2021北京清华附中朝阳学校高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京清华附中朝阳学校高一（上）期中数学（教师版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京清华附中朝阳学校高一（上）期中
数 学
2021年11月3日
（清华附中朝阳学校）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）
1．已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2. 下列函数是偶函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 实数，“”是“”的（ ）条件
（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D）既不充分也不必要
5．已知，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
6. 函数的零点所在的区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7. 已知函数可表示为






1
2
3
4
则下列结论正确的是（ ）
（A） （B）的值域是
（C）的值域是 （D）在区间上单调递增
8. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为,其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
（A）　　　 （B） （C） （D）
10. 已知函数，，，，则正确是（ ）
（A）函数和的图象有且只有一个公共点
（B），当时，恒有
（C）当时，，
（D）当时，方程有解
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．
11. 函数的定义域是________．
12. 已知，，且，则的最大值为_________．
13. _________．
14. 已知奇函数的定义域为，当时，，则当时， 函数在定义域内的值域为___________.
15. 方程的根为，方程的根为，则
16. 已知函数,如果函数满足对任意，都存在，
使得,称实数为函数的包容数.
在 ①； ② ；③ ；④ ；⑤ 中，函数的包容数是_____ ______．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
17．（本小题13分）
已知全集，集合， ．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设非空集合，若，求实数a的取值范围．
18. （本小题13分）
已知函数
（Ⅰ）若的解集，求的值.
（Ⅱ）分类讨论不等式的解集.



19. （本小题13分）
已知函数的图象过原点，且．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）判断并用定义证明函数在区间上的单调性．



20. （本小题13分）
2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品. 在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场. 已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元. 设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且
（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
（Ⅱ）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.

21.（本小题14分）
已知函数的定义域为，且满足下列条件：
（）． （）对于任意的，，总有．
（）对于任意的，，，．
（Ⅰ）求及的值．
（Ⅱ）求证：函数为奇函数．
（Ⅲ）若，求实数的取值范围．



22.（本小题14分）
定义：给定整数，如果非空集合满足如下3个条件：
① ② ③ 若, 则
则称集合为“减集”
（Ⅰ）是否为“减集”？是否为“减集”？简要说明理由.
（Ⅱ）证明：不存在 “减集”？
（Ⅲ）是否存在“减集”？如果存在，求出所有“减集”；如果不存在，说明理由。

参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算直接求解.
【详解】，

故选：B
2. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本初等函数的奇偶性判断可得；
【详解】解：对于A：定义域为，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：定义域为，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，故B错误；
对于C：定义域为，且，即为偶函数，故C正确；
对于D：定义域为，且，即为奇函数，故D错误；
故选：C
3. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求解
【详解】对于A. ，，则，成立
对于B. ，，；
对于C. ，；
对于D. 若，则不成立
故选A.
4. 实数，“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要性的定义，判断题设条件间的推出关系，即可确定它们的充分、必要关系.
【详解】当时，必有，但不一定，如：显然不成立，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
由是单调递减函数，
，所以
是单调递减函数，
，
所以
故选：A
6. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数在上的范围，排除A；再判断在区间上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.
【详解】因为是定义在上的连续函数，
当时，，所以，即零点不可能在内；
任取，则
，
因为，所以，，即，即，
所以在上单调递增；
又，，，，
根据零点存在性定理，可得在内有零点，
故选：C.
7. 已知函数可表示为（ ）






1
2
3
4
则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的值域是
C. 的值域是 D. 在区间上单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】
，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.
【详解】A. ，所以该选项错误；
B. 由表得的值域是，所以该选项正确；
C. 由表得值域是，不是，所以该选项错误；
D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.
故选：B
【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.
8. 已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）
A. 8100 B. 900 C. 81 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用鲑鱼游速为2m/s时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可.
【详解】解：当鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量：
,解得；
当鲑鱼游静止时的耗氧量：
,解得；
所以.
故选：C
【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.
10. 已知函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数和的图象有且只有一个公共点
B. ，当时，恒有
C. 当时，，
D. 当时，方程有解
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，易知两个函数都过，又指数函数是爆炸式增长，还会出现一个交点，可知函数和图像有两个公共点；对于B，取特殊点，此时；对于C，当时，作图可知，有恒成立；对于D，当时，易知两个函数都过点，即方程有解；
【详解】对于A，指数函数与一次函数都过，但在x增大时时爆炸式增长，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数和的图像有两个公共点，故A错误；

对于B，取，，当时，，此时，故B错误；
对于C，当时，指数函数与对数函数互为反函数，两函数图像关于直线对称，如图所示，

由图可知，，有恒成立，故C错误；
对于D，当时，，，由知，，且两个函数都过点，即方程有解，故D正确；
故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）.
11. 函数的定义域是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不等于以及真数位置大于列不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】由题意可得：，解得：且，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
12. 已知，，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解即可.
【详解】解：因为，
所以，即，当且仅当取等号，
所以的最大值为，
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13. _________.
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用指数和对数的运算性质求解即可
【详解】


，
故答案为：5
14. 已知奇函数的定义域为，当时，，则当时，________；函数在定义域内的值域为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设，即可得到，再根据奇偶性的性质求出在上的解析式，再根据奇函数的性质得到，从而求出在定义域上的解析式，即可画出函数图象，结合函数图象得到函数的值域；
【详解】解：设，则，，因为为奇函数，所以，所以，又是定义域为上的奇函数，所以，所以，函数图象如下所示：

所以

故答案为：；
15. 方程的根为，方程的根为，则__________
【答案】2
【解析】
【分析】利用方程的根于函数图象的交点之间的关系，结合指数函数和对数函数互为反函数的关系，作出图象即可求解
【详解】是方程的根，就是和图象交点的横坐标；
是方程的根，就是和图象交点的横坐标；
在同一坐标系中画出函数，，的图象，如图所示：

由图可知，是和图象交点的横坐标，
是和图象交点的横坐标，
因为与互为反函数，
所以图象关于直线对称，
故点，也关于直线对称，
所以点，为，，
而点，又在上，
所以，，
即，
所以，
故答案为：2
16. 已知函数，如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数，在①；②；③；④；⑤中，函数的包容数是_________（填出所有正确答案的序号）.
【答案】②③
【解析】
【分析】求得函数在区间上的值域为，设函数在区间上的值域为，由题意可得，对实数分和两种情况讨论，求出，结合可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，进而可得出结论.
【详解】当时，为增函数，则.
设函数在区间上的值域为，由题意可得，
分以下两种情况讨论：
（i）当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
此时，，此时，不符合题意；
（ii）当时，函数在区间上单调递减，此时，由，可得，
所以不符合题意，、满足不等式，、不满足不等式.因此，和是函数的包容数，
故答案为：②③.
三、简答题
17. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）设非空集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别解不等式，化简两集合，再进行并集运算即可求解；
（2）由（1），根据集合非空，且，列出不等式求解，即可得出结果.
【小问1详解】
因为，，
所以
【小问2详解】
因为，所以或，
因为非空集合，，
所以或，解得：或，
所以实数的取值范围为：.
18. 已知函数.
（1）若解集或，求的值；
（2）分类讨论不等式的解集.
【答案】（1）1 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得方程的两个根为2和，从而可得，进而可求出的值，
（2）分， ，，和五种情况讨论即可
【小问1详解】
因为的解集或，
所以方程的两个根为2和，
所以，解得
【小问2详解】
当时，，解得，
当时，由，得，
当时，解得或，
当时，，解得，
当时，解得，
当时，，解得，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
19. 已知函数的图像过原点，且.
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性.
【答案】（1）
（2）函数在区间上单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）、因为函数的图像过原点，故，与联立解出的值；
（2）、将的值代入求出表达式；用定义法证明函数在上的单调性.
【小问1详解】
函数的图像过原点，，
又，，；
【小问2详解】
，，，
在区间上任取，
，，，
，
在区间上单调递减.
20. 2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】（1）
（2）当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可，
（2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可
【小问1详解】
当时，

，
当时，

，
所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为

【小问2详解】
当时，，
所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450，
当时，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490，
因，
所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
21. 已知函数的定义域为，且满足下列条件：（）；（）对于任意的，，总有；（）对于任意的，，，.
（1）求及的值；
（2）求证：函数为奇函数；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）得到，取，则，得到答案.
（2）变换得到，计算得到证明.
（3）变换得到，，证明函数单调递增，将不等式转化为，根据函数单调性得到答案.
【小问1详解】
，取，得到，即.
取，则，即.
【小问2详解】
，取，则，
即
.则，
故为奇函数.
【小问3详解】
不妨设，则，即，函数单调递增.
，则，
取，得到，得到.
，即，
即，
即，解得或.
22. 定义：给定整数，如果非空集合满足如下3个条件：①；② ；③ 若， 则；则称集合为“减集”.
（1）是否为“减集”？是否为“减集”？简要说明理由；
（2）证明：不存在 “减集”？
（3）是否存在“减集”？如果存在，求出所有“减集”；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）是“减0集”不是“减1集”．
（2）证明见解析 （3）存在“减集”，答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给定义判断即可；
（2）利用反证法证明即可；
（3）根据所给定义，假设，即可得到，即可得到1个“减集”，依次类推即可；
【小问1详解】
解：，，，，是“减0集”
同理，，，，，不是“减1集”．
【小问2详解】
证明：假设存在是“减2集”，则若，
那么，①当时，有，
则，一个为2，一个为4，所以集合中有元素6，
但是，，与是“减2集”，矛盾；
②当时，则或者，
若，时为除1以外的最小元素，则，时，小于，
如果要符合题意必须，此时取，，不属于，故不符合题意．
时，，同样得出矛盾．
综上可得：不存在是“减2集”．
【小问3详解】
存在“减1集” ．则．
①假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．
假设，，而，因此．
假设，，而，因此．
因此可以有，．
假设，，而，因此．
假设，，，，，因此．
因此可以有，3，．
以此类推可得：，3，5，，，，，
以及的满足以下条件的非空子集：，，，3，，，3，5，，．