2021北京清华附中高二（上）期末数学（教师版）

2021北京清华附中高二（上）期末

数    学

一、选择题（共10小题；每小题4分共40分）

1．设集合，集合，则等于　　

A． B． C． D．

2．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的　　

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 

C．充要条件 D．非充分非必要条件

3．某物体做直线运动，位移（单位：与时间（单位：满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是　　

A． B． C． D．

4．已知，，则　　

A． B． C． D．

5．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是　　

A．与的方向相反 B．与的方向相同 

C． D．

6．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是　　

A． B． C． D．

7．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数　　

A．1 B． C．或1 D．2或1

8．如图所示，是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是　　

A．，，三点共线 B．，，，不共面 

C．，，，不共面 D．，，，共面

9．设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，，则的值为　　

A． B． C． D．

10．如图，正四棱柱满足，点在线段上移动，点在线段上移动，并且满足，则下列结论中正确的是　　

A．直线与直线可能异面 

B．直线与直线所成角随着点位置的变化而变化 

C．三角形可能是钝角三角形 

D．四棱锥的体积保持不变

二、填空题（共5小题；每小题5分共25分）

11．（5分）若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　 　．

12．（5分）若抛物线上一点到其焦点的距离为4．则点的横坐标为　 　．

13．（5分）若直线与直线互相垂直，则实数　　．

14．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为　　．

15．（5分）定义在，上的函数满足．

（ⅰ）　　．

（ⅱ）若方程有且只有两个解，则实数的取值范围是　　．

三、解答题（共6小题；共85分）

16．（13分）已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期和的单调递减区间；

（Ⅱ）当时，求函数的最小值及取得最小值时的值．

17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．

（1）若为棱的中点，求证：平面；

（2）（ⅰ）求证平面；

（ⅱ）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

18．（13分）已知函数，曲线在处的切线方程为．

（1）求函数的解析式；

（2）求在区间上的极值．

19．（14分）已知椭圆短轴的两个端点与椭圆的右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的离心率及其标准方程；

（Ⅱ）过点直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，问在轴上是否存定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（15分）已知函数，．

（Ⅰ）过原点作曲线的切线，求切线的方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）过原点作曲线，的切线，若切线的斜率与的斜率互为倒数，求证：．

21．（15分）已知非空集合，如果存在，，，且，使得，则称集合具有性质．（Ⅰ）分别判断下列集合是否具有性质（2）并说明理由；

①，2，3，；②，6，7，8，．

（Ⅱ）设是正整数且，集合，，，，2，3，，，，求证：具有性质（2）；

（Ⅲ）求最小的正整数，使得对于任意满足，2，3，，且的两个集合和，其中至少有一个集合具有性质．

参考答案

一、选择题（共10小题；每小题4分共40分）

1．【分析】根据并集的定义解答即可．

【解答】解：集合，

，

故选：．

【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键，属于基础题．

2．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．

【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，

而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，

如图示：

，

直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题．

3．【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案．

【解答】解：由，得，

则时的瞬时速度．

故选：．

【点评】本题考查导数的定义以及计算，注意导数的物理意义，属于基础题．

4．【分析】利用对数的运算性质求解．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．

5．【分析】根据向量的几何意义判断即可．

【解答】解：当时，与方向相同，故错误；

，，

与方向相同，故正确；

当时，，故错误；

是数，是向量，不能比较大小，故错误；

故选：．

【点评】本题考查了向量的基本知识，考查向量的模和向量有关的基本概念，是一道基础题．

6．【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

又由圆截直线所得弦的长度为4，则有，解可得；

故选：．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．

7．【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值．

【解答】解：，即时，直线化为，

它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；

，即时，直线化为，

它在两坐标轴上的截距为，解得；

综上所述，实数或．

故选：．

【点评】本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．

8．【分析】本题利用直接法进行判断．先观察图形判断，，三点共线，为了要证明，，三点共线，先将看成是在平面与平面的交线上，利用同样的方法证明点、也是在平面与平面的交线上，从而证明三点共线．

【解答】解：连接，，则，

、、、四点共面，

平面，

，平面，又平面，

在平面与平面的交线上，

同理在平面与平面的交线上，

、、三点共线．

故选：．

【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论、三点共线及空间想象能力，属于基础题．

9．【分析】利用正弦定理，可得，再利用余弦定理，即可求的值．

【解答】解：，，，

，

，

；

故选：．

【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

10．【分析】如图所示，连接有关线段．设，为，的中点，的中点为，可得与都是以为中点，由此可判定错误；利用线面垂直可以得到，从而否定；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定为锐角三角形，从而否定；利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定．

【解答】解：如图所示，连接有关线段．

设，为，的中点，即为上下底面的中心，

的中点为，则的中点也是，

又，由对称性可得也是的中点，

所以与交于点，故不是异面直线，故错误；

由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面，

因为平面，，故错误；

设，则，设，，

易得，，

，

因为，

则为锐角；

因为，

则为锐角，

因为，

当时取得最小值为，

则为锐角，故为锐角三角形，故错误；

三棱锥也可以看作和的组合体，

由于是固定的，，到平面的距离是不变的

易知，平行与平面，故体积不变，

故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查异面直线所成的角，异面直线的判定，棱柱的结构特征等知识，属于中等题．

二、填空题（共5小题；每小题5分共25分）

11．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得的值．

【解答】解：，

由复数为纯虚数，得，解得．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

12．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知，则到准线的距离也为3，即点的横坐标，将的值代入，进而求出．

【解答】解：抛物线，

，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，

，

，

故答案为：3．

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

13．【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为，列出方程求出的值．

【解答】解：直线的斜率为

直线的斜率为

两直线垂直

解得

故答案为：1

【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为．

14．【分析】利用已知条件转化为关于、的不等式，然后求解离心率的范围即可．

【解答】解：易知，因为渐近线，所以，

由化简得，即，

所以，从而，

解得．

故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

15．【分析】根据解析式，利用递推法即可得出；

利用图象的平移变换得到函数的图象，利用数形结合方法求得．

【解答】解：；

因为时，，

所以的图象由在，之间的抛物线的一部分逐次向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，如图所示，

已知，，的斜率依次为1，，，

由图可知若方程有且只有两个解，

则实数的取值范围是，，，

故答案为：；，，．

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，递推求值，属于中档题．

三、解答题（共6小题；共85分）

16．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可．

（Ⅱ）求出角的范围，利用三角函数的最值进行求解即可．

【解答】解：（Ⅰ），

则函数的最小正周期，

由，，

得，，

即，，即函数的单调递减区间为，，，

（Ⅱ）当时，，，则，，

则当，即，即时，函数取得最小值，最小值．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的单调性和最值性是解决本题的关键，是中档题．

17．【分析】（1）取的中点，连接，，由平行四边形的判定和性质，以及线面平行的判定定理，即可得证；

（2）（ⅰ）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．由向量法，结合向量垂直的性质，以及线面垂直的判定定理可得证明；

（ⅱ）由线面垂直可得可作为平面的法向量，求得的坐标，由向量的夹角公式，结合已知条件，解方程可得所求值．

【解答】解：（1）取的中点，连接，，，，

，，所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）（ⅰ）因为平面，平面，平面，

所以，，

又因为，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

由已知可得，0，，，0，，，4，，，2，，，0，，，1，，

所以，，，，4，，，0，，

因为，，所以，，

由，平面，平面，

所以平面．

（ⅱ）由（ⅰ）可知平面，

，，可作为平面的法向量，

设，即，，，

所以，，，即有，，，

因为直线与平面所成角的正弦值为，

所以，．

即，

解得，即．

【点评】本题考查线面平行与垂直的判定和线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

18．【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率列出方程，切点在切线上也在曲线上，列出方程，求解，即可．

（2）利用导函数切线极值点，判断函数的单调性推出函数的极值即可．

【解答】解：（1）因为，

所以，．

所以，曲线在处的切线方程的

斜率．

又因为，

所以，①

又因为（1）

所以，②

联立①②解得，．

所以，．

（2）由（1）知，，

令得，，

当，，单调递增；

当，，单调递减；

当，，单调递增．

所以在区间上的极小值为（3），

极大值为．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．

19．【分析】（Ⅰ）由三角形的面积和等腰直角三角形可得，进而可得的值，写出椭圆的方程及椭圆的离心率的值；

（Ⅱ）分类讨论当直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，当直线的斜率存在时，设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出的中点的坐标及弦长的表达式，假设存在定点的坐标，求出的表达式，满足条件整理可得，由各项的系数相等可得的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆短轴的两个端点与椭圆的右焦点构成面积为1的等腰直角三角形，

可得，可得，且，

可得，，

所以椭圆的方程为：，离心率，

所以椭圆的离心率为；

其标准方程为：；

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意可得直线的方程为，可得，

且的中点为为原点，这时当与或重合时使得，

即存在为短轴的顶点时满足条件；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，，，，

，整理可得：，

可得，，，

可得，的中点，，

假设存在，满足条件，

则，

，

因为，则，

整理可得：，

所以，解得，

所以定点，

综上所述：存在定点满足条件．

【点评】本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合应用，三角形面积的应用，恒过定点的求法，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）设切线的方程为，切点为，，根据切点求出切线方程，再将原点代替方程求解即可；

（Ⅱ）先求导函数，对分情况讨论求单调区间；

（Ⅲ）先求出直线的斜率，再利用切线，的斜率互为倒数，求出直线的斜率，从而求出直线的方程，再构造函数，求导并分析函数的单调性，从而求出的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设切线的方程为，切点为，，则，

，所以，，则，

由题意知，切线的方程为，

（Ⅱ）依题意，函数的定义域为，对求导，得，

①若，对一切有，函数的单调递增区间是，

②若，当时，；当，时，，

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，；

（Ⅲ）证明：设与曲线的切点为，，

切线的斜率与的斜率互为倒数，

，

所以，所以，

又因为，消去和后，整理得，

令，则，在上单调递减，在上单调递增，

若，因为，（1），所以，，

而，在，上单调递减，所以，

若，因为在上单调递增，且（e），则，

所以（舍去），

综上可知：．

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是难题．

21．【分析】按照定义判断是否存在，，使得成立即可；

结合题意，由 判断存在，即证结论；

根据题意，2，3，，时，至少有一个集合具有性质，即得最小的正整数．

【解答】解：依题意，如果存在，，使得，则称集合具有性质（2）．

①集合，2，3， 中，，2，3，，故该集合具有性质（2）；

②集合，6，7，8，中，最小数字之和，大于集合中的最大数字9，故不存在，，使得，即该集合不具有性质（2）；

因为集合，，，，2，3，，，，是正整数且，

所以后面的集合始终至少比前面集合多出两个元素，，，，，2，3，，5，，

，2，3，，，，

故存在，故该集合具有性质（2）；

因为，2，3，，，且，

所以，

因为，，满足题意，

故，2，3，，时，至少有一个集合具有性质．

故最小的正整数为100．

【点评】本题考查集合的新定义，考查学生的分析能力，属于中档题．