2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）

这是一份2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）复数z＝﹣2+i的虚部为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．i
2．（4分）已知点A（1，2），B（﹣1，0），则＝（ ）
A．（2，0）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（0，2）
3．（4分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．（4分）在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（4分）已知0＜α＜，且csα＝，那么tan（α+）等于（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
6．（4分）如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量＝x+y（x，y∈R），那么x﹣y＝（ ）
A．0B．﹣2C．1D．2
7．（4分）已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“∥”是“四边形ABCD为平行四边形”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（4分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A．y＝sin2xB．y＝cs2xC．y＝tanxD．y＝sin
9．（4分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，acsB＝bcsA，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
10．（4分）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（ ）
A．5千米B．千米C．4千米D．千米
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝ ．
12．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数＝ ．
13．（4分）若A（﹣1，﹣2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三点共线，则x＝ ．
14．（4分）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝ ．
15．（4分）已知＝（1，0），＝（5，5），则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ．
16．（4分）已知函数f（x）＝给出下列三个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）有且仅有3个零点；
③f（x）的值域是[﹣1，1]．
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题（共4小题，共36分.）
17．（9分）已知向量与，＝（1，0），＝（﹣2，1）．
（Ⅰ）求2﹣；
（Ⅱ）设，的夹角为θ，求csθ的值；
（Ⅲ）若向量k+与+k互相平行，求k的值．
18．（9分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝，c＝3，csB＝﹣
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
19．（9分）已知平面向量，，||＝2，||＝1，且与的夹角为．
（Ⅰ）求•；
（Ⅱ）求|+2|；
（Ⅲ）若+2与2+λ（λ∈R）垂直，求λ的值．
20．（9分）已知函数f（x）＝2sinxcsx+cs2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）
1．（4分）复数z＝﹣2+i的虚部为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．i
【分析】直接利用复数的基本概念得答案．
【解答】解：复数z＝﹣2+i的虚部为1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．
2．（4分）已知点A（1，2），B（﹣1，0），则＝（ ）
A．（2，0）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（0，2）
【分析】根据平面向量的坐标表示，求出即可．
【解答】解：点A（1，2），B（﹣1，0），
则＝（﹣1﹣1，0﹣2）＝（﹣2，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．
3．（4分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：只要将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数y＝sin（2x+）的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．（4分）在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．
【解答】解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i＝﹣2+i，
∴复数z所对应的点为（﹣2，1），
故选：B．
【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．
5．（4分）已知0＜α＜，且csα＝，那么tan（α+）等于（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和和角公式的运用求出结果．
【解答】解：已知0＜α＜，且csα＝，
所以，
则，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查知识要点：三角函数的关系式的变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6．（4分）如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量＝x+y（x，y∈R），那么x﹣y＝（ ）
A．0B．﹣2C．1D．2
【分析】可作单位向量，，从而可用单位向量，表示向量，，，根据平面向量基本定理可得出关于x，y的方程组，解出x，y的值，从而计算x﹣y．
【解答】解：如图所示，作单位向量，，
则：＝2﹣，＝2+2，＝2﹣4；
∴x+y＝（2x+2y）+（2x﹣4y），
又＝x+y，
∴2﹣＝（2x+2y）+（2x﹣4y），
∴，
解得，
∴x﹣y＝0．
故选：A．
【点评】该题考查平面向量的基本定理，利用实数λ1，λ2的唯一性解决问题，属于基础题型．
7．（4分）已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“∥”是“四边形ABCD为平行四边形”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断．
【解答】解：由∥可不一定推出四边形ABCD为平行四边形，
但由四边形ABCD为平行四边形一定可得∥，
故“∥”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查对xl共线定理，平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
8．（4分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A．y＝sin2xB．y＝cs2xC．y＝tanxD．y＝sin
【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：在区间（0，）上，2x∈（0，π），y＝sin2x没有单调性，故排除A．
在区间（0，）上，2x∈（0，π），y＝cs2x单调递减，故排除B．
在区间（0，）上，y＝tanx单调递增，且其最小正周期为π，故C正确；
根据函数以π为最小正周期，y＝sin的周期为＝4π，可排除D．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的单调性和周期性，属于基础题．
9．（4分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，acsB＝bcsA，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【分析】把已知的等式利用正弦定理化简后，移项整理后再利用两角和与差的正弦函数公式变形，由A和B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到A＝B，根据等角对等边可得此三角形为等腰三角形．
【解答】解：∵＝＝2R，即a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴acsB＝bcsA变形得：sinAcsB＝sinBcsA，
整理得：sinAcsB﹣csAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
又A和B都为三角形的内角，
∴A﹣B＝0，即A＝B，
则△ABC为等腰三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的判定，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
10．（4分）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（ ）
A．5千米B．千米C．4千米D．千米
【分析】由题意，利用正弦定理即可求得BC的值．
【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°﹣30°＝45°，
由正弦定理得＝，
解得BC＝＝5．
∴B处与地面目标C的距离为5千米．
故选：B．
【点评】本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝．
【分析】由题意利用两个向量的加减法法则，计算求得结果．
【解答】解：＝﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的加减法法则的应用，属于基础题．
12．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数＝ 2﹣i．
【分析】根据复平面内复数与对应点的坐标之间的关系，写出复数z和它的共轭复数．
【解答】解：复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），
所以复数z＝2+i，
它的共轭复数是＝2﹣i．
故答案为：2﹣i．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．
13．（4分）若A（﹣1，﹣2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三点共线，则x＝ 10 ．
【分析】【方法一】由A、B、C三点共线，得与共线；利用向量的知识求出x的值；
【方法二】】由A、B、C三点共线，得kAB＝kAC；利用直线的斜率求出x的值．
【解答】解：【方法一】
∵A、B、C三点共线，
∴与共线；
∵＝（4﹣（﹣1），8﹣（﹣2））＝（5，10），
＝（5﹣（﹣1），x﹣（﹣2））＝（6，x+2），
∴5（x+2）﹣10×6＝0，
解得x＝10；
【方法二】】∵A、B、C三点共线，
∴kAB＝kAC；
∵kAB＝＝2，
kAC＝＝，
∴＝2，
解得x＝10；
故答案为：10．
【点评】本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答，利用斜率相等也可以解答．
14．（4分）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝．
【分析】可求出B＝60°，然后根据正弦定理可得出，根据sin75°＝sin（45°+30°）可求出sin75°的值，从而可求出c的值．
【解答】解：∵在△ABC中，A＝45°，C＝75°，
∴B＝60°，且b＝2，
∴根据正弦定理得：，且sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cs30°+cs45°sin30°＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，考查了计算能力，属于基础题．
15．（4分）已知＝（1，0），＝（5，5），则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 （，） ．
【分析】由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量．
【解答】解：向量在向量方向上的投影为＝＝，
由于向量在向量方向上的投影向量与共线，
可得所求向量为＝（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
16．（4分）已知函数f（x）＝给出下列三个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）有且仅有3个零点；
③f（x）的值域是[﹣1，1]．
其中，正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③．
【解答】解：函数f（x）＝，
①f（x）是非奇非偶函数，所以①不正确；
②f（x）＝0，可得x＝﹣，x＝0，x＝π，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；
③函数f（x）＝，f（x）的值域是[﹣1，1]，正确；
正确结论的序号是：②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的性质的应用，是基本知识的考查．
三、解答题（共4小题，共36分.）
17．（9分）已知向量与，＝（1，0），＝（﹣2，1）．
（Ⅰ）求2﹣；
（Ⅱ）设，的夹角为θ，求csθ的值；
（Ⅲ）若向量k+与+k互相平行，求k的值．
【分析】（I）结合向量减法的坐标表示即可求解；
（II）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；
（III）结合向量平行的坐标表示即可求解．
【解答】解：（1）因为＝（1，0），＝（﹣2，1），
所以2﹣＝（4，﹣1）；
（Ⅱ）csθ＝＝＝﹣，
（III）k+＝（k﹣2，1），+k＝（1﹣2k，k），
由题意可得，k（k﹣2）+2k﹣1＝0，
整理可得，k2﹣1＝0，
解可得，k＝±1．
【点评】本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量夹角公式及平行的坐标表示，属于基础试题．
18．（9分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝，c＝3，csB＝﹣
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）直接利用同角三角函数的关系式和正弦定理的应用求出结果．
（Ⅱ）利用和角公式和三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，已知b＝，c＝3，csB＝﹣
所以＝．
利用正弦定理，整理得sinC＝．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
所以sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC＝，
所以＝．
【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19．（9分）已知平面向量，，||＝2，||＝1，且与的夹角为．
（Ⅰ）求•；
（Ⅱ）求|+2|；
（Ⅲ）若+2与2+λ（λ∈R）垂直，求λ的值．
【分析】（Ⅰ）直接根据平面向量数量积计算公式求解；
（Ⅱ）先求出，再开方即可得|+2|；
（Ⅲ）根据向量垂直的充要条件得，展开即得到关于λ的方程，解方程即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）．
（Ⅱ），
∴．
（Ⅲ）若+2与2+λ（λ∈R）垂直，
则，
即，
∴8+2λ+4+λ＝0 即 12+3λ＝0，
∴λ＝﹣4．
【点评】本题考查了向量数量积、模的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
20．（9分）已知函数f（x）＝2sinxcsx+cs2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
（Ⅱ）由已知x的范围，结合正弦函数的性质即可求解；
（Ⅲ）由已知可转化为y＝k与y＝f（x）的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由，
得f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
所以 ．
从而 ．
所以 当，即时，f（x）的最大值为2；
当，即时，f（x）的最小值为．
（Ⅲ）由，得，而函数f（x）在上单调递增，
，在上单调递减，f（x）∈[1，2]，
所以若函数g（x）＝f（x）﹣k在上有两个不同的零点，则．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．
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