高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了cs的值为，化简，求证等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．cs(－15°)的值为( )
A． eq \f(\r(2)－\r(6),4)B． eq \f(\r(6)－\r(2),4)
C． eq \f(\r(2)＋\r(6),4)D．－ eq \f(\r(2)＋\r(6),4)
【答案】C
【解析】cs (－15°)＝cs 15°＝ eq \r(\f(1＋cs 30°,2))＝ eq \r(\f(1＋\f(\r(3),2),2))＝ eq \r(\f(2＋\r(3),4))＝ eq \r(\f(2＋6＋4\r(3),16))＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4).故选C.
2．已知sin 2α＝ eq \f(1,3)，则cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－ eq \f(1,3)B．－ eq \f(2,3)
C． eq \f(1,3)D． eq \f(2,3)
【答案】D
【解析】cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝ eq \f(1＋sin 2α,2)＝ eq \f(2,3).
3．(2023年聊城期末)已知α为第一象限角，tan α＝ eq \f(3,4)，则tan eq \f(α,2)＝( )
A．－3B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,3)或－3D．－ eq \f(1,3)或3
【答案】B
【解析】由α为第一象限角，tan α＝ eq \f(3,4)，则 eq \f(α,2)为第一或第三象限角，则tan eq \f(α,2)＞0.根据tan α＝ eq \f(3,4)＝ eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))，解得tan eq \f(α,2)＝ eq \f(1,3)或tan eq \f(α,2)＝－3(舍去).故选B.
4．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs α＝ eq \f(4,5)，则tan eq \f(α,2)＝( )
A．3B．－3
C． eq \f(1,3)D．－ eq \f(1,3)
【答案】D
【解析】因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，且cs α＝ eq \f(4,5)，所以 eq \f(α,2)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，tan eq \f(α,2)＝－ eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝－ eq \r(\f(1－\f(4,5),1＋\f(4,5)))＝－ eq \f(1,3).
5．若sin (π－α)＝－ eq \f(\r(5),3)且α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(α,2)))等于( )
A．－ eq \f(\r(6),3)B．－ eq \f(\r(6),6)
C． eq \f(\r(6),6)D． eq \f(\r(6),3)
【答案】B
【解析】由题意知sin α＝－ eq \f(\r(5),3)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以cs α＝－ eq \f(2,3).因为 eq \f(α,2)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(α,2)))＝cs eq \f(α,2)＝－ eq \r(\f(1＋cs α,2))＝－ eq \f(\r(6),6).故选B.
6．(多选)下列选项中，值为 eq \f(1,4)的是( )
A．cs 72°cs 36°B．sin eq \f(π,12)sin eq \f(5π,12)
C． eq \f(1,sin 50°)＋ eq \f(\r(3),cs 50°)D． eq \f(1,3)－ eq \f(2,3)cs215°
【答案】AB
【解析】对于A，cs36°cs 72°＝ eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝ eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝ eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝ eq \f(1,4)，故A正确；对于B，sin eq \f(π,12)sin eq \f(5π,12)＝sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)＝ eq \f(1,2)·2sin eq \f(π,12)·cs eq \f(π,12)＝ eq \f(1,2)sin eq \f(π,6)＝ eq \f(1,4)，故B正确；对于C，原式＝ eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)＝ eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 50°＋\f(1,2)cs 50°)),\f(1,2)sin 100°)＝ eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝ eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4，故C错误；对于D， eq \f(1,3)－ eq \f(2,3)cs215°＝－ eq \f(1,3)(2cs215°－1)＝－ eq \f(1,3)cs30°＝－ eq \f(\r(3),6)，故D错误．故选AB.
7．函数f(x)＝cs2x－2cs2 eq \f(x,2)(x∈[0，π])的最小值为( )
A．1B．－1
C． eq \f(5,4)D．－ eq \f(5,4)
【答案】D
【解析】由题意，得f(x)＝cs2x－2cs2 eq \f(x,2)＝cs2x－(1＋csx)＝cs2x－csx－1，设t＝cs x(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(5,4)，所以当t＝ eq \f(1,2)，即x＝ eq \f(π,3)时，y取得最小值－ eq \f(5,4).所以函数f(x)的最小值为－ eq \f(5,4).故选D.
8．化简： eq \f(sin235°－\f(1,2),cs10°cs 80°)＝________．
【答案】－1
【解析】原式＝ eq \f(\f(1－cs 70°,2)－\f(1,2),cs 10°sin 10°)＝ eq \f(－\f(1,2)cs 70°,\f(1,2)sin 20 °)＝－1.
9．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝ eq \f(2,3)，则cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(α,2)))＝________．
【答案】 eq \f(5,6)
【解析】因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝ eq \f(2,3)，所以cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(α,2)))＝ eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)),2)＝ eq \f(1＋\f(2,3),2)＝ eq \f(5,6).
10．求证： eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan \f(α,2))＝ eq \f(1,4)sin 2α.
证明：左边＝ eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin \f(α,2))－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))＝ eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs \f(α,2)))＝ eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝ eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs \f(α,2),cs α)＝sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)cs α＝ eq \f(1,2)sin αcs α＝ eq \f(1,4)sin 2α＝右边．
∴原式成立．
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝ eq \f(1,2)(1＋cs 2x)·sin2x(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为 eq \f(π,2)的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为 eq \f(π,2)的偶函数
【答案】D
【解析】因为f(x)＝ eq \f(1,4)(1＋cs2x)·(1－cs 2x)＝ eq \f(1,4)(1－cs22x)＝ eq \f(1,4)sin22x＝ eq \f(1,8)(1－cs4x)，又因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为 eq \f(π,2)的偶函数．故选D.
12．(多选)(2023年广州模拟)若sin θ＝ eq \f(3,5)， eq \f(5π,2)＜θ＜3π，则( )
A．cs θ＝－ eq \f(4,5)B．sin eq \f(θ,2)＝－ eq \f(3\r(10),10)
C．cs eq \f(θ,2)＝－ eq \f(\r(10),10)D．tan eq \f(θ,2)＝ eq \f(1,3)
【答案】ABC
【解析】因为 eq \f(5π,2)＜θ＜3π，所以cs θ＝－ eq \r(1－sin2θ)＝－ eq \f(4,5)，A正确；因为 eq \f(5π,4)＜ eq \f(θ,2)＜ eq \f(3π,2)，所以sin eq \f(θ,2)＜0，cs eq \f(θ,2)＜0，所以sin eq \f(θ,2)＝－ eq \r(\f(1－cs θ,2))＝－ eq \f(3\r(10),10)，cs eq \f(θ,2)＝－ eq \r(\f(1＋cs θ,2))＝－ eq \f(\r(10),10)，B，C正确；tan eq \f(θ,2)＝ eq \f(sin \f(θ,2),cs \f(θ,2))＝3，D错误．
13．若3sin x－ eq \r(3)cs x＝2 eq \r(3)sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
【答案】－ eq \f(π,6)
【解析】因为3sin x－ eq \r(3)cs x＝2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cs x))＝2 eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－ eq \f(π,6).
14．已知函数f(x)＝cs x·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－ eq \r(3)cs2x＋ eq \f(\r(3),4)，x∈R，则f(x)的最小正周期为________，f(x)在闭区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最小值为________．
【答案】π － eq \f(1,2)
【解析】f(x)＝csx· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))－ eq \r(3)cs2x＋ eq \f(\r(3),4)＝ eq \f(1,2)sinx·cs x－ eq \f(\r(3),2)cs2x＋ eq \f(\r(3),4)＝ eq \f(1,4)sin2x－ eq \f(\r(3),4)(1＋cs 2x)＋ eq \f(\r(3),4)＝ eq \f(1,4)sin 2x－ eq \f(\r(3),4)cs 2x＝ eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，所以f(x)的最小正周期T＝ eq \f(2π,2)＝π.因为f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上单调递减，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递增，所以函数f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝－ eq \f(1,2).
15．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取 eq \r(2)≈1.414)
解：(1)由题意，可知点M为 eq \(PQ,\s\up8(︵))的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2R sin θ，OF＝R cs θ，
所以AB＝OF－ eq \f(1,2)AD＝R cs θ－R sin θ，
所以S＝AB·BC＝2R sin θ(R cs θ－R sin θ)＝R2·(2sin θcs θ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cs 2θ)＝ eq \r(2)R2·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))－R2，θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
(2)因为θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以2θ＋ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以当2θ＋ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,2)，即θ＝ eq \f(π,8)时，S有最大值．
Smax＝( eq \r(2)－1)R2＝( eq \r(2)－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝ eq \f(π,8)时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.