2021北京师大三附中高二（上）期末数学（教师版）

2021北京师大三附中高二（上）期末

数    学

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1．（4分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（4分）已知空间向量，2，，，，，且与垂直，则等于　　

A．4 B．1 C．3 D．2

3．（4分）如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是　　

A． B． C． D．

4．（4分）和直线关于轴对称的直线方程为　　

A． B． C． D．

5．（4分）经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程是　　

A． B． C． D．

6．（4分）已知两定点，，如果动点满足条件，则点的轨迹所包围的图形的面积等于　　

A． B． C． D．

7．（4分）正方体中，点为中点，平面与平面所成二面角的余弦值为　　

A． B． C． D．

8．（4分）若焦点在轴上的椭圆的离心率是，则等于　　

A． B． C． D．

9．（4分）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则△的面积等于　　

A． B． C．24 D．48

10．（4分）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为　　

A．， B．， C．， D．，

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11．（5分）圆心为且与直线相切的圆的方程是 　　．

12．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为 　　．

13．（5分）椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则　　．

14．（5分）曲线与直线恰有1个公共点，则的取值范围为 　　．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）

15．（10分）设点关于轴的对称点为，求过点且与直线垂直的直线的方程．

16．（10分）抛物线截直线所得弦长为．

（1）求的值；

（2）以此弦为底边，以轴上点为顶点的三角形面积为9，求点坐标．

17．（10分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为中点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

18．（10分）已知椭圆的离心率为，经过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，且点在线段上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求直线的方程．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1．【分析】先对已知复数进行化简，然后求出共轭复数，结合几何意义即可求解．

【解答】解：的共轭复数对应的点位于第四象限．

故选：．

【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2．【分析】根据，可得，解得．

【解答】解：，

，解得，

故选：．

【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．

【解答】解：

故选：．

【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．

4．【分析】设所求直线上的点，求出点关于轴对称的点为，由点在直线上，即可得到答案．

【解答】解：设所求直线上的点，

则点关于轴对称的点为，

由点在直线上，

所以，

则和直线关于轴对称的直线方程为．

故选：．

【点评】本题考查了直线关于直线的对称直线的求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

5．【分析】圆的圆心，直线的斜率，由此利用点斜式方程级求出结果．

【解答】解：圆的圆心，

直线的斜率，

经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程为：

，整理，得：．

故选：．

【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质和直线与直线的位置关系的合理运用．

6．【分析】设点的坐标为，用坐标表示、，代入等式，整理即得点的轨迹方程，然后根据轨迹确定面积．

【解答】解：已知两定点，，如果动点满足，设点的坐标为，

则，即，

所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，

所以点的轨迹所包围的图形的面积等于，

故选：．

【点评】考查两点间距离公式及圆的性质．是训练基础知识的好题．

7．【分析】延长与相交于，连接，过点作于，连接，先证为平面与平面所成二面角的平面角，再利用求其余弦值．

【解答】解：延长与相交于，连接，过点作于，连接，

因为为中点，易证，

所以，所以为的中点，

因为平面，平面，

所以，又因为，平面，平面，

所以平面，又平面，

所以，

所以为平面与平面所成二面角的平面角，

设正方体的棱长为2，

在中，易得，

在中，，所以，

所以．

故选：．

【点评】本题考查二面角的求法，属中档题．

8．【分析】先根据椭圆的标准方程求得，，，再结合椭圆的离心率公式列出关于的方程，解之即得答案．

【解答】解：由题意，则

，

化简后得，

故选：．

【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得，，，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．

9．【分析】先由双曲线的方程求出，再由，求出，，由此能求出△的面积．

【解答】解：，，，

，设，则，

由双曲线的性质知，解得．

，，

，

△的面积．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

10．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当，和焦点三点共线且点在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．

【解答】解：

，焦点坐标为

过作准线的垂线于，由，

依题意可知当，和三点共线且点在中间的时候，

距离之和最小如图，

故的纵坐标为，然后代入抛物线方程求得，

故选：．

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，考查抛物线的定义，属基础题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11．【分析】先求圆的半径，再求圆的标准方程．

【解答】解：圆心到直线的距离就是圆的半径：．

所以圆的标准方程：

故答案为：

【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．

12．【分析】由题意，可得，，再由解出的值，由解出，即可得出双曲线的方程

【解答】解：由题意，，

由，可解得，

又，解得

所以双曲线的方程为

故答案为

【点评】本题考查双曲线的性质，解题的关键是理解性质，利用性质建立方程求出，的值，本题考查了方程的思想及推理判断的能力，是双曲线的基本题

13．【分析】先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得答案．

【解答】解：椭圆的左准线方程为，

，．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的定义．属基础题．

14．【分析】由题意可得直线与半圆有公共点，当直线过点时，求得的值；当直线和半圆相切于点时，根据圆心到直线的距离等于半径求得的值，数形结合从而得到的取值范围．

【解答】解：由题意可得直线与半圆恰有1个公共点，

如图所示：当直线过点时，可得，求得．

当直线和半圆相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径可得

，求得，或（舍去），

故的取值范围是，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）

15．【分析】先求出，然后结合直线垂直的斜率关系求出直线的斜率，再结合直线的点斜式方程可求．

【解答】解：由题意得，

所以过点且与直线垂直的直线的方程为，即．

【点评】本题主要考查了点关于直线的对称，直线垂直关系的应用，还考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题．

16．【分析】（1）联立方程可得，由△有得，由弦长公式可得弦长，可求；

（2）设，，先求点，到距离，再根据，可求得坐标．

【解答】解：（1）联立方程可得，

由△有，解得，

设，，，则，，

，

解得符合题意，

；

（2）由（1）可得，则，，，

所以方程为，

设，，则点，到距离，

依题意，即，解得或，

或．

【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，关键是根据方程的根与系数的关系表示由，这是圆锥曲线的考查的热点之一，属于中档题．

17．【分析】（1）由已知证明平面，得，同理，再由直线与平面垂直的判定可得平面；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与的纵坐标，由两向量所成角的余弦值可得与平面所成角的正弦值；

（3）设，，，求出平面的一个法向量，代入点到平面的距离公式，构造方程求出值，可得结论．

【解答】（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的正方形，则，

，，，

又，平面，

平面，，同理，，

，平面；

（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，

，1，，，2，，

设平面的一个法向量，，，

则，取，得，，，

又，，，

则与平面所成角的正弦值为；

（3）解：设，，，则，，，，

再设，，为平面的一个法向量，

则，取，得，，．

又，1，，点到平面的距离，

，解得，即，1，，

在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．

18．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为，运用离心率公式和，，的关系，即可得到椭圆方程；

（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，可设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为，

由已知可得，且，

所以，即有，

则椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，可设直线，

由消，并化简整理得，

由题意可知△，设，，，，

则，

因为点，都在线段上，且，

所以，即，，，

所以，即，

所以，

解得，即．

所以直线的方程为或．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．