2022北京五十七中高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2022北京五十七中高一（上）期中数学（教师版），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共10个题，每题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 已知集合，，若，则实数值为（ ）
A. 2B. 0C. 0或2D. 1
2. 已知命题p：x <1，，则为
A. x ≥1, ＞B. x <1,
C. x <1, D. x ≥1,
3. 设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（ ）
A. （﹣2，1]B. （﹣∞，﹣4]C. （﹣∞，1]D. [1，+∞）
4. 设函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
A. 75,25B. 75,16C. 60,25D. 60,16
7. 若不等式|x-3|+|x-4|A. a≤1B. a≥1C. a<1D. a>1
8. 已知，，若，则
A. 有最小值B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最大值
9. 直角梯形OABC中，，，，直线l：截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有7个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ）
A. 132B. 134C. 135D. 137
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 函数定义域为_______________.
12. 若一元二次方程的两个根为，，求______.
13. 写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值__________．（写出一个的值即可）
14. 奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是________________ .
15. 设函数，若，则a=___________.
16. 设函数
①若，使得成立，则实数的取值范围是______.
②若函数为上单调函数，则实数的取值范围是______.
三、解答题：（共六道大题，总分80分）
17. 已知集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数取值范围．
18. 解关于x的不等式．
19. 已知二次函数（，，为常数）满足条件：①图象过原点；②；③方程有等根．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域．
20. 对于函数，
（1）判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
（2）画此函数的图象，并指出其单调区间.
（3）讨论方程的解的个数
21. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励经销商订购该零件，决定每次订购超过100个零件时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）求当经销商一次订购多少个零件时，零件的实际出厂单价恰好为51元；
（2）若经销商一次订购个零件时，该厂获得的利润为y元，写出y关于x的表达式．
22. 函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定的解析式；
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于不等式．
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共10个题，每题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合A，再根据求解.
【详解】已知集合，，
因为，
所以m=0，
故选：B
【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题.
2. 【答案】C
【解析】
【详解】 根据全称命题与存在性命题之间的关系，
可知命题的否定为，故选C．
3. 【答案】C
【解析】
【详解】∵集合S={x|x＞﹣2}，
∴∁RS={x|x≤﹣2}
由x2+3x﹣4≤0得：T={x|﹣4≤x≤1}，
故（∁RS）∪T={x|x≤1}
故选C．
4. 【答案】B
【解析】
【分析】考虑，两种情况，代入函数解不等式得到答案.
【详解】当时，，即，解得，
故；
当时，，即，解得，故.
综上所述：.
故选：B.
5. 【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】函数是奇函数,
若，则，
则，
即成立,即充分性成立，
若，满足奇函数，当时
满足，此时满足，
但，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
所以A选项正确.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.
6. 【答案】D
【解析】
【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，
可得出=30故=4，可得A=16
从而c=15=60
故答案为D
7. 【答案】D
【解析】
【分析】不等式转化为，求得函数的最小值后，即得的取值范围.
【详解】由条件可知成立，即，
，即.
故选：D
8. 【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.
【详解】由题意，可知，，且，
因为，则，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，取得最小值，
故选A．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9. 【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：，然后根据不同段上的函数的性质即可求解．
【详解】由题意可知：当时，，
当时，；
所以．
结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合．
故选：C．
10. 【答案】A
【解析】
【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可．
【详解】集合满足：①每个集合都恰有7个元素；②．
一定各包含7个不同数值．
集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是21，15，9，特征数的和最小，
如：，特征数为22；
，特征数为17；
，特征数为12；
则最小，最小值为22＋17＋12＝51．
当集合中元素的最小值分别是1，7，13，最大值是21，20，19时，特征数的和最大，
如：，特征数为22；
，特征数为27；
，特征数为32；
则最大，最大值为22＋27＋32＝81，
故的最大值与最小值的和为81＋51＝132．
故选：A．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 【答案】
【解析】
【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为，
所以，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12. 【答案】
【解析】
【分析】代入韦达定理公式计算即可.
【详解】由韦达定理得
，
所以
故答案为：
13. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意，假设命题“恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当和时两种情况，从而得出实数的取值范围，再根据补集得出命题“恒成立”为假命题时的取值范围，即可得出满足题意的的值.
【详解】解：若命题“恒成立”是真命题，
则当时成立，
当时有，解得：，
所以当时，命题“恒成立”是真命题，
所以当时，命题“恒成立”为假命题，
故答案为：.（答案不唯一，只需）
14. 【答案】
【解析】
【详解】因为奇函数的定义域为，若在上单调递减，所以在定义域上递减，且，所以 解得，故填.
点睛：利用奇函数及其增减性解不等式时，一方面要确定函数的增减性，注意奇函数在对称区间上单调性一致，同时还要注意函数的定义域对问题的限制，以免遗漏造成错误.
15. 【答案】
【解析】
【分析】
先令，则，求解的值，然后再分类讨论，求解的值.
【详解】令，则，当时，有，无解，
当时，有，解得，或，
所以或，
当时，，，故 无解；
当时，若，则，得，
若，则，即，无解，
综上所述：.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查根据函数值求参，难度一般，解答时注意分类讨论思想的运用.
16. 【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】①由知，函数关于直线对称，结合图像可知的取值范围；
②令 ，，根据与的单调性，结合图像知，或
【详解】①由知，函数关于直线对称，由函数解析式绘制出其图象的几种大致情况，如下图示.
结合图像知：当，使得时，需.
②分别令，，则在上单增，在R上单增，结合上述图像可知：若在R上单增，则需或.
故答案为：①；②或.
三、解答题：（共六道大题，总分80分）
17. 【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）由补集的运算求出，由条件和并集的运算求出实数的取值范围．
（2）由得，分类讨论与，求出实数的取值范围
【详解】解：（1），或.
又，，，即实数的取值范围是.
（2），.
当时，符合题意.
当时，由得，故，
当时，不等式的解集为空集；
当时，解得.
综上可知，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查并、补集的混合运算，以及求参数的范围，属于基础题．
18. 【答案】详见解析.
【解析】
【分析】分类讨论，求不等式的解集即可.
【详解】原不等式变形为．
①当时，；
②当时，不等式即为，
当时，x或；
由于，于是
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
19. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由①可得，由②得，由③可得，即可求得a、b、c的值，可得答案；
（2）可得函数在上单调递增，在上单调递减，由二次函数的性质可得值域．
【小问1详解】
由①图象过原点可得，
由②可得函数的对称轴为
由③方程有等根可得，即有两个相等的实根，
故，即，从而得，
故的解析式为：；
【小问2详解】
由（1）知，
由二次函数的性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取最大值，
当时，函数取最小值，
故在上的值域为．
20 【答案】（1）偶函数，图象关于轴对称
（2）单调递增区间为，单调递减区间为 ，
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，
（2）根据奇偶性画出函数图象，即可得单调区间，
（3）根据的图象，以及直线的交点个数即可求解.
【小问1详解】
的定义域为,关于原点对称，又，
故是偶函数，图象关于轴对称，
【小问2详解】
，所以图象如下：
单调递增区间为，单调递减区间为 ，
【小问3详解】
在同一直角坐标系中画出的图象，以及直线如图所示：
当时，的图象与直线有2个交点，故此时方程有2个实数根，
当时，的图象与直线有4个交点，故此时方程有4个实数根，
当时，的图象与直线有6个交点，故此时方程有6个实数根，
当时，的图象与直线有3个交点，故此时方程有3个实数根，
当时，的图象与直线没有交点，故此时方程无实数根.
21. 【答案】（1）550个
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意设一次订购个零件，实际出厂单价恰好为51元，即可得到方程，解得即可；
（2）设一次订购x个零件时，零件的实际出厂单价为W元，根据的取值范围确定的值，则利润计算可得；
【小问1详解】
解：设零件的实际出厂单价恰好为51元时，一次订购个零件，
则，解得，
所以当一次订购550个零件时，零件的实际出厂单价恰好为51元．
【小问2详解】
解：设一次订购x个零件时，零件的实际出厂单价为W元，
当时，；
当时，；
当时，．
由题意得，
当时，；
当时，;
当时，．
故．
22. 【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，得到的方程，解之即可求得；
（2）根据单调性的定义证明即可；
（3）根据单调性先去，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域．
【小问1详解】
解：是定义在上的奇函数，
，
，
又由，
∴ ．
，
∴奇函数，
故符合题意，为所求解．
【小问2详解】
解：在区间上为增函数．
证明：设．
而，
由，
得，
，
即，
．
故函数在上为增函数．
【小问3详解】
解：由函数为奇函数且在上为增函数知：
，
，
解得：．
故不等式解集为．
【点睛】本题的难点在（2）中判断与的大小，通分后要对分子进行因式分解；易错点为在（3）中化简不等式时不补定义域．