2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合，，，那么　　

A．，2， B．，0， C．， D．，

2．（5分）在等比数列中，若，，则　　

A．10 B．16 C．24 D．32

3．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为　　

A． B． C． D．

4．（5分）在极坐标系中，点到直线的距离等于　　

A．1 B．2 C．3 D．

5．（5分）在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为　　

A．3 B． C． D．4

6．（5分）设，，，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）已知函数，，则　　

A．曲线不是轴对称图形 

B．曲线是中心对称图形 

C．函数是周期函数 

D．函数最大值为

8．（5分）一个国际象棋棋盘（由个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“”形骨牌，则　　

A．至多能剪成19块“”形骨牌 B．至多能剪成20块“”形骨牌 

C．一定能剪成21块“”形骨牌 D．前三个答案都不对

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）复数满足方程，则　　．

10．（5分）已知角的终边经过点，则　　；　　．

11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出数据的总个数为　　．

12．（5分）设，满足约束条件则的取值范围是　　．

13．（5分）能说明“若函数满足（2），则在内不存在零点”为假命题的一个函数是　　．

14．（5分）设双曲线的左焦点为，右顶点为．若在双曲线上，有且只有2个不同的点使得成立，则实数的取值范围是　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）在中，，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）试比较与的大小．

16．（14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，分别是，的中点，平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值．

17．（13分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：

根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中．

（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；

（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元．一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为元，用频率估计概率，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．

18．（13分）已知函数，其中．

（Ⅰ）如果曲线与轴相切，求的值；

（Ⅱ）若，证明：；

（Ⅲ）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围．

19．（14分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点是椭圆上异于，的一点，直线与轴交于点．

（Ⅰ）若点在椭圆的内部，求直线的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆的右焦点为，点在轴上，且，求证：为定值．

20．（13分）设正整数数列，，，满足，其中．如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”．

（Ⅰ）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？

（Ⅱ）若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中，3，，．

（Ⅲ）如果，且对于任意，3，，，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

【解答】解：集合，，

，

，0，．

故选：．

【解答】解：等比数列中，若，，则，

故选：．

【解答】解：由三视图可知：该几何体如图所示，底面，，底面是一个直角梯形，

其中，，，．

可知其最长棱长为．

故选：．

【解答】解：在极坐标系中，点，

，，

点的直角坐标方程为，

直线，

直线的直角坐标方程为，

点到直线的距离．

故选：．

【解答】解：，

故选：．

【解答】解：当，则为减函数，

又，所以，

可得，

即“”是“”的充分条件，

由“”不能推出“”，

故由“”不能推出“”，

即“”是“”的不必要条件，

即“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，函数，为轴对称图形，且其中一条对称轴为，

，为轴对称图形，且其对称轴为，

故是轴对称图形，且其对称轴为，错误；

对于，，不是中心对称图形，则曲线不是中心对称图形，错误；

对于，不是周期函数，不是周期函数，错误；

对于，，当时，取得最小值，

而，当时，取得最大值1，

则函数最大值为；正确；

故选：．

【解答】解：由下图的一个图形能剪成2块“”形骨牌，

在个国际象棋棋盘（由个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定），

共包含有10个这样的能剪成2块“”形骨牌的图形，

且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“”形骨牌，

故要将这个破损的棋盘剪成数个“”形骨牌，一定能剪成21块“”形骨牌．

故选：．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

【解答】解：由，得，

则．

故答案为：．

【解答】解：角的终边经过点，则；

，

故答案为：；．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

满足条件，执行循环体，，输出的值为3，

满足条件，执行循环体，，输出的值为7，

满足条件，执行循环体，，输出的值为15，

满足条件，执行循环体，，输出的值为31，

满足条件，执行循环体，，输出的值为63，

满足条件，执行循环体，，输出的值为127，

此时，不满足条件，退出循环，结束．

可得输出数据的总个数为6．

故答案为：6．

【解答】解：根据，满足约束条件作出可行域，

如图1所示阴影部分．

作出直线，将直线向上平移至过点时，取得最小值：．

则的取值范围是，．

故答案为：，．

【解答】解：可举函数，

可得，（2），

即有（2），

但在内存在零点1，

可说明“若定义在上的函数满足（2），

则在区间上不存在零点”为假命题．

故答案为：．

【解答】解：双曲线的左焦点为，右顶点为．设，可得：，推出，

，，，

可得，，，，

如图：

当：时，在双曲线上，有且只有2个不同的点使得成立，

故答案为：．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

【解答】（本题满分为13分）

解：（Ⅰ），，．

由正弦定理可得：，分

；分

（Ⅱ），可得：，分

，

，分

，分

，

，分

，

又函数在上单调递减，且，，

分

【解答】证明：（Ⅰ）平面，平面，，

正方形，，

，平面，

平面，

平面平面．

（Ⅱ）设中点为，连结，，

，分别是，的中点，，且，

又，，，

，四边形为平行四边形，

，

平面，平面，

平面．

解：（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，两两互相垂直，以为原点，

，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

是边长为2的菱形，为的中点，且，

，，0，，，0，，，，，，0，，

，，，，，，，，，，0，，

，，，，0，，，，，

设平面的法向量，，，

则，令，则，

设直线与平面所成角为，

则．

直线与平面所成角的正弦值为．

【解答】解：（Ⅰ）由，

解得，

所以甲企业的样本中次品的频率为，

即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是0.14；

（Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为，

二等品的概率为，三等品的概率为，

由题意知，随机变量的可能取值为：120，150，180，210，240；

且，，，

，，

随机变量的分布列为：

所以的数学期望为；

（Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；

①以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，

由图表可知，甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，

所以认为乙企业的食品生产质量更高．

②以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论．

③以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4，

乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，

所以乙企业的食品生产质量更高．

④根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．

【解答】解：求导．得

曲线与轴相切，此切线的斜率为0．

由，解得，

又由曲线与轴相切，得（1）

解得．

证明由题意，，

 令函数

 求导，得

 由，得，

 当变化时，与的变化情况如下表所示：

函数在上单调递增，在，单调递减，

故当时，，

任给，，即，

（Ⅲ）由题意可得，，

，

当时，在上恒成立，函数单调递增，

当时，在上恒成立，函数单调递减，

在上恒成立，或在上恒成立，

在上恒成立，或在上恒成立，

令，

，

由，解得，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

（1），（e），

（1）

（2），

或，

或，

函数在区间上不是单调函数，

，

故的取值范围为，．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，

，

，，

椭圆的方程为，

设，由点在椭圆的内部，得，

又，

直线的斜率，，

又为椭圆上异于，的一点，

，，，

证明（Ⅱ）由题意，，，，其中，

则，

直线的方程为，

令，得点的坐标为，

，

直线的方程为，

令，得点的坐标为，

由，，，，

，

，

即，

故为定值

【解答】解：（Ⅰ）由不为整数，

可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；

数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，

则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；

（Ⅱ）证明：若为偶数，设，考虑1，2，3，，这项，其和为．

所以这项的算术平均值为：，此数不是整数；

若为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，；

这项，其和为，所以这项的算术平均数为：，

此数不是整数；故数列，1，2，3，4，，不是“阶平衡数列”，其中，3，4，；

（Ⅲ）在数列中任意两项，，，

对于任意，3，4，5，，，在中任意取两项，，相异的项，

并设这项和为．由题意可得，都是的倍数，

即，，，为整数），可得，

即数列中任意两项之差都是的倍数，，3，，，

因此所求数列的任意两项之差都是2，3，，的倍数，

如果数列的项数超过8，那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，

即，，，均为420的倍数，为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），

，

即，这与矛盾，

故数列的项数至多7项．

数列的项数为7，那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，

即，，，均为60的倍数，为2，3，4，5，6的最小公倍数），

又，且，

所以，，，，

所以，

当且仅当，，，取得最大值12873；

验证可得此数列为“阶平衡数列”， ，3，，，

如果数列的项数小于或等于6，由，

可得数列中所有项的之和小于或等于，

综上可得数列中所有元素之和的最大值为12873．

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日期：2019/12/17 21:15:47；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267