专题23 圆的证明与计算（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题23 圆的证明与计算

1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。

2.掌握圆的基本性质。

3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。

一、圆的有关概念

1. 圆的定义

如图所示，有两种定义方式：

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；

②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．

2.与圆有关的概念

①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．

②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．

③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作，．

④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆．

⑤劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．

⑥优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．

⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．

⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．

⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．

圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．

例1．已知：如图所示，在⊙O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．

(1)若AB＝，OC＝1，求CD的长；

(2)若半径OD＝R，∠AOB＝120°，求CD的长.

【答案】

解：∵半径OD经过弦AB的中点C，

∴半径OD⊥AB．

(1)∵AB＝，AC＝BC＝．

∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．

∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，

即CD＝1.

(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，

∴∠AOD＝∠BOD．

∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．

∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝，

∴．

二、圆的有关性质

1.圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．

2.垂径定理

①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：

在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．

注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．

3.弧、弦、圆心角之间的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

4.圆周角定理及推论

①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．

【答案】

证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．

∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．

∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，

∴OE＝OD．

∵OD为⊙O半径，

∴AC与⊙O相切．

三、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：

(1)圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示．

②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．

③经过在同一直线上的三点不能作圆．

④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．

(2)三角形的外接圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．

2.直线与圆的位置关系

①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．

②圆的切线．

切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．

切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．

3.三角形外心、内心有关知识比较

4.圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．

②同心圆是内含的特殊情况．

③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．

④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．

四、正多边形和圆

1.正多边形的有关概念

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于．

要点诠释：

通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．

2.正多边形的性质

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．

3.正多边形的有关计算

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算．

，，，

，，．

五、圆中的计算问题

1.弧长公式：，其中为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径．

2.扇形面积公式：，其中．圆心角所对的扇形的面积，另外．

3.圆锥的侧面积和全面积：

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．

圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．

1．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定

【答案】C

【分析】

连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．

【详解】

连接OA，

∵为的直径，弦，

∴AE=AB=3，

设OA=OC=x，则OE=x-1，

∴，解得：x=5，

∴的半径为5．

故选C．

2．（2022·河南九年级期末）如图，为⊙O的直径，，，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

连接，由圆周角定理可知，再根据可知，由勾股定理即可得出的长．

【详解】

解：连接，

是的直径，

，

，，

，

，

，

又，

，

，

，

故选：．

3．（2022·全国九年级课时练习）的半径为，弦．若，则和的距离为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】

分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．

【详解】

当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，

过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，

∵AB∥CD，

∴OF⊥CD，

∵AB=12cm，CD=16cm，

∴AE=6cm，CF=8cm，

∵OA=OC=10cm，

∴在Rt△AOE中，由勾股定理可得；cm，

在Rt△COF中，由勾股定理可得：cm，

∴EF=OF+OE=8+6=14cm．

当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，

过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，

∵AB∥CD，

∴OE⊥AB，

∵AB=12cm，CD=16cm，

∴AE=6cm，CF=8cm，

∵OA=OC=5cm，

在Rt△AOE中，由勾股定理可得：cm，

在Rt△COF中，由勾股定理可得：cm，

∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；

故选C．

4．（2022·全国九年级课时练习）如图，在中，，经过点C且与边相切的动圆与分别相交于点E，F，则线段长度的最小值是（ ）

A． B．4.75 C．5 D．4.8

【答案】D

【分析】

设EF的中点为O，⊙O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB，由勾股定理逆定理知，是直角三角形，OC+OD=EF，而 OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．

【详解】

解：设EF的中点为O，⊙O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，

∵，

∴AC2+BC2=AB2，

∴是直角三角形，∠ACB=90°，

∴EF是⊙O的直径，

∴OC+OD=EF，

∵⊙O与边AB相切，

∴OD⊥AB，

∵OC+OD≥CD，

即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上时，OC+OD=EF有最小值，

此时最小值为CD的长，

∵CD=，

∴EF的最小值为4.8．

故选D．

5．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等；⑤平分弦的直径垂直于弦；⑥任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】

根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②④进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据垂径定理对⑤进行判断；根据三角形外接圆的定义对⑥进行判断．

【详解】

解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；

②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确，符合题意；

③圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故③错误，不符合题意；

④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误，不符合题意；

⑤平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故⑤错误，不符合题意；

⑥任意三角形一定有一个外接圆；故⑥正确，符合题意；

其中正确的有①②⑥，

故选：B．

6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）四边形中，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的直角三角形，则对角线的长的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由△ABC是以AC为斜边的直角三角形可知点B在以AC为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD长度的取值范围．

【详解】

∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴点B在以AC为直径的圆上，
如图中⊙O，连接OD并延长，交⊙O于点E和点B，

∵等边△ACD的边长为6，
∴AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD⊥AC，
∴∠COD=90°，
∴OD=，
∴BD=OD+OB=，

是边长为6的等边三角形，

当与重合时，最小
∴对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤．
故选：C．

7．（2022·河南九年级期末）如图，在中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转，当点的对应点落在边上时，停止转动，则点经过的路径长为__．

【答案】

【分析】

首先根据勾股定理计算出长，再根据等边三角形的判定和性质计算出，进而可得，然后再根据弧长公式可得答案．

【详解】

解：，，∠ACB=90°

∴，，

∴

，

是等边三角形，

，

，

弧长，

故答案为：．

8．（2022·河南九年级期末）如图，在中，，，以为直径做半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积为__．

【答案】

【分析】

连接，，根据圆周角定理得到，解直角三角形求得，，，，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：连接，，

在中，，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

为的直径，

，，

又∵，

，

∴，

∵，

，

阴影部分的面积

，

故答案为：．

9．（2022·河南九年级期末）如图，在中，，以为直径的⊙交于点，交于点，过点作，且．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】

（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明和全等即可得到结论；

（2）由勾股定理求出，根据全等三角形的性质可得出答案．

【详解】

（1）证明：，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

是的直径，

，

，

，

，

，

是的切线；

（2）解：，，，

，

，

∵，

．

10．（2022·安庆市第四中学九年级）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．

（1）求证：AF平分∠BAC；

（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．

【答案】（1）证明见详解；（2）AD =．

【分析】

（1）连结OF，由FH是⊙O的切线，可得OF⊥FH ，由FH∥BC ，可得OF垂直平分BC ，根据垂径定理可得，根据圆周角性质可得∠1=∠2即可；

（2）根据∠ABC的平分线BD，可得∠4=∠3，可证∠FDB=∠FBD，可得BF=FD ，再证△BFE∽△AFB ，根据性质可得， 再求BF=DF= 7，可求，即可求AD．

【详解】

（1）证明：连结OF，

∵FH是⊙O的切线，

∴OF⊥FH ，

∵FH∥BC ，

∴OF垂直平分BC ，

∴，

∴∠1=∠2，

∴AF平分∠BAC，

（2）解∵∠ABC的平分线BD交AF于D，

∴∠4=∠3，

∠1=∠2，

∴∠1+∠4=∠2+∠3，

∵∠5=∠2，

∴∠1+∠4=∠5+∠3 ，

∴∠FDB=∠FBD，

∴BF=FD ，

在△BFE和△AFB中，

∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠EFB，

∴△BFE∽△AFB ，

∴，

∴，

∴ ，

∵BF=DF=EF+DE=7，

∴，

∴AD=AF-DF==．