2022北京五十七中高二（上）期末数学（教师版）

2022北京五十七中高二（上）期末

数    学

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．（4分）集合，，则　　

A．， B．，4， C．，5， D．，4，5，

2．（4分）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（4分）已知是正方形的中心．若，其中，，则　　

A． B． C． D．

4．（4分）关于直线，与平面，，有以下四个命题：

①若，且，则；

②若，且，则；

③若，且，则；

④若，且，则；

其中真命题的序号是　　

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

5．（4分）已知点，．若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是　　

A． B． C． D．

6．（4分）已知椭圆和双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为　　

A．， B．， C．， D．，

7．（4分）若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

8．（4分）已知曲线，则下列说法不正确的是　　

A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 

B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 

C．若，则是圆，其半径是 

D．若，，则是两条直线

9．（4分）已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆、两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹为　　

A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

10．（4分）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是　　

A．使得的点有且仅有4个 

B．使得的点有且仅有4个 

C．使得为等腰三角形的点有且仅有4个 

D．使得为直角三角形的点有且仅有4个

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．（5分）设双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是 　　．

12．（5分）已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为 　　．

13．（5分）过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与轴交于点，若线段的中点为双曲线的虚轴端点为坐标原点），则双曲线的离心率为　　．

14．（5分）已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是 　　．

15．（5分）已知点，分别是抛物线和直线上的动点，点是圆上的动点．

①抛物线的焦点坐标为　　；

②的最小值为　　．

三、解答题（共6个小题，满分85分）

16．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．

17．（14分）如图，在中，是上的点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）角的大小；

（Ⅱ）的面积．

条件①：；条件②：．

18．（14分）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，

（1）求实数的值；

（2）过点的直线与圆交于、两点，如果，求直线方程，并求．

19．（14分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20．（14分）已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；

（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值．

21．（15分）已知椭圆的离心率为，，，，△的面积为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：为等腰三角形．

参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．【分析】求出集合，中不等式的解集中的自然数解，根据交集的定义，求出得到两个集合的交集．

【解答】解：，1，2，3，4，5，，

，，

，5，，

故选：．

【点评】此题是个基础题．本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．做题时应注意理解集合的元素．

2．【分析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．

【解答】解：由题意可知，．

，

复数对应的点位于第二象限．

故选：．

【点评】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义．

3．【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出，即可得出答案．

【解答】解：，

，，

．

故选：．

【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．

4．【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．

【解答】解：若，且，则，可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；

若，且，则，一定垂直，故②正确；

若，且，则，一定垂直，故③正确；

若，且，则，可能相交、平行也可能异面，故④错误

故选：．

【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理，，；③利用面面平行的性质定理；④利用面面平行的性质，，，．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．

5．【分析】过点做轴垂线，垂足为，根据正三角形性质可知为，的中点，点的坐标代入椭圆方程即可求得．然后求解椭圆的离心率．

【解答】解：过点做轴垂线，垂足为，

根据正三角形性质可知为，的中点，坐标为，

点的坐标代入椭圆方程得，

解得，

所以椭圆的离心率为：．

故选：．

【点评】本题主要考查了椭圆方程求解，解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出点的坐标．

6．【分析】根据椭圆与双曲线的方程，求出离心率，，即可得，即可求得的值，即可求得渐近线方程，结合直线的斜率与倾斜角关系，即可求解．

【解答】解：设椭圆的离心率为，则，

双曲线的离心率为，则，

椭圆和双曲线的离心率之积为1，

，解得，

双曲线的两条渐近线分别为或，

双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为或．

故选：．

【点评】本题主要考查了椭圆与双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．

7．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得，，其图象为圆的下半部分，直线即，必有直线与半圆有公共点，结合图形分析可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，变形可得，，

其图象为圆的下半部分，如图：

直线即，必有直线与半圆有公共点，

当时，直线在圆心的下方且与圆相切，

当时，直线经过点，

则的取值范围为，；

故选：．

【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．

8．【分析】把已知方程变形，结合四个选项中的条件依次判断得答案．

【解答】解：由曲线，得，

若，则，曲线是椭圆，其焦点在轴上，故正确；

若，则是双曲线，当时，焦点在轴上，，，

渐近线方程为，当时，焦点在轴上，，，

渐近线方程为，所以若，

则是双曲线，其渐近线方程为，故正确；

若，则是圆，其半径是，故错误；

若，，则化为，是两条直线，故正确．

故选：．

【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查圆锥曲线的标准方程及性质，是基础题．

9．【分析】根据题意可得（定值），且．即可得点的轨迹是双曲线的一部分．

【解答】解：可得圆的圆心为，半径为．

如图，，，

，，，

（定值），且．

点的轨迹是双曲线的一部分，

故选：．

【点评】本题考查了动点根据的求解，考查了转化思想，属于中档题．

10．【分析】考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个；为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点．

【解答】若的在第一象限，可得直线，

代入抛物线的方程可得，解得，

由对称性可得在第四象限只有一个，

则满足的有且只有2个，故错误；

使得的点在第一象限，可得直线，

代入抛物线的方程，可得，△，

可得点有2个；

若在第四象限，由对称性可得也有2个，

则使得的点有且只有4个，故正确；

由为等腰三角形，若，则有两个点；

若，则不存在，若，则有两个点，

则使得为等腰三角形的点有且仅有4个，故正确；

由中为直角的点有两个；

为直角的点不存在；为直角的点有两个，

则使得为直角三角形的点有且仅有4个，故正确．

故选：．

【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查联立方程，由判别式确定交点个数，以及分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．【分析】利用双曲线经过的点，求解，然后求解渐近线方程即可．

【解答】解：双曲线经过点，

可得，所以双曲线的渐近线方程为：．

故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题．

12．【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析可得答案．

【解答】解：如图，抛物线的焦点为，准线为，即．

分别过，作准线的垂线，垂足为，，

则有．

过的中点作准线的垂线，垂足为，

则为直角梯形中位线，

则，即到准线的距离为5．

故答案为：5．

【点评】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题．

13．【分析】根据线段的中点为双曲线的虚轴端点，求出的坐标，结合直线平行，得到斜率相等进行求解即可．

【解答】解：，双曲线的一条渐近线方程为，

的中点是，

，

平行渐近线，

的斜率等于，

即，

即，

则双曲线的离心率，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线平行以及直线斜率关系是解决本题的关键．

14．【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合存在，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．

【解答】解：当时，，即，则的值域为，，

当时，，即，则的值域为，，

若存在，使得，

则，，，

若，，，

则或，

得或，

则当，，时，，

即实数的取值范围是，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．

15．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得要使取得最大，可得经过点，即，

要使取得最小，必须垂直于直线，可得，再由基本不等式可得所求最小值．

【解答】解：的焦点，准线方程为，

要使取得最大，可得经过点，

即，

要使取得最小，必须垂直于直线，

可得，

由

，

当且仅当时上式取得最小值16．

故答案为：，16．

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆的位置关系，以及基本不等式的运用，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．

三、解答题（共6个小题，满分85分）

16．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．

（Ⅱ）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）函数．

，

．

所以函数的最小正周期为．

（Ⅱ）对恒成立，

所以，

由于，

所以．

当时，即时，

时，实数的取值范围为，．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

17．【分析】选择条件①：

（Ⅰ）在中由余弦定理得，结合范围，可求的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得为直角三角形，可求，进而根据三角形的面积公式即可求解．

选择条件②：

（Ⅰ）在中，由正弦定理得，由题可知，可求的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得为直角三角形，得，结合，可求，进而根据三角形的面积公式即可得解．

【解答】解：选择条件①：

（Ⅰ）在中，

由余弦定理，得．

因为，

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因为，所以．

所以为直角三角形．

所以，．

又因为，

所以．

所以．

选择条件②：

（Ⅰ）在中，，．

由正弦定理，得．

由题可知，

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因为，所以．

所以为直角三角形，

得．

又因为，

所以．

所以．

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18．【分析】（1）先求出圆心坐标，半径，再利用圆心到直线的距离等于半径即可解决；

（2）过点的直线分为斜率不存在和斜率存在两种情况，要分别说明；利用垂径定理解决直线与圆的弦长问题会快捷一些．

【解答】解：（1）圆的方程可化为，

则圆心，半径，其中，

因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，

即，解得；

（2）由（1）可知圆半径，圆心，

当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，

由垂径定理得弦长，不合题意；

当直线斜率存在时，设其方程为，即，

圆心到直线的距离，

由垂径定理有，，解得，

则直线的方程为，设，，，，

由整理得

解得，，

于是，，

故．

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数量积的计算等知识，属于中等题．

19．【分析】（Ⅰ）推导出，，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面．

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量能求出二面角的大小．

（Ⅲ）设，，利用向量法能求出线段上存在点，且时，使得与平面所成角的正弦值为．

【解答】（共14分）

证明：（Ⅰ）因为在梯形中，，，为的中点，

所以，，所以四边形为平行四边形，（1分）

因为线段与交于点，

所以为线段的中点，

所以中，，（3分）

因为平面，平面，

所以平面．（4分）

解：（Ⅱ）因为平行四边形中，，

所以四边形是菱形，，垂足为，

所以，，

因为平面，平面，

所以是二面角的平面角，

因为二面角为直二面角，

所以，即．

可以如图建立空间直角坐标系，其中，0，，（6分）

因为在图1菱形中，，

所以，．

所以，2，，，0，，，0，．

所以，，2，．（7分）

设，，为平面的法向量，

因为，取，得，0，，

平面的法向量为，0，，（8分）

所以，（9分）

由图可知，二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为．    （10分）

（Ⅲ）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，（11分）

设，，

因为，，，，

所以．   （12分）

因为，（13分）

由，解得．

所以线段上存在点，且时，使得与平面所成角的正弦值为．（14分）

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．

20．【分析】（Ⅰ）由焦点坐标可求值，根据，，的平方关系可求得值；

（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得；

（Ⅲ）当直线不存在斜率时可得，；当直线斜率存在（显然时，设直线方程为，与椭圆方程联立消可得的方程，根据韦达定理可用表示，，可转化为关于，的式子，进而变为关于的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；

【解答】解：因为为椭圆的焦点，所以，又，

所以，所以椭圆方程为；

（Ⅱ）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，

所以直线方程为，和椭圆方程联立得到

，消掉，得到，

所以△，，，

所以；

（Ⅲ）当直线无斜率时，直线方程为，

此时，，，面积相等，，

当直线斜率存在（显然时，设直线方程为，

设，，，，

和椭圆方程联立得到，消掉得，

显然△，方程有根，且，，

此时

，时等号成立）

所以的最大值为．

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．

21．【分析】（Ⅰ）由题意可得关于，，的方程组，求得与的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）设直线方程为且，直线方程为，通过联立直线与椭圆方程组，求出坐标，坐标，推出，即可证明为等腰三角形．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解得，

椭圆方程为；

（Ⅱ）证明：设直线方程为且，直线方程为，

由，解得点，．

由，得，

则，，．

即，，所以．

于是直线的方程为，直线的方程为．

由，解得，．

于是，轴．

设中点为，则点的纵坐标为．

故中点在定直线上．

由上可知点在的垂直平分线上，，

为等腰三角形．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．