高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时作业

第二章　2.5　2.5.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为( A )

A．±1　  B．±

C．±　  D．±2

[解析]　由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝，所以有＝，解得k＝±1.

2．已知直线ax＋by＋c＝0(a、b、c都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a、b、c为三边长的三角形是( B )

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不存在

[解析]　由题意，得＝1，

∴a2＋b2＝c2，故选B.

3．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( B )

A．2.4米　  B．3.5米

C．3.6米　  D．2.0米

[解析]　以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，

由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，

此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，

得y≈3.5(负值舍去)．

4．已知圆C：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，且A、B为切点，则直线AB经过定点( C )

A．(4,8)  B．(2,4)

C．(1,2)  D．(9,0)

[解析]　设P(9－2b，b)，由圆的切线公式，则直线lAB：(9－2b)x＋by＝9，即b(y－2x)＋9x＝9，

所以定点⇒.

5．(多选)(2023·德州高二期末)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为( BC )

A．6　　　  B．8

C．12　　　  D．16

[解析]　因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为＝5.又圆C的半径为6，故AB的长度的最小值为2＝2.又当直线y＝kx－1过圆心时AB的长度取最大值为直径12，故|AB|∈[2，12]．故选BC.

二、填空题

6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有_3__个．

[解析]　圆心(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，又r＝3，

故有三个点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1.

7．已知圆C的圆心与点(－2,1)，关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为_x2＋(y＋1)2＝18__.

[解析]　设点(－2,1)关于直线y＝x＋1的对称点C的坐标为(a，b)，则解得即圆心C(0，－1)．

又圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离为＝3，从而圆的半径为＝3.

故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.

8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为_(x－2)2＋y2＝9__.

[解析]　设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

三、解答题

9．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：

(1)经过点P(，1)；

(2)斜率为－1；

(3)过点Q(3,0)．

[解析]　(1)∵点P(，1)在圆上．

∴所求切线方程为x＋y－4＝0.

(2)设圆的切线方程为y＝－x＋b，

代入圆的方程，整理得

2x2－2bx＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，

∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.

解得b＝±2.

∴所求切线方程为x＋y±2＝0.

也可用几何法d＝r求解．

(3)方法一：∵32＋02>4，∴点Q在圆外．

设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.

∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，

∴＝2，∴k＝±，

∴所求切线方程为2x±y－6＝0.

方法二：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为

x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝①

又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4②

由①②构成的方程组可解得

或

∴所求切线方程为

x＋y＝4或x－y＝4，

即2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0.

10．(2023·本溪一中高一期中)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点M的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．

[解析]　(1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2，

当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3.

由圆心(1,2)到直线x＝3的距离3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．

当过点M的直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－3)，

即kx－y＋1－3k＝0.由题意知＝2，

解得k＝，∴方程为3x－4y－5＝0.

故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.

(2)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为＝，

∴2＋()2＝4，解得a＝－.

B　组·素养提升

一、选择题

1．(多选)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( AB )

A．2x＋y＋5＝0  B．2x＋y－5＝0

C．2x＋y＋＝0  D．2x＋y－＝0

[解析]　∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，

∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.

∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，

∴＝，∴m＝±5.

即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.

故选AB.

2．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( A )

A．[2,6]  B．[4,8]

C．[，3]  D．[2，3]

[解析]　∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，

∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2，

∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，

∴圆心为(2,0)，则圆心到直线距离d1＝＝2，

故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3]，

则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]．

故选A.

3．(多选)在同一平面直角坐标系中，直线ax－y＋a＝0与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置可能是( AD )

[解析]　圆(x＋a)2＋y2＝a2的圆心为(－a,0)，半径为|a|，由题意可得d＝，不妨＜|a|，可得＜1，

即1－2a＋a2＜1＋a2，

当a＞0时，恒成立，可知A正确，B不正确；

当a＜0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，

但是直线的斜率为负数，所以C不正确，截距是负数，所以D正确．

4．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是( B )

A．3<r<5  B．4<r<6

C．r>4  D．r>5

[解析]　圆心C(3，－5)，半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1<r<d＋1，所以4<r<6.

二、填空题

5．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为 2　m.

[解析]　以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．

设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，

则由已知得A(6，－2)．

设圆的半径为r，

则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①

将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得

36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.

∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②

当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，

将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝.

∴水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m.

6．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为 4　.

[解析]　因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，

所以圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，

所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3.

又圆的半径为，当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为＝≥3，

所以切线长的最小值为＝4.

7．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是 　.

[解析]　由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)，所以kA′B＝，

所以直线A′B的方程为y＝x＋a，

即(3－a)x－2y＋2a＝0.

由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，

整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，

所以实数a的取值范围是.

三、解答题

8．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，m∈R.

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

[解析]　(1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，

∴方程表示圆时，m<5.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，

得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，

∵OM⊥ON，∴kOM·kON＝·＝－1，

∴x1x2＋y1y2＝0，∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0①，

由，得5y2－16y＋m＋8＝0，

∴y1＋y2＝，y1y2＝.代入①得m＝.

(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，

即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，

∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.

9．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

[解析]　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，

港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0，圆心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，因为>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．