2021北京丰台高一（上）期中数学（A卷）（教师版）

2022北京丰台高一（上）期中

数    学（A卷）

一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．（4分）下列关系中正确的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（4分）下列函数中在定义域上单调递增的是　　

A． B． C． D．

4．（4分）若，则下列不等式中恒成立的是　　

A． B． 

C． D．

5．（4分）设集合，，函数定义域为，值域为，则函数的图象可以是　　

A． B． 

C． D．

6．（4分）“”是“二次函数有零点”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（4分）已知，则下列不等式成立的是　　

A． B． C． D．

8．（4分）已知，，若，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

9．（4分）定义在上的函数满足如下两个条件：①对，都有；②对，，当时，都有．若，则　　

A． 

B． 

C． 

D．无法确定与的大小关系

10．（4分）已知函数，有以下结论：

①的图象关于原点对称；

②的图象关于轴对称；

③在上单调递增；

④的值域为，．

其中所有正确结论的序号是　　

A．② B．①④ C．②④ D．①③④

二、填空题：每小题5分，共25分.

11．（5分）函数的定义域为 　　．

12．（5分）计算：　　．

13．（5分）设集合，，，若，则的值为 　　．

14．（5分）已知函数，那么的最小值是 　　．

15．（5分）甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程，2，关于时间的函数关系式分别为，，，有以下结论：

①当时，乙总走在最前面；

②当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；

③如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题：共6小题，共85分

16．（13分）已知指数函数且的图象经过点．

（Ⅰ）求指数函数的解析式；

（Ⅱ）求满足不等式的实数的取值范围．

17．（15分）设全集为，，或，．

（Ⅰ）若，求，．

（Ⅱ）已知____，求实数的取值范围．

从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答．

①；②；③．

18．（14分）给定函数，，，用表示，中的较大者，记为，．例如，当时，（2）（2），（2），．

（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数，并画出函数的图象；

（Ⅱ）根据图象写出函数的单调递减区间和值域．

19．（14分）已知函数．

（Ⅰ）判断函数在区间，上的单调性，并用定义证明；

（Ⅱ）当，时，求函数的最大值及对应的的值．（只需写出结论）

20．（14分）已知函数．

（Ⅰ）若关于的不等式的解集为，求的值；

（Ⅱ）求关于的不等式的解集．

21．（15分）物联网是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米）之间的关系为：，每月库存货物费（单位：万元）与之间的关系为：；若在距离车站11.5千米建仓库，则和分别为4万元和23万元．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．【分析】由元素与集合、集合与集合间的关系直接判断即可．

【解答】解：由题意得，

，，，，

故选项、、错误，选项正确，

故选：．

【点评】本题考查了元素与集合、集合与集合间的关系的正确表示，属于基础题．

2．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

3．【分析】结合函数的单调性，判断选项的正误即可．

【解答】解：是减函数，所以不正确；

，是减函数，所以不正确；

的单调增区间为：，，所以不正确；

由幂函数的性质可知：是增函数，所以正确．

故选：．

【点评】本题考查基本函数的单调性的判断，是基础题．

4．【分析】根据已知条件，结合特殊值法和函数单调性，即可求解．

【解答】解：对于，令，，满足，但，故错误，

对于，在上单调递减，

，

（a）（b），即，故正确，

对于，令，，满足，但，故错误，

对于，在上单调递增，

又，

（a）（b），即，故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法和利用函数单调性是解本题的关键，属于基础题．

5．【分析】分别求出每个选项的定义域，值域，即可得出答案．

【解答】解：对于：定义域为，，值域为，，故正确；

对于：定义域为，，不合题意，故不正确；

对于：值域为，，不合题意，故不正确；

对于：当时，有两个值与之对应，故不正确．

故选：．

【点评】本题考查函数的性质，属于基础题．

6．【分析】先判断若，则二次函数有零点，再判断若二次函数有零点，则或，从而确定选项．

【解答】解：若，则△，

故方程有解，

即二次函数有零点，

若二次函数有零点，

则方程有解，

则△，

解得，或，

故“”是“二次函数有零点”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，利用了方程与函数的关系，属于中档题．

7．【分析】由题意可得，进而利用指数函数的性质即可求解．

【解答】解：因为，

所以，

又在上单调递增，所以．

故选：．

【点评】本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．

8．【分析】根据题意，利用基本不等式依次分析选项，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，且，则，故错误；

对于，，故错误；

对于，由可得，即，两边同时除以，可得，故正确；

对于，，故错误．

故选：．

【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的条件，属于基础题．

9．【分析】根据题意，分析可得函数为偶函数，结合单调性的定义可得在上为减函数，进而利用偶函数的性质进行判断即可．

【解答】解：因为满足：①对，都有；②对，，当时，都有，

所以函数为偶函数且在上单调递减，

故可得函数在上单调递增，

所以当时，．

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合，属于中档题．

10．【分析】根据奇函数偶函数定义判断函数为偶函数，故①错误，②正确；通过换元，结合复合函数的单调性以及函数的奇偶性可判断③错误；将函数通过换元转化为的形式，求出值域，可判断④．

【解答】解：因为，

定义域为，

，

所以为偶函数，

所以的图象关于轴对称，故①错误，②正确；

令，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

而，在单调递增，

所以由复合函数单调性可知在单调递增，

又为偶函数，

所以在单调递减，故③错误；

因为，

由，有，

所以，

故，

即，，故④正确，

故选：．

【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域等相关知识，属于中档题．

二、填空题：每小题5分，共25分.

11．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．

【解答】解：由，得，解得．

函数的定义域为．

故答案为：．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

12．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．

【解答】解：原式．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．

13．【分析】结合，，，由，可分为两种情况或求解．

【解答】解：，，，

若，或，

解得或，

当时不满足集合元素互异性，舍去，

故答案为：．

【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．

14．【分析】分别求出及时，的范围，进而求得最值．

【解答】解：当时，，

当时，，

综上，函数的最小值为0．

故答案为：0．

【点评】本题考查分段函数最值的求解，考查指数函数及二次函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．

15．【分析】直接利用函数的图象和性质的应用求出结果．

【解答】解：根基函数的关系式，，，，

对于①当时，乙先走在最前面，最后甲走在最前面，故①错误；

对于②如图所示，当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面，故②正确；

对于③如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲，故③正确．

故答案为：②③．

【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式，函数的图像和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

三、解答题：共6小题，共85分

16．【分析】（Ⅰ）把点代入函数的解析式，求出的值，即可得到函数的解析式．

（Ⅱ）由题意得，所以，从而求出的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）因为且的图象经过点，

所以，

得，

所以．

（Ⅱ）由题可得，

即，

所以，

解得或，

所以，或．

【点评】本题主要考查了指数函数的性质，考查了解指数不等式，是基础题．

17．【分析】（Ⅰ）根据集合的基本运算即可求解．

（Ⅱ）根据题意，建立条件关系即可求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ），，

或，，

，

．

（Ⅱ）选①，

因为，

所以，解得，

实数的取值范围为．

选②，

当时，满足，

，解得，

当时，

因为，所以，解得，

综上：，

实数的取值范围为，．

选③，

当时，满足，

所以，解得，

当时，因为，

所以或，此时两不等式组均无解，

综上：，

实数的取值范围为，．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，分类讨论思想的应用，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）由题意可得分段函数的解析式，并作出图象．

（Ⅱ）由图象可得的单调递减区间和值域．

【解答】解：（Ⅰ）

（Ⅱ）单调递减区间为：，．

值域为：，．

【点评】本题考查函数性质，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）利用定义法直接证明即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）结合函数的奇偶性可知，在，上为减函数，由此可求得最大值及对应的值．

【解答】解：（Ⅰ）在区间，上是减函数，证明如下：

设，是区间，上的两个任意实数，且，

则．

因为，，，且，

所以，，，

所以．

所以在区间，上是减函数；

（Ⅱ）函数的定义域为，，，且，

为奇函数，

又由（Ⅰ）知，函数在，上为减函数，

由奇函数的性质可知，在，上也为减函数，

当时，函数的最大值为．

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，考查运用定义法判断函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．

20．【分析】（Ⅰ）利用一元二次不等式的解集与对应方程根之间的关系，分析求解即可；

（Ⅱ）利用一元二次不等式的解法，分，和三种情况，分别求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，方程的两根分别为，，

把代入得，

解得；

（Ⅱ）方程的两根分别为，．

当，即时，解得；

当，即时，不等式解集为；

当，即时，解得．

综上所述，当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，一元二次不等式的解集与对应方程根之间关系的理解与应用，含有参数的一元二次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出，，通过在距离车站11.5千米建仓库，则和分别为4万元和23万元．求解，即可．

（Ⅱ）设两项费用之和为（单位：万元），得到．利用基本不等式求解最小值即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，，

当时，，，

解得，．（6分）

（Ⅱ）设两项费用之和为（单位：万元），

则．

因为，所以，

所以，

当且仅当时等号成立，

解得．

所以这家公司应该把仓库建在距离车站多少4千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是18万元．（15分）

【点评】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．