2021北京十三中高一（上）期中数学（教师版）

2021北京十三中高一（上）期中

数    学

一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合，0，，，，则　　

A． B． C．， D．，2，3，

2．（5分）已知，，，均是实数，则“”是“且”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）已知命题，，则是　　

A．， B．， 

C．， D．，

4．（5分）不等式的解集为　　

A． B． C．或 D．或

5．（5分）函数的单调减区间为　　

A．，， B． 

C．， D．，

6．（5分）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则下列关系正确的是　　

A．（1）（3） B．（3）（1） 

C．（1）（3） D．（1）（3）

7．（5分）在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为　　

A． B．， C． D．

8．（5分）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是　　

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

9．（5分）已知，是方程的两个实数根，则的值为　　

A． B． C． D．1

10．（5分）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线，一种是平均价格曲线（如（2）表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；（2）表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图象中，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．（5分）函数的零点个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

12．（5分）已知关于的函数的定义域是，，为整数），值域是，，则满足条件的整数数对的个数为　　

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题（共9小题，每小题5分，满分45分）

13．（5分）函数的定义域为 　　．

14．（5分）设函数，则（1）的值为 　　．

15．（5分）已知函数在上单调递增，若（2），则满足的实数的取值范围是 　　．

16．（5分）已知，则函数，当等于 　　时，函数有最小值为 　　．

17．（5分）函数的值域为　　．

18．（5分）若方程在内恰有一个根，则实数的取值范围是 　　．

19．（5分）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　．

20．（5分）能够说明“若对任意的都成立，则函数在是增函数”为假命题的一个函数是 　　．

21．（5分）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这件事实中提炼出一个不等式组是　　．

三、解答题（本小题共3小题，满分45分）

22．（15分）已知函数的定义域为集合，集合．

（Ⅰ）求集合；

（Ⅱ）若全集，，求；

（Ⅲ）若，求的取值范围．

23．（15分）已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）证明：函数在上单调递增；

（3）求函数，，的值域．

24．（15分）已知函数，其中，．

（1）当，时，求函数的零点；

（2）当时，解关于的不等式；

（3）如果函数的图象恒在直线的上方，证明：．

参考答案

一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）

1．【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：集合，0，，，，

．

故选：．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；

【解答】解：令：“”， ：“且”

由于推不出且，则为假命题；

由于且，根据不等式同向可加性得到，则为真命题．

故选：．

【点评】判断充要条件的方法是：

①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；

②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；

③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；

④若为假命题且为假命题，则命题是命题的既不充分也不必要条件．

⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．

3．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题，，

则是：，．

故选：．

【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．

4．【分析】把原不等式转化为二次不等式即可直接求解．

【解答】解：原不等式可转化为，

解得，，

所以原不等式的解集．

故选：．

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．

5．【分析】求出定义域，运用反比例函数的单调性即可判断．

【解答】解：函数的定义域为，，，

由反比例函数的性质可得，

在上递减，在上递减．

故选：．

【点评】本题考查函数的单调性和单调区间，考查常见函数的单调性，属于基础题．

6．【分析】根据题意，由偶函数的性质可得（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得（1）（2）（3），综合可得答案．

【解答】解：根据题意，是定义在上的偶函数，则（2），

又由函数图象可得：在上为减函数，即有（1）（2）（3），

则有（1）（3），

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．

7．【分析】由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，因此把，2，代入函数解析式，分析函数值的符号是否异号即可．

【解答】解：令，

则（1），（2），

由（2）

知根所在区间为，

故选：．

【点评】此题是个基础题．考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思想，同时也考查了学生分析解决问题的能力．

8．【分析】利用题中的条件，结合函数的单调性，即可做出判断．

【解答】解：由任意两个不相等的实数，，总有成立得，

若，则，

若，则，

故函数为增函数，

故选：．

【点评】本题考查了函数的单调性，学生的数学运算能力，属于基础题．

9．【分析】根据根与系数关系可解决此题．

【解答】解：根据题意得：，，

．

故选：．

【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，考查数学运算能力，属于基础题．

10．【分析】由股票买卖过程以及股票买卖的规律性，依次分析可得答案．

【解答】解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，、均错误．

故选：．

【点评】本题考查函数及其图象的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力．

11．【分析】直接根据判别式的取值即可得到结论．

【解答】解：函数的零点个数即为方程根的个数，

又△，

故对应方程无根，

函数的零点个数是：0．

故选：．

【点评】本题考查函数与方程的关系，考查计算能力．

12．【分析】由，可得，再结合函数的奇偶性，即可求解．

【解答】解：，

，

令，可得，解得或，

令，可得，解得，

当时，，可得函数为单调递减函数，

又，，

函数为偶函数，图象如图所示，

函数定义域可能为，，，，，，，，，，

则满足满足条件的整数对为，，，，，共5个．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，考查数形结合的能力，属于中档题．

二、填空题（共9小题，每小题5分，满分45分）

13．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．

【解答】解：要使函数有意义，则，

得，即且，

即函数的定义域为且，

故答案为：且．

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题．

14．【分析】利用函数的解析式，先求出（1），再求解（1）的值即可．

【解答】解：因为函数，

所以（1），

所以（1）（2）．

故答案为：5．

【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．

15．【分析】利用函数的单调性可以直接解出．

【解答】解：（2），，

（2），

因为在上单调递增，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的性质的应用，学生数学运算能力，属于基础题．

16．【分析】由已知得，然后结合基本不等式可求．

【解答】解：，则函数，

当且仅当，即时取等号，此时函数取得最小值7．

故答案为：4，7．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．

17．【分析】本题考查的是求二次函数的值域，常用的是用配方法来求．

【解答】解：，在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又（1），所以函数的值域为，．

故答案为：，．

【点评】在解题时要注意二次函数图象抛物线的开口方向，对称轴，在对称轴处取得最值．

18．【分析】由题意，令，由零点判定定理结合一元二次方程根的分布情况即可得答案．

【解答】解：由题意，令在内恰有一个根，

则（1），

即，

解得，

实数的取值范围是．

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．

19．【分析】由题意利用恒成立问题，二次函数的性质，可得实数或，由此求得实数的取值范围．

【解答】解：关于的不等式的解集为，

①当时，恒成立，

②当时，，

综上可得，的取值范围为，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，恒成立问题，二次函数的性质，属于中档题．

20．【分析】根据题意构造一个满足题意的函数，分段函数较为合适．

【解答】解：设函数，

任意的时，，此时，满足；

当时，，此时，，满足，

当时，，，满足满足，

故对任意的都成立，则函数在是增函数，

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的单调性，学生的定义识记能力，属于基础题．

21．【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式组的建立，关键是要从已知的题目中找出不等关系，并用不等式表达出来．

【解答】解：依题意，且三次后全部进入，

即，

故不等式组为

故答案为：

【点评】在使用不等式解决实际问题时，关键的步骤是仔细分析题意，从题目中找到合适的变量及不等关系，并用不等式（组将数量间的不等关系正确表达出来，在表达时要注意变量的取值范围，特别在实际问题中，要实际问题实际考虑．

三、解答题（本小题共3小题，满分45分）

22．【分析】（Ⅰ）根据使得函数的表达式有意义可求得集合；

（Ⅱ）根据集合运算定义运算即可；

（Ⅲ）根据集合间关系可解决此题．

【解答】解：（Ⅰ）要使得函数的表达式有意义，

则，解得，，函数定义域，；

（Ⅱ）当时，，，，，，，；

（Ⅲ）

当时，即时满足题意，

当时，由得，解得，

综上，的取值范围是，．

【点评】本题考查函数定义域求法、集合运算、集合间关系、不等式组解法，考查数学运算能力．属于中档题．

23．【分析】（1）求出函数的定义域，利用定义判断是奇函数；

（2）利用单调性的定义证明函数在上单调递增；

（3）判断函数在上也单调递增，求出，时函数的最小与最大值，即可求出值域．

【解答】（1）解：函数的定义域为，，，定义域关于原点对称，

设的定义域为，任取，则，

所以函数是奇函数；

（2）证明：任取、，且，

则，

因为，所以，且，

所以，

所以函数在上单调递增；

（3）解：因为函数在上单调递增，所以在上也单调递增，

当，时，，，

所以在，上的值域是，．

【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义和应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．

24．【分析】（1）将，代入的解析式中，令，求出的零点即可；

（2）当时，，然后解关于的不等式即可；

（3）由条件，可得恒成立，即在上恒成立，然后结合二次函数的性质，即可证明．

【解答】解：（1）根据题意，当，时，，

若，即，解得或1，

即函数的零点为或1；

（2）当时，，

方程有两个根，分别为和，

当即时，的解集为，，

当即时，的解集为，

当即时，的解集为，；

（3）证明：如果函数的图象恒在直线的上方，即恒成立，

则有在上恒成立，所以△，

所以，即，所以．

【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的零点以及恒成立问题，属于中档题．