人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算课后作业题

1．1.2　空间向量的数量积运算

1．已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3则(6a)·(b)＝(　　)

A.15　　　B．3　 　 　C．－3　　　D．5

2．在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　　)

A.2    B．1    C．－1    D．0

3．已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a＋b－2c|＝(　　)

A.　    B．    C．2　    D．

4．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为(　　)

A.30°    B．45°

C.60°    D．以上都不对

5．[2023·辽宁鞍山一中高二检测]正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为1，O为棱B1D的中点，则有(　　)

A.·＝2    B．·＝

C.·＝1    D．·＝

6.

(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)

A.2·    B．2·

C.2·    D．2·

7．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

8．空间四边形OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈，〉的值为________．

1．设，，为空间单位向量，⊥，〈，〉＝〈，〉＝60°，＝2－＋3，则||＝(　　)

A.    B．

C.    D．

2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)

A.钝角三角形    B．锐角三角形

C.直角三角形    D．不确定

3．平行六面体(底面是平行四边形的棱柱)ABCD ­ A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝1，则AC1＝(　　)

A.    B．6

C.3    D．

4．如图所示，平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，若线段AC1＝，则∠DAA1＝(　　)

A.30°　　B．45°    C．60°　　D．90°

5．[2023·山东菏泽高二检测]在棱长为4的正四面体P ­ ABC中，E是棱AB中点，则·＝(　　)

A.4    B．－4

C.2    D．

6．[2023·河北沧州高二检测](多选)在棱长均为1的四面体ABCD中，下列结论正确的是(　　)

A.·＝0

B.＋＋＋＝0

C.·＝·

D.|2＋|＝2

7．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________．

8．[2023·广东顺德一中高二检测]已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则·＝________．

9.

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．

(1)求的长；

(2)求cos 〈，〉的值．

10．[2023·安徽马鞍山二中高二检测]棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)OABC中，若M是BC的中点，N在OM上且ON＝MN，记＝a，＝b，＝c.

(1)用向量a，b，c表示向量；

(2)若AP＝AN，求||.

1．(多选)已知ABCD ­ A1B1C1D1为正方体，则下列说法正确的有(　　)

D.在面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条

2．[2023·山东新泰一中高二检测]在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，向量在向量方向上的投影向量的模是________．

3．如图，在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AD1＝2，∠BAD＝60°，∠BAA1＝45°，AC与BD相交于点O.

(1)求·；

(2)求∠DAA1；

(3)求OA1的长．

1．1.2　空间向量的数量积运算

必备知识基础练

1．答案：B

解析：∵向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，∴(6a)·(b)＝3a·b＝3×(3e1＋2e2－e3)(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.故选B.

2．答案：D

解析：由题意可知a⊥b，a⊥c，因此a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.故选D.

3．答案：B

解析：|a＋b－2c|＝

＝

＝

＝.

故选B.

4．答案：D

解析：设a与b的夹角为θ，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，因为|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，所以4＋2×2×3cos θ＋9＝16，解得cos θ＝.故选D.

5．答案：B

解析：

对于A，·＝·＝1，故A错误；对于B，·＝2＝，故B正确；对于C，AB⊥平面A1ADD1，则·＝0，故C错误；对于D，＝＋，＝(＋＋)，由垂直关系化简得·＝·＋·＝－＋＝0，故D错误．故选B.

6．答案：AC

解析：在空间四边形ABCD中，，夹角为60°，所以2·＝2×||×||cos 60°＝a2.故A正确；，夹角为120°，所以2·＝2×||×||cos 120°＝－a2.故B错误；因为点F，G分别是AD，DC的中点，所以FG∥AC且||＝||，所以，夹角为0°，所以2·＝2×||×||cos 0°＝a2.故C正确；因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，||＝||，所以，夹角为120°，所以2·＝2×||×||cos 120°＝－a2.故D错误．故选AC.

7．答案：－13

解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，则a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.

8．答案：0

解析：∵OB＝OC，∴·＝·(－)＝·－·＝||||cos －||||cos ＝0，∴cos 〈，〉＝0.

关键能力综合练

1．答案：C

解析：||＝

＝

＝ ＝.

故选C.

2．答案：C

解析：

如图，根据条件：·＝(＋)·＝(·＋·)＝0，∴⊥，∴△AMD为直角三角形．故选C.

3．答案：A

解析：由空间向量可得＝＋＋，2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2||·||cos ∠BAD＋2||·||cos ∠A1AD＋2||·||cos ∠A1AB＝3＋2cos 60°＋2cos 60°＋2cos 60°＝6，所以||＝AC1＝.故选A.

4．答案：C

解析：∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×cos ∠DAA1＝2，∴cos ∠DAA1＝，∠DAA1＝60°，故选C.

5．答案：B

解析：

如图所示，若F为AC中点，连接PF，EF，又E是棱AB中点，所以EF∥BC且BC＝2EF，故PE，BC夹角为∠PEF或其补角，因为正四面体P ­ ABC各棱长为4，故四面体各面均为等边三角形，所以PF＝PE＝2，EF＝2，且cos ∠PEF＝，而，所成角为∠PEF的补角，故·＝－||·||cos ∠PEF＝－2×4×＝－4.故选B.

6．答案：ABC

解析：

如图所示，取CD的中点M，连接AM，BM，∴AM⊥CD，BM⊥CD，AM∩BM＝M，AM，BM⊂平面ABM，所以CD⊥平面ABM，又AB⊂平面ABM，所以CD⊥AB，则·＝0，故A正确；因为＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，故B正确；∵AD＝AB＝CB＝CD＝1，∠BAD＝∠BCD＝60°，又·＝||·||cos ∠BAD＝1×1×＝，·＝||·||cos ∠BCD＝1×1×＝，所以·＝·，故C正确；因为|2＋|2＝42＋4·＋2＝4＋4×1×1×cos 120°＋1＝3，所以|2＋|＝，故D不正确．故选ABC.

7．答案：0

解析：如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.

8．答案：－

解析：

如图，·＝(－＋)·(－)＝(－＋)·(－＋＋)＝·－2－·－2＋·＋·＝1×1×－×12－×1×1×－×12＋×1×1×＋×1×1×＝－.

9．解析：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，

∴AB＝，

＝＋，2＝

＝2＋·＋2＝2＋×4＝3.

∴||＝.

(2)·＝(＋)(＋)

＝·＋·＋·＋·，

·＝||||·cos (π－∠ABC)＝×1×cos 135°＝－1，

·＝0，·＝0，·＝4，

∴·＝－1＋0＋0＋4＝3，

||·||＝·＝，

∴cos 〈，〉＝＝.

10．解析：(1)因为M是BC的中点，N在OM上且ON＝MN，

所以＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－a＋b＋c.

(2)由(1)可知：＝－a＋b＋c，

因为AP＝AN，

所以＝＋＝＋＝＋(－a＋b＋c)＝a＋b＋c，

而||＝ ，因为正四面体OABC的棱长为1，

所以||＝

＝

＝.

核心素养升级练

1．答案：ABD

解析：如图所示：

由向量的加法运算得＋＋＝，因为||＝||，所以(＋＋)2＝3()2，故A正确；

由正方体的性质易知⊥，所以·(－)＝·＝0，故B正确；因为△A1BC1是等边三角形，且∥，所以∠A1BC1＝60°，则与的夹角为120°，故C错误；由正方体的性质得，过A1，D的面对角线都与直线A1D所成的角都为60°，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故D正确．

2．答案：

解析：在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中向量与向量夹角为45°，所以＝||·cos 〈，〉＝||cos 〈，A1B1〉＝1×cos 45°＝.向量在向量方向上的投影向量是×＝×，向量在向量方向上的投影向量的模是|×|＝.

3．解析：(1)·＝||||cos ∠BAD＝4×2×cos 60°＝4.

(2)因为ABCD ­ A1B1C1D1为平行六面体，所以四边形AA1DD1为平行四边形，A1D1∥AD，A1D1＝AD＝2，

在三角形AA1D1中，AA1＝2，A1D1＝2，AD1＝2，

所以cos ∠D1A1A＝＝－，

所以∠D1A1A＝，

又A1D1∥AD，所以∠DAA1＝.

(3)由题意知，||＝|－－＋|，

则|OA1|2＝||2＋||2＋||2＋·－·－·＝4＋1＋8＋×4×2×－4×2×－2×2×＝3，

所以||＝.