人教版九年级下册27.2.2 相似三角形的性质同步训练题

2022-2023学年人教版九年级下册相似三角形的性质练习题

学校:___________姓名：___________班级：________________

一、单选题

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是4，则△ABC的面积为（    ）

A．12 B．9 C．10 D．8

2．已知，AB与DE的长度比为2：1，且的面积为16，则的面积为（    ）

A．4 B．8 C．32 D．16

3．如图，以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ）

A．// B．

C． D．

4．如图，，，，D为上一点，且，在上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则等于（    ）

A．或 B．10或 C．或10 D．以上答案都不对

5．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，若，则DE的长为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．16

7．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA'：OA'＝2：3，则下列说法错误的是（　　）

A．△A'OB'∽△AOB

B．A'B'//AB

C．点O到A'B'与AB的距离之比为3:5

D．△A'B'C'与△ABC的面积之比为3：5

8．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（    ）

A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1

9．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝9 cm，AC＝5 cm，BC＝8 cm，A′B′＝4.5 cm，A′C′＝4 cm，B′C′＝2.5 cm，则有（   ）

A．∠A＝∠A′ B．∠A＝∠B′ C．∠A＝∠C′ D．∠C＝∠B′

10．若的面积是，则它的三条中位线围成的三角形的面积是（    ）

A． B． C． D．无法确定

11．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（　　）

A．1 B． 2 C．3 D．)4

13．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（3，3），A（0，1），B（4，1），射线PA，PB与x轴分别交于点C，D，则CD＝（　　）

A．6 B．5.5 C．4.5 D．3

二、解答题

14．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．

(1)求∠ADE和∠AED的度数；

(2)求DE的长．

15．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．

(1)若，求线段AD的长．

(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．

16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．

（1）求HD的长；

（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）

17．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．

（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；

（2）若AB=6，BC=18，求△BDE的面积．

三、填空题

18．如图,在△ABC中,D,E分别是AC,BC边上的中点,则三角形CDE的面积与四边形ABED的面积比等于 ____________

19．如图，在中，，，，动点以的速度从向移动，不与重合，动点以的速度从向移动，不与重合，若、同时出发，经过______秒后，与相似．

参考答案：

1．B

【分析】根据的相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可根据此求得△ABC的面积．

【详解】解： ∵

∴，

∴

∴

∵

∴

故选：B

【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比是解题的关键．

2．A

【分析】根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，可知的面积．

【详解】解：∵，AB与DE的长度比为2：1，

∴：=：1=4∶1，

∵=16，

∴=4．

故选：A．

【点睛】本题主要考查的是相似三角形的基本性质，掌握相似三角形的面积比与相似比的关系是解题的关键．

3．B

【分析】根据位似的性质对各选项进行判断，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．

【详解】以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，

∴和是位似图形，

∴~，故C正确；

∴， 又

~

∴

∴//故A正确；

∵把的各边放大为原来的2倍得到，

∴

∴，故B选线说法错误；

∵，故D正确；

∴说法错误的是：B选项；

故选：B．

【点睛】本题考查了位似图形变换，正确掌握位似的性质是解题的关键．

4．C

【分析】已知∠A是公共角，只需再满足或时，△ADE与△ABC相似，分别列比例式计算即可．

【详解】解：∵∠A=∠A，

①当时△ADE∽△ABC，

则，

得AE=10；

②当时△ADE∽△ACB，

则，

得；

综上分析可知，AE 等于或10，故C正确．

故选:：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，分两种情况正确的作出图形，找准对应边是解题的关键．

5．C

【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

【详解】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，

当△PAE∽△PBC时，，即，

解得，，

当△PAE∽△CBP时，，即，

解得，x＝2或6，

可得：满足条件的点P的个数有3个．

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．

6．B

【分析】根据位似图形的性质得出位似比，进而得出DE的长．

【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD=2：1，

∴AB：DE=2：1，

∵AB=4，

∴DE的长为：2．

故选：B．

【点睛】本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

7．D

【分析】根据位移变换的性质得到，进而求得，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．

【详解】△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的

AA'：OA'＝2：3

即点O到A'B'与AB的距离之比为3:5

所以，选项D错误，

故选：D．

【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似与相似的关系、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

8．C

【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．

【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，

∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，

故选：C．

【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．

9．A

【解析】略

10．A

【分析】根据三角形中位线定理即可证得：，则△DEF∽△ABC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．

【详解】解：如图：

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE=BC，即，

同理，，，

∴，

∴△DEF∽△ABC，

∴，

∴S△DEF=S△ABC=×8=2（cm2）．

故选：A．

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质，正确证明△DEF∽△ABC是关键．

11．C

【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．

【详解】连接OB，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=28°，

∴∠AOB=124°，

∵PA、PB切⊙O于A、B，

∴OA⊥PA，OP⊥AB，

∴∠OAP+∠OBP=180°，

∴∠APB+∠AOB=180°；

∴∠APB=56°．

故选：C

【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．

12．C

【详解】

在 中，

在 中，

在 中，

在 中，

根据相似三角形的判定，,故选C.

13．A

【分析】连接AB，利用A、B坐标求出AB=4，AB∥CD，从而证得△PAB∽△PCD，利用相似三角形性质求解即可．

【详解】解：连接AB，

∵A(0,1)，B(4,1)，

∴AB=4，且AB∥CD，

∴△PAB∽△PCD，相似比等于AB和CD边上的高的比，即2：3．

∴AB：CD=2：3，

∵AB=4，

∴CD=6．

故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形，证△PAB∽△PCD是解题的关键．

14．(1)∠ADE＝40°，∠AED＝65°

(2)12cm

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，再根据相似三角形的性质即可得到∠ADE和∠AED的度数；

（2）根据相似三角形的相似比可直接得到答案．

（1）

∵ ,

∴

∵△ABC∽△ADE，

∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠C＝65°；

（2）

∵△ABC∽△ADE，

∴＝，

即＝，

解得：DE＝12cm．

【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键熟练掌握相似三角形的性质，列出比例式．

15．(1)2

(2)6

【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；

（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．

（1）

∵四边形BFED是平行四边形，

∴ ，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）

∵四边形BFED是平行四边形，

∴，，DE=BF，

∴，

∴

∴，

∵，DE=BF，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．

16．（1）2；（2）

【分析】（1）根据平行四边形的性质得，根据相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根据相似三角形的性质即可求解；

（2）由BE=EF可得与的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的值，-即可得四边形AEFH的面积．

【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8，

∴，=8，

∴，，

∴，，

∵BE=EF=FD，

∴，，

∴BG=AD=4，HD=BG，

∴HD=2；

（2）∵BE=EF，

∴=a，

∴，

∵，，，，

∴，，

∴四边形AEFH的面积=-=．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

17．（1）见解析；（2）30

【分析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质可得结果；

（2）设DE=x，则BE=x，AE=18﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理列方程求解．

【详解】解：（1）△BDE是等腰三角形．

由折叠可知，∠CBD=∠EBD，

∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB，

∴BE=DE，

即△BDE是等腰三角形；

（2）设DE=x，则BE=x，AE=18﹣x，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即62+（18﹣x）2=x2，

解得：x=10，

所以S△BDE=DE×AB=×10×6=30．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，矩形与折叠的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关的性质以及定理是解本题的关键．

18．1:3

【分析】根据中位线的定义可得：DE为△ABC的中位线，再根据中位线的性质可得DE∥AB，且，从而证出△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质即可求出，从而求出三角形CDE的面积与四边形ABED的面积比.

【详解】解：∵D,E分别是AC,BC边上的中点,

∴DE为△ABC的中位线

∴DE∥AB，且

∴△CDE∽△CAB

∴

∴

故答案为：1:3.

【点睛】此题考查的是中位线的性质和相似三角形的判定及性质，掌握中位线的性质、用平行证相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.

19．或

【分析】设x秒后△PBQ与原三角形相似，则可用x表示出AP=2x，PB=12-2x，BQ=4x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况．

【详解】解：设秒后与相似，则，，，

，

当时，∽，

即，

解得；

当时，∽，

即，

解得．

即经过秒或秒后，与相似．

故答案为：或．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．