2021北京八中高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京八中高一（上）期中数学（教师版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京八中高一（上）期中数    学一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若集合，，则集合　　A． B． C． D．2．（4分）已知，则等于　　A．1 B． C．2 D．3．（4分）的值为　　A．2 B． C． D．4．（4分）给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是　　A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．（4分）设，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．6．（4分）“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分）设集合，，若，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，8．（4分）已知函数，在下列说法中正确的是　　A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点 C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点9．（4分）函数的最小值为　　A．2 B． C．3 D．10．（4分）设集合，，，则　　A． B． C． D．11．（4分）已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当，时，．则方程在区间，，内解的个数是　　A．18 B．12 C．11 D．1012．（4分）对于集合，定义了一种运算“⊕”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有⊕⊕，则称元素是集合对运算“⊕”的单位元素．例如：，运算“⊕”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①，运算“⊕”为普通减法；②，运算“⊕”为普通加法；③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为　　A．①② B．①③ C．①②③ D．②③二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．13．（4分）若命题是“对所有正数，均有”，则是 　　．14．（4分）若关于的方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 　　．15．（4分）设集合，4，，，，，若，则实数的值为 　　．16．（4分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式可以近似的表示．已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为 　　吨时，可以获得最大利润是 　　万元．17．（4分）设集合，，，，，，若，则实数的值为 　　．18．（4分）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 　　．19．（4分）已知，，给出下列四个条件：①；②；③；④．使“”成立的必要不充分条件是 　　．20．（4分）称有限集的所有元素的乘积为的“积数”，给定数集，，，，，则集合的所有有偶数个元素的子集的“积数”之和为 　　．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（15分）（1）求方程组的解集；（2）求关于的方程的解集；（3）求不等式的解集．22．（14分）已知函数，．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并予以证明；（3）求使成立的的取值范围．23．（13分）已知函数．（1）若函数的单调减区间为，，则实数　　；（2）解关于的不等式．24．（14分）已知函数，．（1）若使，求实数的取值范围；（2）设，且在，上单调递增，求实数的取值范围．25．（14分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；（2）设函数的图像与的图像有公共点，证明：函数属于集合；（3）是否存在实数，使得属于集合？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：．故选．【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．2．【分析】利用分段函数，直接求解函数值即可．【解答】解：因为，则．故选：．【点评】本题主要考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．3．【分析】利用对数的运算性质求解．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．4．【分析】对所给的函数进行判断即可．【解答】解：该函数在上单调递增，故不满足题意；该函数在上单调递减，满足题意；该函数在上单调递减，满足题意；该函数在上单调递增，不满足题意；故选：．【点评】本题考查了基本函数的单调性，学生的数学运算能力，属于基础题．5．【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可．【解答】解：指数函数在上单调递增，，即，故选：．【点评】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，是基础题．6．【分析】由，推出且，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由，得且，能够推出，而由，不能推出且；因此前者是后者的必要不充分条件．故选：．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次方程的解法，属于基础题型．7．【分析】先求出集合，然后对集合为空集和不是空集分类讨论，进而可以求解．【解答】解：因为集合，则集合，又因为，则当时，，解得，当时，，解得，综上，的取值范围为：，，故选：．【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．【分析】求出函数的零点，逐一对选项进行判断即可．【解答】解：，令，解得或1或，结合选项可知正确，故选：．【点评】本题考查了零点的判定，属于基础题．9．【分析】利用对勾函数的单调性即可求解函数的最值．【解答】解：根据对勾函数的性质可知，在，上单调递增，所以当时，函数取得最小值3．故选：．【点评】本题主要考查了利用函数单调性求解函数的最值，属于基础题．10．【分析】根据已知分别求出集合，，进而可以判断求解．【解答】解：因为集合，所以集合，1，，又集合，，所以集合，1，，所以，故选：．【点评】本题考查了集合间的包含关系，涉及到二次函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．11．【分析】欲判断方程在区间，，内的解个数，利用图解法，在同一坐标系中画出函数与函数的图象，利用图象的交点情况研究解的个数来解答本题．【解答】解：在同一坐标系中画出满足条件：①定义域为；②，有；③当，时，，的函数与函数的图象：观察图象可得：两个函数的图象共有11个交点，则方程在区间，，内的解的个数是：11．故选：．【点评】本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、函数图象的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．12．【分析】由新定义依次对3个命题判断即可．【解答】解：对于①，运算“⊕”为普通减法，普通减法不满足交换律，故不成立；对于②，运算“⊕”为普通加法，存在，使得对任意都有，故成立；对于③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，存在，使得对任意都有，故成立；故选：．【点评】本题考查了集合及新定义的应用，利用了转化思想及集合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．13．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题是“对所有正数，均有”，则是：存在正数，．故答案为：存在正数，．【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．14．【分析】根据根与系数的关系得到关于的等式，转化后求解即可．【解答】解：方程的两个实根为，，故△，①则，，，，结合①得．故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想，是基础题．15．【分析】由交集定义解得或，再由集合中元素的性质能求出实数的值．【解答】解：集合，4，，，，，，解得或，当时，，4，，，0，，，成立；当时，，4，，，5，，不成立，则实数的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．【解答】解：生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式可以近似的表示．设每吨的平均成本为（万元，则，当且仅当，时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．设年利润为（万元），则．所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．故答案为：210；1660．【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴，是中档题．17．【分析】推导出直线和直线平行，由此能求出结果．【解答】解：集合，，，，，，，，当时，，此时，，解得，当时，直线和直线平行，，解得．故答案为：或4．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．【分析】，由题意可得的最小值，然后求解的范围．【解答】解：关于的不等式解集为，可设，可得的最小值1，由，当且仅当，上式取得等号，则，实数的取值范围为：，．故答案为：，．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，以及不等式恒成立思想，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】根据必要不充分条件的概念，只要看能得到哪个选项，而由该选项得不到即可．【解答】解：使成立的必要不充分条件，即能得到哪个条件，而由该条件得不到，对于①，当时，能得到，反之不成立，故①正确，对于②，当时，不能得到，故②错，对于③，当时，能得到，反之当 时，不能得到，比如，，故③正确，对于④，当，时，满足，但不满足，④错．故答案为：①③．【点评】本题考查必要不充分条件的概念，不等式的性质．20．【分析】令，则集合，，，的所有偶数个元素的子集的“积数”之和，即展开式中所有奇次项数之和．【解答】解：令，令，则，则集合，，，的所有元素的子集的“积数”之和为，的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为，即展开式中所有奇次项数之和，的所有奇数个元素的子集的“积数”之和为，即展开式中所有偶次项数之和，则，令，则，则，，得的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为．故答案为：．【点评】本题考查了集合的新定义问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．【分析】（1）利用代入消元法消去，然后结合一元二次方程的求法先求出，进而可求；（2）先对方程进行整理，然后结合一次方程的解法即可求解；（3）先进行移项，通分化解，然后转化为高次方程，进而可求．【解答】解：（1）把代入到方程，整理得，，解得，或，所以方程组的解集，，；（2）整理得，当时，解集为，当时，解集为；（3）由得，，整理得，，即，解得，或或，所以原不等式的解集为或或【点评】本题主要考查了二元二次方程组的求解，含参数一次方程的求解，还考查了分式不等式的求解，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．22．【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据函数的奇偶性的定义证明即可；（3）根据对数函数的性质得到关于的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由，要使函数有意义，需，解得：函数的定义域为；（2）函数是奇函数，证明如下：令，对任意的，，，是奇函数函数是奇函数；（3），即，故，解得：，故的取值范围是，．【点评】本题考查了求对数函数的定义域，奇偶性问题，考查转化思想，是基础题．23．【分析】（1）由题意可知函数为二次函数，且开口向上，对称轴为，即可解得；（2）化简为，分类讨论解不等式即可．【解答】解：（1）函数的单调减区间为，，，解得，；（2）可化为，当时，原不等式可化为，解得，即不等式的解集为；当时，解不等式得，故不等式的解集为；当时，解不等式得或，故不等式的解集为或；当时，解不等式得或，故不等式的解集为或．【点评】本题考查了二次函数的性质及二次不等式的解法，利用了分类讨论的思想，属于中档题．24．【分析】（1）把使，转化为，，再利用二次函数的性质得△，解出实数的取值范围；（2）先求得，再对其对应方程的判别式分△和当△两种情况，分别找到满足在，上单调递增的实数的取值范围，最后综合即可．【解答】解：（1）由，，得，，△，解得或，实数的取值范围是，，；（2）由题设得，对称轴方程为，△，由于在，上单调递增，则有：①当△即时，有，解得，②当△即或时，设方程的根为，，若，则，有即为解得；若，即，有，；得，有，；综上所述，实数的取值范围是，，．【点评】本题的（1）考查了存在性问题，存在性问题是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．25．【分析】（1）将代入定义验证知；（2）由题意知方程有解，即存在使，化简可证明函数属于集合；（3）先假设存在，则由新定义知且，方程组无解，故不存在．【解答】解：（1），证明如下，当时，则，，当时，，，故，故不成立，故；（2）证明：函数的图像与的图像有公共点，方程有解，即存在，使，于是对于函数，，故；（3）若，当时，，，故，又，，即，则，，当且时，，，故且，方程组无解，故不存在实数，使得属于集合．【点评】本题考查了函数的新性质的判断与证明，考查了转化法及反证法，属于中档题．