】C

【分析】

根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．

【详解】

解：∵二次函数y＝（x﹣4）2﹣1，

∴该函数的顶点坐标为（4，﹣1），

故选C．

6．（2022·杭州市丰潭中学九年级）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（　　）

A．b＝﹣3，c＝3 B．b＝3，c＝﹣3 C．b＝3，c＝3 D．b＝﹣3，c＝﹣3

【答案】C

【分析】

根据二次函数的性质判断出b，c的符号，再逐一判断选出符合题意的答案即可．

【详解】

解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

故选：C．

7．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知二次函数y＝－2x2＋4，则其图象开口向______，对称轴为______，顶点坐标为______．

【答案】下           

【分析】

根据二次函数的性质分别解答即可．

【详解】

解：二次函数，

，

图象开口向下，

，

对称轴为直线，

当时，，

顶点坐标为．

故答案为：下；；．

8．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知函数是二次函数，则m＝________．

【答案】

【分析】

根据二次函数的定义得出且，求出即可．

【详解】

解：函数是二次函数，

且，

解得：．

故答案为：．

9．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知抛物线y＝ax2＋bx＋1（a≠0）经过点(1，－2)、(－2，19)，

（1）求a、b的值；

（2）若A(m，p)和B(n，p)是抛物线上不同的两点，且，求m、n的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）把点，代入解方程组即可得到结论；

（2）把分别代入得到，联立即可求解．

【详解】

解：（1）把点，代入得，，

解得：；

（2）由（1）得函数解析式为，

把分别代入得，

，

①②得：，

，

，

，

，

联立，

解得：．

10．（2022·广东越秀区·铁一中学九年级期中）如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接．

（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式．

（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标．

（3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标．

【答案】（1）a＝−；对称轴为直线x＝−2；A（−6，0）；（2）（−2，2）或（−2，4）或（−2，2）或（−2，−2）；（3）或

【分析】

（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；

（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；

（3）先判断出△PQE≌△P'Q'E（AAS），得出PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，进而得出P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m＋2，确定出点P'（n−2，2＋m），将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝a（x＋6）（x−2）过点C（0，2），

∴2＝a（0＋6）（0−2），

∴a＝−，

∴抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2）＝−（x＋2）2＋，

∴抛物线的对称轴为直线x＝−2；

针对于抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2），

令y＝0，则−（x＋6）（x−2）＝0，

∴x＝2或x＝−6，

∴A（−6，0）；

（2）如图1，

由（1）知，抛物线的对称轴为x＝−2，

∴E（−2，0），

∵C（0，2），

∴OC＝OE＝2，

∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，

∵△CME是等腰三角形，

∴①当ME＝MC时，

∴∠ECM＝∠CED＝45°，

∴∠CME＝90°，

∴M（−2，2），

②当CE＝CM时，

∴MM1＝CM＝2，

∴EM1＝4，

∴M1（−2，4），

③当EM＝CE时，

∴EM2＝EM3＝2，

∴M2（−2，−2），M3（−2，2），

即满足条件的点M的坐标为（−2，2）或（−2，4）或（−2，2）或（−2，−2）；

（3）如图2，

由（1）知，抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2）＝−（x＋2）2＋，

∴D（−2，），

令y＝0，则（x＋6）（x−2）＝0，

∴x＝−6或x＝2，

∴点A（−6，0），

设直线的解析式为，

则，解得，

∴直线AD的解析式为y＝x＋4，

过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，

∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，

由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，

由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，

∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），

∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，

设点P（m，n），

∴OQ＝m，PQ＝n，

∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m＋2，

∴点P'（n−2，2＋m），

∵点P'在直线AD上，

∴2＋m＝（n−2）＋4①，

∵点P在抛物线上，

∴n＝−（m＋6）（m−2）②，

联立①②解得，m＝或，

即点P的横坐标为或．