2021北京清华附中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京清华附中高一（下）期中

数    学

一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）已知是虚数单位，　　

A． B． C． D．

2．（4分）在中，，，，则的面积为　　

A． B． C． D．3

3．（4分）如图所示，在中，为的中点，则　　

A． B． C． D．

4．（4分）已知函数，则　　

A． B． 

C． D．

5．（4分）已知，是平面向量，“是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（4分）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，记（2），（4），（4）（2），则，，数值排序正确的是　　

A． B． C． D．

7．（4分）已知平面向量，满足，，，，则　　

A．2 B． C．4 D．12

8．（4分）如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为　　

A． B． C． D．

9．（4分）在上可导的函数的图形如图所示，则关于的不等式的解集为　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

10．（4分）已知，，，，在同一平面内，，且，则的最大值为　　

A． B． C． D．4

二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）若复数是纯虚数，则实数　　．

12．（5分）已知，，．若，则实数的值为　　．

13．（5分）小明用，，，记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第天半小时内到家时，记，当第天不能半小时内到家时，记；用，，，记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第天半小时内到家时，记，当预测第天不能半小时内到家时，记；记录完毕后，小明计算出，其中，那么该交通软件预测准确的总天数是　　．

14．（5分）若函数在，上单调递增，则实数的取值范围是　　．

15．（5分）定义域为的函数，如果存在，使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为单峰函数．那么下列函数是单峰函数的有　　．

①；②；③；④．

三、解答题：（共6小题，共85分）

16．已知，，是同一平面内的三个向量，，．

（Ⅰ）若与的方向相反，求的坐标；

（Ⅱ）若，求与的夹角．

17．已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的的值．

18．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅲ）若函数的图象与直线仅有一个公共点，直接写出实数的取值范围．

19．如图，在四边形中，，，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求．

20．已知函数在处的极值为2，其中．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）对任意的，，证明恒有．

21．对任意给定的不小于3的正整数，元集合，，，，，，，均为正整数集的子集，若满足：

①，

②，

③，

则称，互为等矩集．

（Ⅰ）若集合，5，与，，互为等矩集，求，的值；

（Ⅱ）证明：如果集合，，，，，，，互为等矩集，那么对于任意的，集合，，，，，，，也互为等矩集；

（Ⅲ）对于任意给定的正整数，是否存在两个元正整数集，互为等矩集？请说明理由．

参考答案

一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）

1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．

2．【分析】由已知利用三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：因为，，，

所以的面积．

故选：．

【点评】本题主要考查了三角形的面积公式的应用，属于基础题．

3．【分析】由为的中点，可得，再利用三角形法则求解．

【解答】解：在中，为的中点，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理，是基础题．

4．【分析】根据基本初等函数的求导公式即可求解．

【解答】解：，则．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．

5．【分析】求出的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：若，则，

，，，或，

是的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的运算和性质是解决本题的关键．

6．【分析】结合图像判断直线的斜率的大小，判断，，的大小即可．

【解答】解：结合图像：（2）（4），

故（2）（4）（2）（4），

即，

故选：．

【点评】本题考查了直线的斜率问题，考查导数的应用，是基础题．

7．【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．

【解答】解：平面向量，满足，，，，

则．

故选：．

【点评】本题考查向量的数量积以及向量的模的运算法则的应用，是基础题．

8．【分析】中利用正弦定理求得的值，根据即可求出的值．

【解答】解：因为，，，

在中，由正弦定理得，

即，

解得；

由，

所以，

所以大坝的坡角的余弦值为．

故选：．

【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

9．【分析】讨论的符号，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

【解答】解：若时，不等式不成立．

若，则不等式等价为，此时函数单调递减，由图象可知，此时．

若，则不等式等价为，此时函数单调递增，由图象可知，此时．，

故不等式的解集为，，．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

10．【分析】由向量加减运算几何意义可解决此题．

【解答】解：，，又，．

，

当、与反向时，取得最大值，

故选：．

【点评】本题考查向量加减法运算几何意义、向量模、数形结合思想，考查数学运算能力，属于基础题．

二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）

11．【分析】利用复数为纯虚数的条件，可得关于的方程组，解方程可求结果，舍去不合题意的结果即可．

【解答】解：复数是纯虚数，

所以即

得

故答案为：2

【点评】本题主要考查了复数的基本概念，本题解题的关键是复数为纯虚数的条件，，属于基础题．

12．【分析】可求出，然后根据即可得出，然后解出的值即可．

【解答】解：，，且，

，解得．

故答案为：．

【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．

13．【分析】由题意可得，若，则表示第天预报正确，若，则表示第天预报不正确，假设其中有天预报正确，则有天预报不正确，把转化为关于的方程求解．

【解答】解：依题意，若，则表示第天预报正确，

若，则表示第天预报不正确，

由，

假设其中有天预报正确，则等式左边有个1，个，

则，解得．

该交通软件预测准确的总天数是26．

故答案为：26．

【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是基础题．

14．【分析】求出函数的导数，问题转化为，令，，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的取值范围即可．

【解答】解：，，，

，

在，单调递增，

在，恒成立，

即恒成立，即，

令，，，

则在，上恒成立，

在，上单调递增，

（1），故，

故答案为：，．

【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．

15．【分析】依题意，可知单峰函数只有一个极值点，且是极大值点，依次对①②③④四个选项逐一分析即可得答案．

【解答】解：根据题意，单峰函数的概念可知，若为单峰函数，则它只有一个极值点，且是极大值点，

对于①，其导数为，

在区间，，函数为增函数，在区间上，，函数为减函数，则为单峰函数；

②，其导数为，

令，

则，（2），

，，使得，又，

为上的奇函数，

又，

的极值点有3个，故不是单峰函数；

③，其导数为，令，可得，故不是单峰函数；

④，其导数为，

当时，，当时，，

在，上单调递增，在，上单调递减，故为单峰函数；

故答案为：①④．

【点评】本题考查利用函数的导数研究函数的单调性，理解“单峰函数”的概念是解决问题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．

三、解答题：（共6小题，共85分）

16．【分析】（Ⅰ）根据题意，，由向量模的计算公式可求得的值，从而可得的坐标；

（Ⅱ）根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，由数量积运算可求得的值，结合的范围，即可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，，若与的方向相反

则，，即，

又，则，解可得，

则．

（Ⅱ）由，可得，

若，则，

解得，

又由，则．

【点评】本题考查向量数量积的性质以及计算，涉及向量垂直与数量积的关系以及向量的坐标计算，属于基础题．

17．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；

（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步确定函数的最大和最小值．

【解答】解：（Ⅰ）函数．

故函数的最小正周期为．

（Ⅱ）由于，

所以，

故．

故

即当时，函数的最小值为，

当时，函数的最大值为．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

18．【分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求曲线的切线斜率，进而可求切线方程；

结合导数与单调性及极值关系可求；

结合的单调性讨论即可直接求解．

【解答】解：，

所以（1），（1），

故曲线在点，（1）处的切线方程，即；

，

易得当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

故函数的单调递增区间，，，单调递减区间，

当时函数取得极大值，当时，函数取得极小值；

由知，或时，与只有一个交点．

故的范围或．

【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调区间及极值，考查了函数交点的应用，属于中档题．

19．【分析】由已知结合正弦定理即可直接求解；

结合同角平方关系及两角差余弦公式可求，然后结合余弦定理求出，进而可求．

【解答】解：，，，，，

由正弦定理得，

即，

所以；

由题意得为锐角，结合得，

因为，

所以，

，

由余弦定理得，，

解得，

由余弦定理得，

所以．

【点评】本题主要考查了同角平方关系，和差角公式，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．

20．【分析】先对函数求导，然后结合极值存在条件可求；

由于，要证原不等式成立，转化为求解，在时的最值，结合导数分析函数性质可求．

【解答】解：，

由题意得，，

解得，；

证明：，

令，，

则，恒成立，

所以在，上单调递减且（1），

所以时，（1），

所以．

【点评】本题主要考查了导数与极值关系及利用导数，函数性质证明不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）由等矩集定义，列出关于和的方程组，求解即可；

（Ⅱ）利用等矩集的定义，只需证明和满足等矩集的三条定义即可；

（Ⅲ）通过构造3元，4元，5元的等矩集组，证明，，元等矩集组的存在，结合等矩集的定义进行分析求解即可．

【解答】（Ⅰ）解：由等矩集定义，则，

①②，可得③，

由①③可知，，为方程的两个根，

解得或；

（Ⅱ）证明：只需证明和满足等矩集的三条定义即可，

，

故满足定义①；

，

故满足定义②；

假设，则存在，，，可得，与矛盾，

所以，

故满足定义③．

综上所述，和也互为等矩集；

（Ⅲ）解：①对于元等矩集组和和元等矩集组和，

可以发现只需要，，，两两交集为空集，

则和互为等矩集组，

此结论可以推广到的形式；

②可以发现，若，，，和，，，互为等矩集，

则有，，，和，，，，互为等矩集，

因此我们可以构造3元，4元，5元的等矩集组，从而能够证明，，元等矩集组的存在，

即对任意，，存在元正整数集和互为等矩集，

3元等矩集：，5，和，3，，

4元等矩集：，4，6，和，3，5，，

对于5元等矩集，可以利用两组4元等矩集的并集，其中去除一个3元等矩集进行构造，

两组4元等矩集：，4，6，和，3，5，，，8，12，和，6，10，，

并集为，2，4，6，7，8，12，和，3，4，5，6，8，10，，

其中存在3元等矩集：，6，和，4，，

删除后得到5元等矩集：，4，8，12，和，5，6，10，，

根据上述构造方法可以总结元等矩集的构造：

①若，则可以由个3元等矩集组并得；

②若，则可以由个3元等矩集组合一个4元等矩集组并得；

③若，则可以由个3元等矩集组合一个5元等矩集组并得．

因此，对于任意给定的正整数，必存在两个元正整数集，互为等矩集．

【点评】本题考查了数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．