初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质一课一练

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质一课一练，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年人教版九年级下第二十七章相似三角形课时4利用两边和夹角判定三角形相似练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（　　）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG3．在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（             ）组．①； ②； ③；④．A． B． C． D．4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（　　）A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点C．CE•CD＝CA•CB D．＝5．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ）A． B． C． D．6．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ）A． B． C． D．7．正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是（     ）．A． B． C． D．8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题9．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝______． 三、解答题10．如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．(1)求证：．(2)当，时，求线段的长．11．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足． (1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．(3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．12．已知：在△ABC和△A′B′C′中， ．求证：△ABC∽△A′B′C′．13．如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DFAC，EFAB．(1)求证：△BDF∽△FEC．(2)设．①若BC＝15，求线段BF的长；②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．14．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．15．如图，是等边三角形，，点从点出发沿射线以的速度运动，过点作交射线于点，同时点从点出发沿的延长线以的速度运动，连结．设点的运动时间为．(1)求证：是等边三角形；(2)直接写出的长（用含的代数式表示）；(3)当点在边上运动，且不与点重合．①求证：；②当为何值时，？
参考答案：1．B【分析】根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可．【详解】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．所以选B．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2．C【分析】由正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，可以证明△AEF∽△CBF，△CMG∽△BFG，△BDE∽△BCG，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°， ∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意； ∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF， ∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意； ∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°， ∴∠ABF+∠CBG=45°， ∴∠ABF与∠CBG不一定相等， ∴△ABF与△CBG不一定相似，故选项C符合题意； △BDE∽△BCG，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键．3．C【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可．【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．4．D【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】∵CE⊥CD，∴∠EDC＝90°，∵∠BCA＝90°，∴∠BCE＝∠DCA＝90°-∠BCD，∵CD是斜边AB上的中线，∴DC＝DB＝DA，∴∠DAC＝∠A，∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，∴∠E＝∠CBA-∠BCE＝30°，∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，∴△CEB∽△CAD，∴A不符合题意；∵点B是DE的中点，∴BE＝BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，∴△CEB∽△CAD，∴B不符合题意；∵CE•CD＝CA•CB，∴．∵∠BCE＝∠DCA，∴△CEB∽△CAD，∴C不符合题意；由，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，∴D符合题意.故选：D．【点睛】本题考查判断三角形相似，直角三角形的性质．掌握判定三角形相似的条件是解题关键．5．A【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，∴，，∵CE⊥x轴，∴，，∵在矩形OABC中，，∴，∴，∴，∴，∴，，设点A坐标为，则点B坐标为，连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴点A坐标为，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系．6．B【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7．B【分析】连接BD，EF，可看出阴影部分的面积等于正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可得．【详解】解：连接BD，EF．∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积 （G为BF与DE的交点），∴△BCD的面积=△ABD的面积=正方形ABCD的面积=，∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴△BDE的面积=△BCD的面积，EF∥BD，EF=BD，∴△GEF∽△GDB，∴DG=2GE，∴△BDG的面积=△BDE的面积=△BCD的面积=，∴阴影部分的面积=+= ()，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是连接BD，把阴影部分分成两部分计算．8．B【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；【详解】解：∵AD⊥CB，∴∠ADC＝∠BDA＝90°，∴∠BAC＝∠ADC＝90°又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，∴△ADC∽△BAC∽△BDA，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．9．3：2【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：2，故答案为：3：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．(1)见解析(2) 【分析】（1）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵垂直平分，∴，，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：如图，延长至，使，连接，．则垂直平分，，是边上的中线，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．11．(1)证明见解析；(2)PB＝1，或PB＝6，或PB＝；(3)①当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，；②△ABP∽△CDP，；③当点P在在BD的延长线上时，或和 【分析】（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B与∠D为直角，又∠APC＝90°，则∠APB+∠CPD＝90°，可以得出∠A＝∠CPD，从而证出△ABP∽△PDC．（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），然后分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值．（3）分三种情形情况讨论：当点P在线段BD时①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式，当点P在线段BD的延长线上，当点P在线段DB的延长线上时，分解求解即可；（1）解：证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°①，∴∠A+∠APB＝90°，又∵∠APB+∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD②，∴由①②，△ABP∽△PDC．（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），①△ABP∽△PDC时，，即，解得，（x﹣1）（x﹣6）＝0，x＝1或x＝6，②△ABP∽△CDP．，即，解得x＝．综上所述，PB＝1，或PB＝6，或PB＝．（3）当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，，即，整理得，y＝x+；②△ABP∽△CDP．，即整理得，y＝x．当点P在在BD的延长线上时，③△ABP∽△PDC时，，∵PD＝PB﹣BD＝x﹣y，，y＝x﹣．当P在DB的延长线时，④△PBA∽△CDP，＝，∴，∴y＝﹣x．⑤△PAB∽△PCD时，，∴＝，∴y＝x． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论思想是解题的关键．12．证明见解析【分析】先在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC∽△ADE，再△ADE≌△A′B′C′即可．【详解】在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE．∵，AD=A′B′，AE=A′C′，∴而∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．∴又，AD= A′B′，∴ ∴∴DE=B′C′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键．13．(1)证明见详解(2)①BF＝5；②S△ABC＝16×＝36 【分析】（1）由平行线的性质得出∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出，即可得出结果；②先求出易证△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．（1）证明：∵DFAC，∴∠BFD＝∠C，∵EFAB，∴∠B＝∠EFC，∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，∴△BDF∽△FEC；（2）解：①∵EFAB，∴，∴∵BC＝15，∴，∴BF＝5；②∵，∴∴，∵EFAB，∴∠CEF＝∠B，∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B∴△EFC∽△ABC，∴，∵S△EFC＝16，∴S△ABC＝×16＝36．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．14．(1)见解析(2)直角三角形，见解析(3)125°，或140°，或110° 【分析】（1）根据旋转后，图形不变，，，根据等边三角形的判定定理，即可证明是等边三角形；（2）根据旋转后，图形不变，，根据是等边三角形，得，得，即可证明的形状；（3）根据是等腰三角形，依次讨论，，；根据等边对等角，进行讨论，求出的度数，即可．（1）∵绕点按顺时针方向旋转得∴，∴是等边三角形．（2）∵是由旋转后得到的∴∵是等边三角形∴∵∴∴是直角三角形．（3）∵是由旋转后得到的∴∴∵是等边三角形∴，∴∵∴∴∵在中，∴∴∵是等腰三角形∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴当为、、时，是等腰三角形．【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握旋转后图形大小不变，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．15．(1)见解析(2)当时，；当时，．(3)①见解析；②t=1 【分析】（1）利用，是等边三角形，即可证得是等边三角形；（2）分两种情况进行讨论，①E点在AC上时，②E点在AC延长线上时，进行表示即可；（3）①根据SAS证明； ②先判断出BP=CQ，进而列方程即可求t值．（1）解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，∴是等边三角形．（2）当时，当时，．（3）①当点在边上运动，则，，，，，∴∵，∴，在与中，∴，②若，则，∴答：当时，【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定及分类讨论的数学思想，解题关键是深刻理解图形的运动过程．