人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课堂检测

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课堂检测，共6页。试卷主要包含了求a5，a7的等比中项．等内容，欢迎下载使用。

1.[2022·湖南怀化高二期末]在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝8，则公比q＝( )
A．eq \f(7,3)B．eq \r(2)
C．2D．3
2．[2022·福建厦门高二期末]正项等比数列{an}中，a2a6＝9，则a4＝( )
A．1B．eq \r(3)
C．3D．eq \f(9,2)
3．[2022·山东青岛黄岛区高二期末]已知等比数列{an}满足：a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，a2a3<0，则公比q＝________．
4．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝eq \f(20,3)，求{an}的通项公式．
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5.[2022·湖南宁乡高二期末]在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a3，eq \f(1,2)a5，a4成等差数列，则eq \f(a8＋a9,a6＋a7)＝( )
A．4B．eq \f(1,2)
C．2D．－eq \f(1,2)
6．(多选)[2022·山东郓城一中高二期末]在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则( )
A．q2＝3B．a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ＝4
C．a4a6＝2eq \r(3)D．n＝12
7．[2022·福建福州一中高二期末]在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于____________．
8．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝－12，a4＋a8＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
9．已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42.求a5，a7的等比中项．
10．已知数列{an}是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前4项之积为16，第2项与第3项之和为5，求这个等比数列的前4项．
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11.(多选)[2022·江苏南京高二期末]正项等比数列{an}中，a3、a1、－a2成等差数列，且存在两项am，aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n∈N*))使得eq \r(am·an)＝4a1，则( )
A．数列{an}公比为2
B．eq \f(1,m)＋eq \f(5,n)的最小值是eq \f(7,4)
C．m＋n＝6
D．eq \f(1,m)＋eq \f(5,n)的最小值是1＋eq \f(\r(5),3)
12．[2022·湖北武汉高二期末]已知{an}是递增的等比数列，且a3＝2，a2＋a4＝eq \f(20,3).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(dn))中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
课时作业(七) 等比数列的概念和通项公式
1．解析：因为a1＝1，a4＝8，
所以a1q3＝8，
所以q3＝8，
解得q＝2.
故选C.
答案：C
2．解析：由等比数列的性质知：a2a6＝a eq \\al(2,4) ＝9，
因为{an}为正项等比数列，所以a4＝3.
故选C.
答案：C
3．解析：设等比数列的公式为q，
则a9＝a1q8，即eq \f(1,243)＝27q8，
解得q＝±eq \f(1,3)，
又a2a3＝a eq \\al(2,1) q3<0，所以q<0，
所以q＝－eq \f(1,3).
答案：－eq \f(1,3)
4．解析：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝eq \f(a3,q)＝eq \f(2,q)，a4＝a3q＝2q，
∴eq \f(2,q)＋2q＝eq \f(20,3)，
解得q1＝eq \f(1,3)，q2＝3.
当q＝eq \f(1,3)时，a1＝18，
∴an＝18×(eq \f(1,3))n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝eq \f(2,9)，
∴an＝eq \f(2,9)×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝eq \f(1,3)时，an＝2×33－n，n∈N*；
当q＝3时，an＝2×3n－3，n∈N*.
5．解析：设等比数列的公比为q(q>0)，
∵2a3，eq \f(1,2)a5，a4成等差数列，
∴a5＝2a3＋a4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
∴eq \f(a8＋a9,a6＋a7)＝eq \f(a1q7＋a1q8,a1q5＋a1q6)＝eq \f(a1q7（1＋q）,a1q5（1＋q）)＝q2＝4，
故选A.
答案：A
6．解析：设数列{an}的公比为q，
由a1a2a3＝a eq \\al(3,1) q3＝4，a4a5a6＝a eq \\al(3,1) q12＝12，
可得q9＝3，
又由a1a2a3＝a eq \\al(3,2) ＝4，a4a5a6＝a eq \\al(3,5) ＝12，所以AC错误；
因为an＋1an＋2an＋3＝a eq \\al(3,n＋2) ＝(a2qn)3＝a eq \\al(3,2) (qn)3＝4q3n＝324，
可得q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，
所以3n＝36，解得n＝12，所以BD正确．
答案：BD
7．解析：设公比为q，插入的三个数分别为a2，a3，a4，
因为a1＝1，a5＝9，所以q4＝9，得q2＝3，
所以a2·a3·a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a eq \\al(3,1) (q2)3＝33＝27.
答案：27
8．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝－6,a6＝0))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝－6,a1＋5d＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－10,d＝2))，
所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，即q＝3，
因此bn＝b1·qn－1＝－8×3n－1.
9．解析：设该等比数列的公比为q，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＋a1q2＝168，,a1q－a1q4＝42，))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1（1＋q＋q2）＝168， ①,a1q（1－q3）＝42. ②))
1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
②÷①得q(1－q)＝eq \f(1,4)⇒q＝eq \f(1,2)，
∴a1＝eq \f(42,q－q4)＝eq \f(42,\f(1,2)－（\f(1,2)）4)＝96.
设G是a5，a7的等比中项，则应有
G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a eq \\al(2,1) q10＝962·(eq \f(1,2))10＝9，
∴a5，a7的等比中项是±3.
10．解析：方法一：设这个等比数列的前4项分别为a，aq，aq2，aq3，
由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a4q6＝16，,aq＋aq2＝5，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2q3＝4，①,aq（1＋q）＝5，②))
将②式平方后除以①式，得eq \f(（1＋q）2,q)＝eq \f(25,4)，
整理得4q2－17q＋4＝0，解得q＝4或q＝eq \f(1,4).
因为等比数列为各项均为正数，且单调递增的等比数列，
所以a>0，q>1，即q＝4，a＝eq \f(1,4).所以这个等比数列的前4项分别为eq \f(1,4)，1，4，16.
方法二：根据数列{an}是一个各项均为正数的等比数列，
可设这个数列的前4项分别为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.其中aq>0，公比为q2.
由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a4＝16，,\f(a,q)＋aq＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,q＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,q＝\f(1,2)))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,q＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,q＝－\f(1,2)．))又因为数列{an}单调递增，
所以q2>1，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,q＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,q＝－2，))所以这个等比数列的前4项分别为eq \f(1,4)，1，4，16.
11．解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1>0，q>0，
由已知2a1＝a3－a2，可得q2－q－2＝0，∵q>0，则q＝2，A对；
因为eq \r(am·an)＝4a1，则aman＝a eq \\al(2,1) ×2m＋n－2＝16a eq \\al(2,1) ，可得m＋n－2＝4，可得m＋n＝6，C对；
因为m、n∈N*，且m＋n＝6，
当m＝1，n＝5时，eq \f(1,m)＋eq \f(5,n)＝2；当m＝2，n＝4时，eq \f(1,m)＋eq \f(5,n)＝eq \f(7,4)；
当m＝n＝3时，eq \f(1,m)＋eq \f(5,n)＝2；当m＝4，n＝2时，eq \f(1,m)＋eq \f(5,n)＝eq \f(11,4)；
当m＝5，n＝1时，eq \f(1,m)＋eq \f(5,n)＝eq \f(26,5).
综上所述，eq \f(1,m)＋eq \f(5,n)的最小值为eq \f(7,4)，B对D错．
故选ABC.
答案：ABC
12．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵{an}是递增的等比数列且a3>0，∴q>1；
则a2＋a4＝eq \f(a3,q)＋a3q＝eq \f(2,q)＋2q＝eq \f(20,3)，解得：q＝eq \f(1,3)(舍)或q＝3；
∴an＝a3qn－3＝2×3n－3.
(2)由题意知：an＋1＝an＋(n＋2－1)dn，即dn＝eq \f(an＋1－an,n＋1)＝eq \f(2×3n－2－2×3n－3,n＋1)＝eq \f(4×3n－3,n＋1)；
假设存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则d eq \\al(2,k) ＝dmdp，
即eq \f(16×32k－6,（k＋1）2)＝eq \f(16×3m＋p－6,（m＋1）（p＋1）)；
∵m，k，p成等差数列，∴2k＝m＋p，代入上式得：(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，
∴(eq \f(m＋p,2)＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，化简得：m＝p，∴m＝p＝k，不合题意．
综上所述：不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．