2021北京延庆高一（下）期末数学（教师版）

2021北京延庆高一（下）期末

数    学

2021.7

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 是虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，那么的面积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 在空间，给出下面四个命题：

① 三个不同点确定一个平面；

② 一条直线和一个点确定一个平面；

③ 空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④ 两条相交直线确定一个平面.

其中正确命题的序号是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

4. 在中，，那么等于（    ）

A  B.  C.  D.

5. 在中，，，，那么等于（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 复数在复平面内所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，正方体的棱长为，那么三棱锥的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知两个平面，，两条直线，，给出下面的四个命题：

① ；           ② ；

③ ；           ④ .

其中，所有正确命题的序号是（    ）

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④

10. 在中，给出如下命题：

① 若，则是锐角三角形

② 若，则是等腰三角形

③ 若，则是等腰直角三角形

④ 若，则是等腰或直角三角形

其中，所有正确命题的序号是 （    ）

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④

第二部分（非选择题，共100分）

二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.

11. 实部等于_________；虚部等于__________.

12. 在空间中，两条平行直线是指___________________，并且没有公共点的两条直线.

13. 已知，是虚数单位，，则_______；______.

14. 在复平面上所对应点的坐标为_____________.

15. 中，，则其最大内角等于___________.

16. 正方体中，是的中点，是线段上的一点. 给出下列命题：

① 平面中一定存在直线与平面垂直；

② 平面中一定存在直线与平面平行；

③ 平面与平面所成的锐二面角不小于；

④ 当点从点移动到点E时，点到平面的距离逐渐减小.其中，所有真命题的序号是___________________.

二、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 分别求实数x的值，使得复数

（1）是实数；     

（2）是虚数；    

（3）是纯虚数.

18. 如图，四边形是矩形，平面，，是上的一点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：．

19. 在中，，，，钝角.

（Ⅰ）求；              

（Ⅱ）求.

20. 在中，三内角所对的边分别为，，.

（Ⅰ）若，求边上的高；

（Ⅱ）若，求的面积；

（Ⅲ）求周长的最大值.

21. 三棱柱中，侧面底面，，，，，是棱上的一点，过的平面与相交于.

（1）求证：；

（2）若是的中点，求证：平面平面；

（3）求证：与平面不垂直.

参考答案

一、选择题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 是虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数运算确定正确选项.

【详解】依题意.

故选：A

2. 在中，，那么的面积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由三角形面积公式即可得到答案.

【详解】由三角形的面积公式可知，三角形的面积.

故选：C.

3. 在空间，给出下面四个命题：

① 三个不同的点确定一个平面；

② 一条直线和一个点确定一个平面；

③ 空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④ 两条相交直线确定一个平面.

其中正确命题的序号是（    ）

A ① B. ② C. ③ D. ④

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面的知识确定正确命题的序号.

【详解】①，不在同一条直线上的三个点确定一个平面，故①错误.

②，直线和直线外一点确定一个平面，故②错误.

③，空间两两相交的三条直线不一定确定一个平面，可以多个，故③错误.

④，两条相交直线确定一个平面，故④正确.

故选：D

4. 中，，那么等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理求得.

【详解】由正弦定理得.

故选：C

5. 在中，，，，那么等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】用余弦定理直接解出即可.

【详解】由余弦定理：.

故选：B.

6. 复数在复平面内所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数对应点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】，其对应的点在第二象限，

所以.

故选：B

7. 如图，正方体的棱长为，那么三棱锥的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据锥体体积公式计算出几何体的体积.

【详解】.

故选：D

8. 复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的四则运算、模的坐标运算及复数的几何意义即可判断.

【详解】因为，所以，故A错误；

，，故B错误；

，，故C错误；

由复数的几何意义可知：，则，故D正确.

故选：D.

9. 已知两个平面，，两条直线，，给出下面的四个命题：

① ；           ② ；

③ ；           ④ .

其中，所有正确命题的序号是（    ）

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】通过线面平行的判断定理可判断①；

根据线面垂直的性质定理可判断②；

通过直观想象可判断③；

由可得：，进而可以判断④.

【详解】由线面平行的判定定理可知，有可能，①错误；

由线面垂直的性质定理可知，②正确；

a,b可以平行或异面；③错误.

由可得：，又因为，所以，④正确.

故选：D.

10. 在中，给出如下命题：

① 若，则是锐角三角形

② 若，则是等腰三角形

③ 若，则是等腰直角三角形

④ 若，则是等腰或直角三角形

其中，所有正确命题的序号是 （    ）

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④

【10题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】结合正弦定理、余弦定理对选项逐一分析，由此确定正确命题的序号.

【详解】①，由正弦定理得为锐角，但无法判断角的大小，所以①错误.

②，，则是等腰三角形，所以②正确.

③，假设，则，但三角形不是直角三角形，所以③错误.

④，，，

，

，

，

，

，

，

，

所以或，

所以三角形是等腰或直角三角形. ④正确.

故选：C

第二部分（非选择题，共100分）

二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.

11. 的实部等于_________；虚部等于__________.

【11题答案】

【答案】    ①.     ②. .

【解析】

【分析】根据复数实部、虚部的知识确定正确结论.

【详解】的实部为，虚部为.

故答案为：；

12. 在空间中，两条平行直线是指___________________，并且没有公共点的两条直线.

【12题答案】

【答案】在同一平面内.

【解析】

【分析】根据平行直线的定义即可得解.

【详解】根于定义：在空间中，两条平行直线是指在同一平面内，并且没有公共点的两条直线.

故答案为：在同一平面内.

13. 已知，是虚数单位，，则_______；______.

【13题答案】

【答案】    ①.     ②. .

【解析】

【分析】利用复数相等的知识列方程组，解方程组求得的值.

【详解】依题意，

所以.

故答案为：；

14. 在复平面上所对应的点的坐标为_____________.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】利用复数除法运算化简，进而求得对应点的坐标.

【详解】，对应点为.

故答案为：

15. 中，，则其最大内角等于___________.

【15题答案】

【答案】.

【解析】

【分析】先判断最大，计算，由此求得最大内角.

【详解】由于最大，故最大，，

由于，所以.

故答案为：

16. 正方体中，是的中点，是线段上的一点. 给出下列命题：

① 平面中一定存在直线与平面垂直；

② 平面中一定存在直线与平面平行；

③ 平面与平面所成的锐二面角不小于；

④ 当点从点移动到点E时，点到平面的距离逐渐减小.其中，所有真命题的序号是___________________.

【16题答案】

【答案】② ③ ④.

【解析】

【分析】对于①：利用反证法进行证明；

对于②：过M作MN垂直A1D1于N，在AC上取一点Q，过Q作PQ⊥AD于P，且PQ=MN.

可以证明面MAC.即可判断；

对于③：当M与A1重合时，∠DAC即为二面角的平面角，此时∠DAC=45°.

当M与A1向E移动时，平面与平面所成的锐二面角在增大，所以平面与平面所成的锐二面角不小于；即可判断；

对于④：当M与A1重合时，D到面MAC的距离最大，当当M与A1向E移动时，点到平面的距离逐渐减小.即可判断

【详解】对于①：假设平面中存在直线l⊥面，

则由面面垂直的判定定理可得：面⊥面.

而在正方体中，面⊥面.

因为是的中点，是线段上的一点，

所以面与面不重合，

所以过AC有两个平面和均与面垂直，

这与过平面内一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直相矛盾，

故假设不正确，所以①错误；

对于②：过M作MN垂直A1D1于N，在AC上取一点Q，过Q作PQ⊥AD于P，且PQ=MN.

则有，所以四边形MNPQ为平行四边形，所以，

又面MAC, 面MAC,

所以面MAC.

故②正确.

对于③：当M与A1重合时，∠DAC即为二面角的平面角，此时∠DAC=45°.

当M与A1向E移动时，平面与平面所成的锐二面角在增大，所以平面与平面所成的锐二面角不小于；故③正确.

对于④：当M与A1重合时，D到面MAC的距离最大，当当M与A1向E移动时，点到平面的距离逐渐减小.故④正确.

故答案为：②③④

【点睛】立体几何解答题的基本结构：

(1) 立体几何证明题一般是几何关系的证明，用判定定理；

(2) 立体几何计算题一般是求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．

二、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 分别求实数x的值，使得复数

（1）是实数；     

（2）是虚数；    

（3）是纯虚数.

【17题答案】

【答案】（1）或；（2）且；（3）.

【解析】

【分析】（1）虚部为0，进而解得答案；

（2）虚部不为0，进而解得答案；

（3）实部 为0且虚部不为0，进而解得答案.

【详解】（1）当时，即或时，是实数；

（2）当时，即且时，是虚数；

（3）当且时，即时，纯虚数.

18. 如图，四边形是矩形，平面，，是上的一点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：．

【18题答案】

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

【分析】（Ⅰ）由已知可得，即可得证；

（Ⅱ）首先可得平面，从而得到，再由，即可得到平面，从而得证；

【详解】（Ⅰ）是矩形，

平面， 平面，                          

平面，                          

（Ⅱ）证明：因为平面，

所以平面，因为平面

所以

因为

所以

因为，平面

所以平面

因为平面

所以

19. 在中，，，，是钝角.

（Ⅰ）求；              

（Ⅱ）求.

【19题答案】

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得.

（Ⅱ）先求得，然后利用正弦定理求得.

【详解】（Ⅰ） ， ，

 ，  

 ，

，

，                           

是钝角，

.   

（Ⅱ）

， 

， 

.

20. 在中，三内角所对的边分别为，，.

（Ⅰ）若，求边上的高；

（Ⅱ）若，求的面积；

（Ⅲ）求周长最大值.

【20题答案】

【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）先求得三角形的面积，然后利用等面积法求得边上的高.

（Ⅱ）结合余弦定理求得，由此求得三角形的面积.

（Ⅲ）结合余弦定理以及基本不等式求得的最大值，由此求得三角形周长的最大值.

【详解】（Ⅰ），

设边上的高为，

，

.

（Ⅱ），

，

，

，

，

，

，

.

（Ⅲ），，

，

，

，

，

，，

，当且仅当时，等号成立.

，

，

，

当且仅当时，，

此时周长的最大值等于.

21. 三棱柱中，侧面底面，，，，，是棱上的一点，过的平面与相交于.

（1）求证：；

（2）若是的中点，求证：平面平面；

（3）求证：与平面不垂直.

【21题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可证明；

（2）先通过线面垂直的性质定理证明底面，得到，再证，进而通过线面垂直的判定定理得出结论

（3）用反证法即可证明.

【详解】（1）是三棱柱， 平面平面，           

平面平面，平面平面，

（2）如图，

连接，

，，是等边三角形，

，是的中点，， 

又因为侧面底面且交于AC，底面，，                             

在中，，

，，，，，，平面，又∵平面，

平面平面.

（3）假设平面，                      

则，，

是等边三角形，是的中点，

，与矛盾，则假设不成立，

所以与平面不垂直.