2022北京昌平首师大附中高一（上）期中数学（教师版）

2022北京昌平首师大附中高一（上）期中

数    学

一、选择题（每题4分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列是偶函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. “”是“”的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设方程的两个实数根为、，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C ， D. ，

6. 下列函数在区间上为减函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题是真命题的是（    ）

A 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

8. 函数的零点位于（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图是函数的图象，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C. 或 D.

10. 已知函数，给出下面四个结论：

①的定义域是；

②是偶函数；

③在区间上单调递增；

④的图像与的图像有4个不同的交点.

其中正确的结论是（    ）

A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④

二、填空题（每题5分）

11. 设函数为奇函数，且，则_________.

12. 函数的定义域是_________.

13. 若方程组的解集为，则_________，_________.

14. 若，则变量的最小值是_________，取到最小值时，_________.

15. 已知函数在上存在零点，且满足,则函数的一个解析式为  __________.（只需写出一个即可）

16. 已知函数（）．

①当时的值域为__________；

②若在区间上单调递增，则的取值范围是__________．

三、解答题（17-21题14分，22题10分）

17. 已知集合，或，全集.

（1）若，求、、、；

（2）若，求实数的取值范围.

18. 求下列不等式解集.

（1）

（2）

（3）

（4）（常数）

19. 已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性并证明；

（3）求证：函数在为增函数.

20. 函数是定义在上的偶函数，当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图：

（1）画出函数在轴右侧的图象，并写出函数的单调递增区间和单调递减区间.

（2）解不等式.

（3）求函数在上的解析式.

21. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．

（1）写出自变量x的取值范围；

（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？

22. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．

（1）当时，写出集合A的生成集B；

（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由.

参考答案

一、选择题

1.【答案】A

【解析】【分析】

根据题意，利用交集的运算即可求出.

【详解】解：由题可知，，，

由交集的运算可得.

故选：A.

2.【答案】B

【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断即可.

【详解】解：对于A：定义域为，且，故为奇函数，故A错误；

对于B：定义域为，且，故为偶函数，故B正确；

对于C：定义域为，且，故为非奇非偶函数，故C错误；

对于D：定义域为，故为非奇非偶函数，故D错误；

故选：B

3.【答案】B

【解析】由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.

【详解】由推不出，反之，由可以推出

所以“”是“”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.

4.【答案】D

【解析】【分析】利用韦达定理计算可得.

【详解】解：因为方程的两个实数根为、，

所以；

故选：D

5.【答案】A

【解析】【分析】对原命题改量词，否结论，即可求得结果.

【详解】根据题意，原命题的否定是：，.

故选：A.

6. 【答案】B

【解析】【分析】根据基本初等函数函数的单调性判断即可.

【详解】解：对于A：为常数函数，不具有单调性，故A错误；

对于B：在定义域上单调递减，故B正确；

对于C：，故函数上单调递增，故C错误；

对于D：在定义域上单调递增，故D错误；

故选：B

7. 【答案】D

【解析】【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：当时，，假命题，故错误；

对B：当时，满足，但，是假命题，故错误；

对C：当时，满足，但，，

是假命题，故错误；

对D：若，根据不等式的性质，，是真命题.

故选：D.

8.【答案】B

【解析】根据零点存在性定理求解即可.

【详解】

则函数的零点位于

故选：B

9. 【答案】C

【解析】【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.

【详解】由二次函数图象可得：若，则或，

故不等式的解集为或.

故选：C.

10.【答案】D

【解析】

【分析】可根据已知的函数解析式，通过求解函数的定义域、奇偶性、单调性和与的图像的交点个数即可判断.

【详解】函数，不难判断函数的定义域为R，故①选项是正确的；

②选项，因为，所以，故②选项也是正确的；

选项③，在区间时，，而函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故选项不正确，排除选项；

选项④，可通过画出的图像与的图像，通过观察不难得到，两个函数图像有4个交点，因此，选项④正确.

故选：D.

二、填空题

11.【答案】

【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合已知条件即可求得结果.

【详解】因为为奇函数，故可得.

故答案为：.

12.【答案】

【解析】【分析】首先分母不为零，其次根号下需要大于等于零，得到，然后求解即可.

【详解】由题可知，解得，所以定义域为.

故填：

13.【答案】    ①. ##    ②.

【解析】【分析】依题意可得，解得即可.

【详解】解：因为方程组的解集为，

所以，解得；

故答案为：；

14. 【答案】    ①.     ②.

【解析】【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号.

故答案为：；

15.【答案】（不是唯一解）

【解析】【分析】根据f（﹣2）•f（2）＞0便可想到f（x）可能为偶函数，从而想到f（x）＝x2，x＝0是该函数的零点，在（﹣2，2）内，从而可写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．

【详解】根据f（﹣2）•f（2）＞0可考虑f（x）是偶函数；

∴想到f（x）＝x2，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；

∴写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．

故答案为f（x）＝x2．

【点睛】考查函数零点定义及求法，属于基础题．

16.【答案】    ①.     ②.

【解析】【分析】当时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若在区间上单调递增，则有，解之即可得解.

【详解】解：当时，

若，则，

若，则，

所以当时的值域为；

由函数（），

可得函数在上递增，在上递增，

因为在区间上单调递增，

所以，解得，

所以若在区间上单调递增，则的取值范围是.

故答案为：；.

三、解答题

17.【答案】（1），或，，   

（2）

【解析】【分析】（1）首先求出集合，再根据交集、并集、补集的定义计算可得；

（2）首先判断，再根据交集的结果得到不等式组，解得即可.

【小问1详解】

解：当时，又或，

所以，或；

又，或，

所以，.

【小问2详解】

解：因为，所以，

又，或，，

所以，解得，即实数的取值范围为.

18.【答案】（1）   

（2）   

（3）   

（4）答案见解析.

【解析】【分析】（1）分解因式后,可得答案

（2）将其转化为一元二次不等式后可求解.

（3）将不等式两边平方，转化为一元二次不等式求解

（4）分类讨论的取值后求解.

【小问1详解】

原式，故解集为.

【小问2详解】

原式，故解集为.

【小问3详解】

原式

故解集为.

【小问4详解】

①当时，解集为

②当时，解集为

③当时，原式，解集为

综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.

19.【答案】（1）   

（2）为奇函数，证明见解析   

（3）证明见解析

【解析】【分析】（1）根据分母不为零求出函数的定义域；

（2）根据奇偶性的定义判断即可；

（3）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.

【小问1详解】

解：因为，所以，即函数的定义域为；

【小问2详解】

解：为奇函数，

证明：因为函数的定义域为，且，

所以为奇函数；

【小问3详解】

证明：设任意的且，

则

，

因为且，所以，，则，

所以，即，

所以函数在为增函数.

20.【答案】（1）图象见解析，单调递减区间为，，单调递增区间为，；   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的性质求出时函数解析式，即可得到函数图象，结合函数图象得到函数的单调区间；

（2）结合函数图象得到不等式的解集；

（3）由（1）综合可得.

【小问1详解】

解：因为当时，，

设，则，所以，

因为是定义在上的偶函数，所以，所以，

所以的函数图形如下所示：

由图可得函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，；

【小问2详解】

解：由函数图象可得或时，

当或时，

即不等式的解集为；

【小问3详解】

解：由（1）可知当时，

又当时，，

所以.

21.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）400吨．

【解析】（1）根据已知可得答案；

（2）根据已知可得每吨平均处理成本

，然后利用基本不等式可得答案.

【详解】（1）

（2）依题意，每吨平均处理成本

元，

因为，

当且仅当即时，等号成立

所以，

所以该厂每月处理量垃圾为400吨时，每吨平均处理成本最低为100元.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22.【答案】（1）   

（2）7    （3）不存在，理由见解析

【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.

（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；

（3）不存在，理由反证法说明.

【小问1详解】

，

【小问2详解】

设，不妨设，

因为，所以中元素个数大于等于7个，

又，，此时中元素个数大于等于7个，

所以生成集B中元素个数的最小值为7.

【小问3详解】

不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合A的生成集

则必有，其4个正实数的乘积；

也有，其4个正实数的乘积，矛盾；

所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集

【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.