2022北京西城高二（上）期末数学（教师版）

2022北京西城高二（上）期末

数    学

本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 方程组的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C  D.

4. 为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（    ）

A. 0.38 B. 0.61

C. 0.122 D. 0.75

5. 若，，则一定有（    ）

A.  B.  C.  D. 以上答案都不对

6. 已知向量，，那么（    ）

A. 5 B.  C. 8 D.

7. 若，则（    ）

A.  B. a C. 2a D. 4a

8. 设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

第二部分（非选择题　共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 命题“，”的否定是______．

12. 茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲，乙的平均成绩分别为a，b，则a，b的大小关系是______．

13. 若不等式的解集为，则______，______．

14. 如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量______．（用，表示）

15. 设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”．

对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：

①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；

②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且） ：

③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；

④函数不是“T—单调增函数”．

其中，所有正确的结论序号是______．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．

（1）求丙答题正确的概率；

（2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．

17. 设，其中．

（1）当时，求函数图像与直线交点的坐标；

（2）若函数有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；

（3）若函数在上不具有单调性，求a的取值范围．

18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：

（1）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；

（2）设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求的概率；

（3）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）

19 已知函数．

（1）若，求a的值；

（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若对于恒成立，求实数m的范围．

20. 某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元．

（1）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？

（2）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？

21. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．

（1）当时，写出集合A的生成集B；

（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 【答案】C

【解析】

【分析】解不等式，直接求并集.

【详解】由已知得，

所以，

故选：C.

2. 【答案】A

【解析】

【分析】解出方程组，写成集合形式.

【详解】由可得：或.

所以方程组的解集是.

故选：A

3. 【答案】B

【解析】

【分析】解不等式组即可得定义域.

【详解】由得：

所以函数的定义域是.

故选：B

4. 【答案】B

【解析】

【分析】利用频率组距，即可得解.

【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率

故选：B

5. 【答案】D

【解析】

【分析】对于ABC，举例判断，

【详解】对于AB，若，则，所以AB错误，

对于C，若，则，所以C错误，

故选：D

6. 【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.

【详解】因为向量，，所以

.

故选：B.

7. 【答案】A

【解析】

【分析】利用对数的运算可求解.

【详解】，

故选：A

8. 【答案】A

【解析】

【分析】结合充分条件和必要条件的概念以及向量共线即可判断.

【详解】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；

必要性：若，，则向量，共线，但不存在实数，使得，即必要性不成立.

故选：A.

9. 【答案】D

【解析】

【分析】根据函数单调性结合零点即可得解.

【详解】为上的奇函数，

且在上单调递增，，

得：或

解得.

故选：D

10. 【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.

【详解】因为点C为的中点，，所以，

所以

，

因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，

所以的取值范围是,

故选：D.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 【答案】

【解析】

【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；

【详解】命题“，”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，

故其否定为“”

故答案为：
12. 【答案】

【解析】

【分析】分别计算出甲，乙的平均分，从而可比较a，b的大小关系.

【详解】易知甲的平均分为，

乙的平均分为，所以.

故答案为：.

13. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由题设知：是的根，应用根与系数关系即可求参数值.

【详解】由题设，是的根，

∴，即，.

故答案为：，.

14. 【答案】##

【解析】

【分析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得，进而得到结果.

【详解】由正六边形的性质知：，

∴.

故答案为：.

15. 【答案】②③④

【解析】

【分析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.

【详解】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；

②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；

③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；

④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.

故答案为：②③④

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解；

（2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解.

【小问1详解】

记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，

设丙答对题的概率，乙答对题的概率，

由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.

根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得，

所以丙对这道题的概率为

【小问2详解】

甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为

17. 【答案】（1），   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）联立方程直接计算；

（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解；

（3）根据二次函数单调性可得参数范围.

【小问1详解】

当时，，

联立方程，解得：或，

即交点坐标为和.

【小问2详解】

由有两个不相等的正数零点，

得方程有两个不等的正实根，，

即，解得；

【小问3详解】

函数在上单调递增，在上单调递减；

又函数在上不具有单调性，

所以，即.

18. 【答案】（1）5    （2）   

（3）6，7，8

【解析】

【分析】（1）由题意得，又，即可求得x的最小值；

（2）利用列举法能求出古典概型的概率；

（3）由题设条件能求出的可能的取值为.

【小问1详解】

由题意得，即.

又根据题意知，，

所以x的最小值此为5.

【小问2详解】

设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，

记甲的4局比赛为，各局的得分分别是；乙的4局比赛为，各局的得分分别是.

则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，.

而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，，

∴事件的概率.

【小问3详解】

的所有可能取值为6，7，8.

19. 【答案】（1）   

（2）奇函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；

（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；

（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.

【小问1详解】

，，即，解得，

所以a的值为

【小问2详解】

为奇函数，证明如下：

由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，

又，

所以为奇函数；

【小问3详解】

因为，

又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，

由复合函数的单调性知函数在上为增函数，

所以，

又对于恒成立，所以，所以，

所以实数的范围是

20. 【答案】（1）该渔船捕捞3年开始盈利；   

（2）万元.

【解析】

【分析】（1）由题设可得，解一元二次不等式即可确定第几年开始盈利.

（2）由平均盈利额，应用基本不等式求最值注意等号成立条件，进而计算总收益.

【小问1详解】

由题意，渔船捕捞利润，解得，

又，，故，

∴该渔船捕捞3年开始盈利.

【小问2详解】

由题意，平均盈利额，当且仅当时等号成立，

∴在第7年平均盈利额达到最大，总收益为万元.

21. 【答案】（1）   

（2）7    （3）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.

（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；

（3）不存在，理由反证法说明.

【小问1详解】

，

【小问2详解】

设，不妨设，

因为，所以中元素个数大于等于7个，

又，，此时中元素个数大于等于7个，

所以生成集B中元素个数的最小值为7.

【小问3详解】

不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合A的生成集

则必有，其4个正实数的乘积；

也有，其4个正实数乘积，矛盾；

所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集

【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.