2020-2021学年湖南省长沙市湘一芙蓉中学、一中双语实验学校八年级（下）期末数学试卷含解析

2020-2021学年湖南省长沙市湘一芙蓉中学、一中双语实验学校八年级（下）期末数学试卷

1. 下列“表情图”中，属于轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每年误差秒．数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 下列各式中属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

5. 若点在正比例函数的图象上，则的值是

A.  B.  C.  D.

6. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 下列判断错误的是

A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D. 四条边都相等的四边形是菱形

9. 我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：；；当时，；其中正确结论的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 直线向上平移个单位后，得到的直线的解析式是______ ．
12. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为          ．
13. 数据，，，，，，的中位数是______ ．
14. 在新年晚会的投飞镖游戏环节中，名同学的投掷成绩单位：环分别是：，，，，，则这组数据的方差是______ ．
15. 在直角三角形中，若两条直角边长分别为和，则斜边上的中线为______ ．
16. 如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，下列结论：≌；；；；其中正确结论序号有：______ ．
     

17. 计算：
18. 先化简，再求值，，其中．
19. 一次函数的图象如图所示：
    求出该一次函数的表达式；
    当时，的值是多少？

20. 如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的点，．
    求证：≌；
    求证：．

21. 某校倡议八年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：

统计表中的______，______，______；
被抽样调查的同学劳动时间的众数是______，中位数是______；
请将条形图补充完整；
求所有被调查同学的平均劳动时间．

22. 如图，中，，是边上的高，点是中点，延长到，使，连接，．
    求证：四边形是矩形；
    若，求的长．
    
     

23. 将吨物资从地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为吨辆和吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

这两种货车各需多少辆？
如果安排辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为辆，请写出运费元与的函数关系式若运往甲地的物资不少于吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费．

24. 对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“完美点”例如：，因为，所以是“完美点”．
    点 ______ “完美点”；点 ______ “完美点”填“是”或“不是”；
    已知一次函数为常数图象上有一个“完美点”的坐标是，一次函数为常数图象上是否存在其他“完美点”？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
    点和点为一次函数为常数且图象上的两个“完美点”，点在轴上运动，当最小时，求点的坐标用含字母的式子表示．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交、轴于点、，直线分别交、轴于点、，点的坐标为，，且．
    求直线和的解析式；
    将点沿某条直线折叠到点，折痕分别交、于点、，在轴上是否存在点，使得点、、为顶点的三角形是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
    在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与、两点构成的四边形是正方形？若存在，请求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不是轴对称图形，故本选项错误；
B.不是轴对称图形，故本选项错误；
C.不是轴对称图形，故本选项错误；
D.是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
根据轴对称的定义，结合各选项所给图形进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：．
本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

4.【答案】

【解析】解：、，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：被开方数中的因式是整式，因数是整数，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
 

5.【答案】

【解析】解：点在正比例函数的图象上，
．
故选：．
直接把点代入正比例函数，求出的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
先根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算，再逐个判断即可．
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的乘法等知识点，能根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法求出每个式子的值是解此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：原不等式组可化简为：．
在数轴上表示为：

故选：．
先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可．
此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

8.【答案】

【解析】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
选项A不符合题意；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，
选项B不符合题意；
C、两组对边分别平行且对角线相等的四边形是矩形，
选项C符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形，
选项D不符合题意；
故选：．
由矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟记矩形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房 间，房客 人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房 间，房客 人；
根据题意得： ，
故选： ．   

10.【答案】

【解析】解：根据图象经过第一、二、四象限，
，，
故正确，错误；
与轴负半轴相交，
，
故错误；
当时，图象在的上方，所以，故正确．
所以正确的有共个．
故选：．
根据一次函数的性质对进行判断；当时，根据两函数图象的位置对进行判断．
此题主要考查了一次函数，以及一次函数与不等式，根据函数图象的走势和与轴的交点来判断各个函数，的值．
 

11.【答案】

【解析】解：直线向上平移个单位后，得到的直线的解析式是，即．
故答案为．
直接根据上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记直线解析式平移的规律：“上加下减，左加右减”是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得 ，再解即可．
【解答】
解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．   

13.【答案】

【解析】解：把数据按从小到大排列：，，，，，，，共有个数，最中间一个数为，所以这组数据的中位数为．
故答案为：．
先把数据按从小到大排列：，，，，，，，共有个数，最中间一个数为，根据中位数的定义求解．
本题考查了中位数的定义：把数据按从小到大排列，最中间那个数或最中间两个数的平均数叫这组数据的中位数．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意，平均数，
方差；
故答案为：．
根据题意，先求出数据的平均数，由方差的计算公式计算可得答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

15.【答案】

【解析】解：根据勾股定理得，斜边，
斜边上的中线斜边．
故答案为：．
利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理，熟记性质是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：正方形，
，，
由折叠的性质可得，，，
，，
≌，
故正确；
，，
，
故正确；
由题意得，，
设，则，
在中，，
，
，，
，
故正确；
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
故正确；
，
，，和等高，
：：，
，
故正确；
故答案为．
由正方形的性质和翻折的性质可证明≌；由，，则；由题意得，，设，则，在中，，求出，则可得到；由，，可得，则，因为，可推到出，则；由，又因为和等高，所以：：，．
本题考查翻折变换的性质、正方形的性质，本题综合性很强，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：


．

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】解：

，
当时，原式．

【解析】先把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的乘法、除法法则和求值，能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】解：观察函数图象，可知：点，在函数的图象上，
，解得：，
该一次函数的表达式为．
当时，．

【解析】观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
代入求出与之对应的值．
本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；

≌，
，
，
即：．

【解析】根据平行四边形的性质得到，，从而得到，在根据得到，进一步得到，然后利用证得全等三角形即可；
根据≌得到，利用证得结论即可．
考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定方法，解题的关键是了解平行四边形的对边及对角的性质，难度不大．
 

21.【答案】；；；；

；
所有被调查同学的平均劳动时间是：小时．

【解析】

解： 调查的总人数是 人 ，
则 人 ，
；
被调查同学劳动时间的众数为 小时；中位数是 小时；
见答案
见答案
【分析】
首先根据劳动时间是 小时的有 人，频率是 即可求得总数，然后根据频率的计算公式求得 、 的值；
根据中位数的定义，即大小处于中间位置的数即可作出判断；
根据 的结果即可完成；
利用加权平均数公式即可求解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．   

22.【答案】证明：点是中点，
，
又，
四边形为平行四边形，
是边上的高，
，
，
四边形为矩形；
解：四边形为矩形，
，
点是中点，
，，
又，
．

【解析】根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据矩形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
 

23.【答案】解：设需要大货车辆，需要小货车辆，根据题意得：

解得，
答：需要大货车辆，需要小货车辆；
根据题意得：
，
．
，
，
，
随的增大而增大，
时，最小，最小值，
运往甲地的大货车辆，小货车辆，运往乙地的大货车辆，小货车辆．最少运费为元．

【解析】设需要大货车辆，需要小货车辆，根据“将吨物资从地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共辆，恰好一次性运完这批物资”建立方程组即可；
设前往甲地的大货车为辆可知，甲地的小货车为辆，乙地的大货车为辆，小货车辆，求出与的关系式，由“运往甲地的物资不少于吨”列出不等式求出解集，根据一次函数的性质即可求出最少费用．
本题主要考查二元一次方程的实际运用以及一元一次不等式的运用，解题的关键是求出运费与的函数解析式．
 

24.【答案】解：，
点是“完美点”；
，
点不是“完美点”；
故答案为：是；不是；
将点坐标代入得，；
，
，
又，
或，
当时，
联立得：，
解得代入得，
所以为其本身，
当时，
联立得：，
解得代入得，
所以为另一个点坐标，
综上所述，存在其他“完美点”为；
由题意得“完美点”在函数或图象上，
当在函数上时，，
解得，
代入得，
为，
当在函数上时，，
解得，
代入得，
为，
，
、都在第一象限．
点关于轴的对称点为，
设直线的解析式为，
代入点、得，
解得：，
直线的解析式为，
令，
解得：，
点为．

【解析】根据“完美点”的定义即可得到结论；
将点坐标代入得到，得到或，当时，当时，解方程组即可得到结论；
由题意得“完美点”在函数或图象上，当在函数上时，当在函数上时，解方程即可得到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解新定义，属于创新题目．
 

25.【答案】解：点的坐标为

，
，，，
又



，
点，点
设直线解析式

解得：，
直线解析式
设直线解析式

解得：，
直线解析式


折叠，点与点重合
是的垂直平分线
，
，

，



同理

点，点，点
点，点
设点
是直角三角形，是斜边
．

解得：，
点或
若为边，在上方和下方作正方形，如图：四边形是正方形，四边形是正方形

过点作于点，过点作于点
四边形是正方形
，
，且
且，
≌
，

点
同理可得≌
，

点
同理可得：点，点
若为对角线，如图：四边形是正方形

过点作于点，作于点
，，
四边形是矩形
，
四边形是正方形
，

点，点，点，点四点共圆
，且，
≌
，
边形是正方形

，
，
点
同理可求点坐标为

【解析】根据题意可求点，点的坐标，用待定系数法可求解析式；
由题意可证是三角形的中位线，可求点，点的坐标，根据勾股定理可列方程，即可求点的坐标；
分为边，为对角线讨论，根据正方形的性质，可求点的坐标．
本题考查了一次函数综合题，待定系数法求解析式，勾股定理，正方形性质，全等三角形的判定和性质，利用分类思想解决问题是本题的关键．