初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质课后复习题

2022-2023学年人教版九年级下第二十七章相似三角形

课时3利用三边判定三角形相似练习题

学校:___________姓名：___________班级：_____________

一、单选题

1．下列命题是假命题的是（　　）

A．两点之间，线段最短

B．有一个角为120°的两个等腰三角形相似

C．对顶角相等

D．若a+b＞0则a＞0，b＞0

2．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（　　）

A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm

3．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　）

A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④

4．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（    ）条

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题

5．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，则AC的长为　　　　．

6．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3∶5，且三角板的一边长为9cm，则投影中对应边的长为__________cm．

7．如图，的顶点，，都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为__，的长为__．

8．如图，在平面直角坐标系中，等边与等边是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边的边长为12，则点C的坐标为_________．

三、解答题

9．相似三角形的判定方法有那些？

10．思维启迪：

小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．

小明是这样解决问题的：如图1，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出的面积他把这种解决问题的方法称为构图法．

思维探索：

参考小明解决问题的方法，完成下列问题：

（1）如图2，是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为）．利用构图法在图2的正方形网格中画出三边长分别为，，的格点，并直接写出的面积；

（2）如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接．若，，，直接写出六边形的面积．

11．定理：两角分别相等的两三角形相似．

已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠A ＝∠A′，∠B ＝∠B′．求证：△ABC ∽△A′B′C′．

12．如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．

(1)求证：；

(2)若，求证：．

13．如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．．

(1)试说明△ABC与△DEF是位似图形；

(2)求△ABC与△DEF的位似比．

参考答案：

1．D

【分析】由两点之间的距离判断A，

由两个角分别对应相等的两个三角形相似判断B，

由对顶角的性质判断C，

由两个有理数的和的符号为正，判断D

【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确；

B、两三角形的顶角均为120°，底角为30°，两角对应相等，那么两三角形相似，正确；

C、对顶角的性质：对顶角相等，正确；

D、若a，b两数异号，正数的绝对值大，和的结果也可能是正，不一定正确；

故选：D．

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，考查了两点间的距离，对顶角的性质，三角形相似的判定，有理数的加法，掌握命题真假的判断方法是解题的关键．

2．A

【分析】根据相似三角形的判定和性质计算求值即可；

【详解】解：∵AB∥CD，

∴△ABO∽△CDO，

∵△ABO和△CDO的高之比为，

∴＝，

又∵AB＝36cm

∴CD＝16cm，

故选： A．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似；相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比．

3．A

【分析】分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可．

【详解】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2；

②三角形的三边的长度为：，2，；

③三角形的三边的长度为：，3，；

④三角形的三边的长度为：，，3；

∵，

∴相似三角形的是①和②，

故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

4．B

【分析】由，另两边长分别是3，4，可知△ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．

【详解】解：如图，

∵，另两边长分别是3，4，

又∵，

∴，即△ABC是直角三角形，

∵过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，

∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，

∴过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．

故选：B．

【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．

5．

【分析】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

【详解】解：∵AD=2，BD=3，

∴AB=AD+BD=2+3=5，

∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴，即，

解得，AC=，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

6．15

【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．

【详解】解：设投影三角尺的对应边长为x cm，

∵三角尺与投影三角尺相似，

∴9：x=3：5，

解得x=15．

故答案是：15．

【点睛】本题主要考查相似三角形的应用．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

7．         

【分析】先根据勾股定理求出，再求出的面积即可．

【详解】解：由勾股定理得：，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用两种方法来表示三角形的面积，属于基础题．

8．

【分析】作CF⊥AB于F，根据位似图形的性质得到BC∥DE，根据相似三角形的性质求出OA、AB，根据等边三角形的性质计算，得到答案．

【详解】解：作CF⊥AB于F，

∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，

∴BC∥DE，

∴△OBC∽△ODE，

∴，

∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为12，

∴

解得，BC=4，OB=6，

∴OA=2，AB=BC=4，

∵CA=CB，CF⊥AB，

∴AF=2，

由勾股定理得，

∴OF=OA+AF=2+2=4，

∴点C的坐标为

故答案为：．

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、等边三角形的性质、掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．

9．①两角分别相等的两个三角形相似．

②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

③三边成比例的两个三角形相似．

【解析】略

10．思维启迪：3.5；思维探索：（1）图如图所示，8；（2）32．

【分析】思维启迪：把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．

思维探索：（1）在网格图2中，构造，利用分割法求解．

（2）把六边形面积看成矩形面积减去周围的三角形和正方形面积即可．

【详解】解：思维启迪：．

思维探索：（1）如图2所示，即为所求．．

（2）六边形的面积．

【点睛】本题考查利用勾股定理，在网格中作三角形，利用网格求图形面积，熟练掌握利用割补法求图形面积是解题的关键．

11．证明见解析

【详解】证明：在△ABC 的边AB(或它的延长线)上截取AD＝ A′B′，

过点D作DE∥BC，交AC于点E．

则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝．

过点D作DF∥AC，交BC于点F，则＝．

∴＝．

又∵DE∥BC，DF∥AC，

∴四边形DFCE是平行四边形．∴DE＝CF．

∴＝．∴＝＝．

∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠DAE＝∠BAC，

∴△ADE∽△ABC．

∵∠A ＝∠A′，∠ADE＝∠B ＝∠B′，AD＝A′B．

∴△ADE≌△A′B′C′(ASA)．∴△ABC∽△A′B′C′．

12．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）证明和相似，即可证明．

（2）先证明∽，再证明∽，得到，即可证明．

（1）

证明：，，

∽，

∴

．

（2）

证明：，，

∽，

，

，

又∵，

，

，

，

∽，

，

，

．

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．

13．(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据两直线平行同位角相等得到∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，再根据两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，最终得到△ACB∽△DFE；

（2）根据三角形的相似比等于相应边长的比即可得到答案．

（1）

∵AC∥DF，BC∥EF，

∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB， ，，

∴∠DFE＝∠ACB，，

∴△ACB∽△DFE，

因为两个相似三角形的对应点所在直线交于点O，且对应边平行，

∴△ABC与△DEF是位似图形；

（2）

∵△ABC与△DEF是位似图形，，

∴△ABC与△DEF的位似比为：．

【点睛】本题考查平行线和相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法及性质．