2021北京五十七中高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京五十七中高一（上）期中数学（教师版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京五十七中高一（上）期中数    学一、单选题（共40分）1．（3分）设集合，2，，，，，则　　A． B．，2， C．，2，4， D．2．（3分）下列每组函数是同一函数的是　　A．， B． C． D．3．（3分）若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有　　A．①② B．③④ C．①④ D．①③④4．（3分）给出下列四个命题：①设集合，则；②空集是任何集合的子集；③集合，表示同一集合；④集合，，集合，，则．其中不正确的命题是　　A．①② B．②④ C．①③ D．③④5．（3分）一高为，满缸水量为的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图象可能是图中四个选项中的　　A． B． C． D．6．（3分）命题“，，”为假命题，则的取值范围为　　A． B． C．， D．，7．（3分）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．8．（3分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的　　A．，在上为增函数 B．的最大值为2 C．方程有四个不相等的实数根 D．当时，9．（3分）已知为实数，，，，集合中有一个元素恰为另一个元素的2倍，则实数的个数为　　)A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．其中“有界函数”是　　A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）二、填空题（共40分）11．（3分）的定义域为 　　．12．（3分）已知，求的最小值 　　，此时　　．13．（3分）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　 　．14．（3分）函数的单调减区间是 　　，　　．15．（3分）若函数满足，则（5）　　，　　．16．（3分）已知命题，，则是的 　　（充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分又不必要条件，充要条件）．17．（3分）若定义在上的二次函数在区间，上是增函数，且，则实数的取值范围是　　．18．（3分）在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．请问：若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标的取值范围是，则实数的取值范围是 　　．三、解答题（共70分）19．（12分）已知全集，集合，．（1）求；；（2）已知集合，若，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数，其中为常数．（1）若，判断函数的奇偶性并用定义法证明奇偶性；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（3）若，都有，求实数的取值范围．21．（10分）（1）已知，，证明：；（2）用反证法证明：三个数中，，，至少有一个大于或等于．22．（10分）已知函数．（1）判断函数在区间，上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）求出函数在区间，上的最大值和最小值；（3）画出函数图象并求出其值域．23．（10分）已知是定义在，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．（Ⅰ）证明在，上是增函数；（Ⅱ）解不等式（Ⅲ）若对，，，恒成立，求实数的取值范围．24．（12分）已知有限集，，定义集合，且，表示集合中的元素个数．（Ⅰ）若，2，3，，，4，，求集合和，以及的值；（Ⅱ）给定正整数，集合，2，，．对于实数集的非空有限子集，，定义集合，，．①求证：；②求的最小值．
参考答案一、单选题（共40分）1．【分析】由并集概念求得，再由交集概念得答案．【解答】解：，2，，，，，2，4，，又，，2，．故选：．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于，，与的定义域不同，不是同一函数；对于，，与的定义域不同，不是同一函数；对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于，或，与的定义域不同，不是同一函数．故选：．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．3．【分析】由得，从而依次判断即可．【解答】解：，，故③错误，④正确，，故①正确，，故②错误，故选：．【点评】本题考查了不等式的化简运算，是基础题．4．【分析】直接利用集合间的关系，函数的定义域和值域，判断①②③④的结论．【解答】解：对于①设集合，则，故①错误；对于 ②空集是任何集合的子集，故②正确；对于③集合表示函数的定义域或，表示函数的值域，故不表示同一集合，故③错误；对于④集合，，集合，，则，故④正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：集合间的关系，函数的定义域和值域，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．【分析】水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．【解答】解：由图得水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数． 据四个选项提供的信息，当，，我们可将水“流出”设想成“流入”，这样每当增加一个单位增量△时，根据鱼缸形状可知，函数的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，故关于的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故选：．【点评】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维，属于中档题．6．【分析】命题“，，”为假命题，则它的否定命题是真命题，由此求出的取值范围．【解答】解：命题“，，”为假命题，则它的否定命题：“，，”是真命题；所以，设，其中，；则在，上单调递增，所以（1）；所以的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了命题与它的否定命题的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．7．【分析】根据减函数的性质列出不等式得出的范围．【解答】解：由在，上单调递减可知，即，由在上单调递减可得，即，又在上单调递减，，解得．的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查了函数单调性的性质，属于中档题．8．【分析】根据题意，设，则，由偶函数的性质求出的解析式，综合可得在上的解析式，作出函数的图象，据此依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，设，则，则，又由是偶函数，则，则，作出图象如图所示：依次分析选项：对于，在区间上为减函数，错误，对于，当时，取得最大值，即（1），错误，对于，由图象可知的图象与的图象有2个交点，则方程只有2个不相等的实数根，错误；对于，当时，，正确，故选：．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数的奇偶性、单调性、最值的分析，属于中档题．9．【分析】由，，中有一个元素恰为另一个元素的2倍，分6种情况讨论即可．【解答】解：由，，中有一个元素恰为另一个元素的2倍知，①当，即时，，不成立；②当时，，，成立；③当，即时，经检验，不成立，成立；④当，即时，经检验，不成立，成立；⑤当，即或时，经检验，不成立，成立；⑥当，即或时，经检验，都不成立；综上所述，实数的值可以是4，，，，共4个；故选：．【点评】本题考查了集合中元素特征的应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．10．【分析】分别求出四个函数的值域，对照“有界函数”的概念即可判定．【解答】解：（1），由于，所以，，不满足题意；（2）令，，则，因为，，当时，函数，的最大值为，所以，，即，，，为有界函数；（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以，故函数为有界函数；（4）令，，则，即，，当时，，无最小值，即，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数，故选：．【点评】本题考查了函数值域的求法，属于中档题．二、填空题（共40分）11．【分析】由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，得，即．的定义域为，．故答案为：，．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是基础题．12．【分析】由题意可知，则，再利用基本不等式即可求出的最小值，以及此时的值．【解答】解：，，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为7，此时，故答案为：7，5．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，是基础题．13．【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为，，则，即函数的定义域为，由，得，即函数的定义域为，，故答案为：，．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系．14．【分析】利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，然后分和两种情况，由二次函数的性质求解单调递减区间即可，先求解，再求解即可．【解答】解：函数，当时，，所以函数在，上单调递减；当时，，所以函数在，上单调递减．综上所述，函数的单调减区间是，，，；因为，所以（4）．故答案为：，，，；．【点评】本题考查了含有绝对值的函数的应用，函数单调性的判断以及函数值的求解，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．15．【分析】根据题意，设，利用换元法求出解析式，将代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，设，则，则有，则，则（5）；故答案为：；．【点评】本题考查函数解析式的计算，涉及函数值的求法，属于基础题．16．【分析】先分别求出命题和命题对应的范围，然后由充分条件与必要条件的定义判断即可．【解答】解：因为，解得或，因为，解得，所以命题或，命题，所以是的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，绝对值不等式以及一元二次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17．【分析】由对称轴，根据图象可知在，上是增函数，在，上是减函数，再由对称性知（4），由此能求出实数的取值范围．【解答】解：对称轴，即 根据图象，上是增函数，上是减函数且根据对称性（4），所以．故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．【分析】时，求出的值，再根据“可控变点”的定义即可解决问题．【解答】解：依题意，图象上的点的“可控变点”必在函数的图象上，因为，所以，所以，当时，，当时，，所以，所以的取值范围是，故答案为：，．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，属于难题．三、解答题（共70分）19．【分析】（1）根据交集与并集、补集的定义进行计算即可；（2）根据补集与并集的定义，得出关于的不等式组，求出解集即可．【解答】解：（1）全集，集合，；；或，，或；（2）或，又集合，且，，解得，实数的取值范围是．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．20．【分析】（1）判断为偶函数，利用函数奇偶性的定义证明即可；（2）根据二次函数的图象与性质，结合题意求得的取值范围；（3）利用判别式求出一元二次不等式恒成立时的取值范围．【解答】解：（1）若，则，为偶函数，证明如下：的定义域为，，所以是偶函数．（2）开口向上，对称轴是，若函数在区间上单调递减，则，即，解得，所以的取值范围是，．（3）因为恒成立，所以△，整理得，解得，即的取值范围是．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，二次函数的图象与性质，也考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，属于中档题．21．【分析】（1）根据已知条件，结合作差法，即可求解．（2）假设，，这三个数没有一个大于或等于，即，，，三式相加可得，，再结合配方法找出矛盾，即可求证．【解答】证明：（1），，即得证．（2）假设，，这三个数没有一个大于或等于，即，，，三式相加可得，①，而与①式矛盾，故原假设不成立，即原命题成立．【点评】本题主要考查不等式的证明，掌握作差法和反证法是解本题的关键，属于中档题．22．【分析】（1）利用函数单调性的定义直接判断证明即可；（2）由函数的单调性即可求得函数在区间，上的最值；（3）作出函数图象，利用函数图象容易得到函数值域．【解答】解：（1）在区间，上单调递增，证明如下：任取，，，，则，又，则，，，则，在，上单调递增；（2）由（1）知，函数在区间，上单调递增，最大值为，最小值为（1）；（3）函数图象如下图所示，，由于，故，函数的值域为，，．【点评】本题考查函数单调性的判断以及利用函数图象求函数值域，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．23．【分析】（Ⅰ）任取，则，由已知，可比较与的大小，由单调性的定义可作出判断；（Ⅱ）利用函数的奇偶性可把不等式化为，在由单调性得，还要考虑定义域；（Ⅲ）要使对，恒成立，只要，由在，上是增函数易求，再利用关于的一次函数性质可得不等式组，保证对，恒成立；【解答】解：（Ⅰ）任取，则，，，由已知，，即，在，上是增函数；（Ⅱ）是定义在，上的奇函数，且在，上是增函数，不等式化为，，解得；（Ⅲ）由（Ⅰ）知在，上是增函数，在，上的最大值为（1），要使对，恒成立，只要，设（a），对，，（a）恒成立，，或或．【点评】本题考查抽象函数的单调性、奇偶性，考查抽象不等式的求解，可从恒成立问题，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．24．【分析】（Ⅰ）根据题意直接可以得出答案；（Ⅱ）①分中含有一个不在中的元素及，且两种情形讨论求证；②结合①知，，讨论若，或，得，若，且，可证得的最小值是．【解答】解：（Ⅰ），，，；（Ⅱ）①证明：显然，若中含有一个不在中的元素，则，即，；若，且，则，此时中最小的元素，中最小的元素，中最小的元素，，，2，，，，即，综上，；②由①知，，，若，或，则，若，且，设，，，，，，，，且，，则，，若，则，若，因为，，，，，，，，这个数一定在集合中，且均不等于1，，，；当，，3，，时，，的最小值是．【点评】本题考查集合中的新定义问题，考查知识迁移能力，逻辑推理能力，对学生的综合数学素养要求较高，属于难题．