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数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理复习练习题
展开A. eq \(OA,\s\up6(→)) B. eq \(OB,\s\up6(→))
C. eq \(OC,\s\up6(→)) D. eq \(OA,\s\up6(→))或 eq \(OB,\s\up6(→))
2.在空间四点O,A,B,C中,若{ eq \(OA,\s\up6(→)), eq \(OB,\s\up6(→)), eq \(OC,\s\up6(→))}是空间的一个基底,则下列命题不正确的是( )
A.O,A,B,C四点不共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点不共面
D.O,A,B,C四点中任意三点不共线
3.在三棱柱ABC DEF中,G为棱AD的中点,若 eq \(BA,\s\up6(→))=a, eq \(BC,\s\up6(→))=b, eq \(BD,\s\up6(→))=c,则 eq \(CG,\s\up6(→))=( )
A.-a+b-c
B. eq \f(1,2)a-b+ eq \f(1,2)c
C.- eq \f(1,2)a+b+c
D.- eq \f(1,2)a+ eq \f(1,2)b+c
4.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设=a,=b,=c,则D1M=( )
A.- eq \f(1,2)a+ eq \f(1,2)b+c B. eq \f(1,2)a- eq \f(1,2)b+c
C. eq \f(1,2)a+ eq \f(1,2)b+c D.- eq \f(1,2)a- eq \f(1,2)b+c
5.[2023·江苏南通高二测试](多选)已知a,b,c是空间的三个单位向量,下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a,b,c两两共面,则a,b,c共面
C.对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc
D.若{a,b,c}是空间的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}也是空间的一组基底
6.[2023·广东惠来一中高二检测](多选)若向量{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( )
A.a+b,a-b,a+2b B.a-b,a+c,b+c
C.a-b,c,a+b+c D.a-2b,b+c,a+c-b
7.已知四面体OABC,M,N分别是BC,OA的中点,且 eq \(OA,\s\up6(→))=a, eq \(OB,\s\up6(→))=b, eq \(OC,\s\up6(→))=c,则用a,b,c表示向量 eq \(MN,\s\up6(→))=________.
8.[2023·湖北武汉十七中高二检测]设{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,且向量p=3a+b+c,若m=a+b,n=a-c,则用基底{m,n,c}表示向量p=____________.
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,F,G分别为AB,CC1的中点,则( )
A. eq \(FG,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)
B. eq \(FG,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))+
C. eq \(FG,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)
D. eq \(FG,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))- eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)
2.[2023·山东潍坊高二检测]已知三棱柱ABC A1B1C1,点P为线段B1C1上一点,且B1P= eq \f(1,3),则 eq \(AP,\s\up6(→))=( )
A. eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)
B. eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)
C. eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))-
D. eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))+
3.[2023·广东佛山高二测试]在四面体D ABC中,点G是△ABC的重心,设 eq \(DA,\s\up6(→))=a, eq \(DB,\s\up6(→))=b, eq \(DC,\s\up6(→))=c,则 eq \(DG,\s\up6(→))=( )
A. eq \f(1,3)a+ eq \f(2,3)b+ eq \f(2,3)c B. eq \f(1,3)a+ eq \f(1,3)b+ eq \f(1,3)c
C. eq \f(2,3)a+ eq \f(2,3)b+ eq \f(2,3)c D. eq \f(2,3)a+ eq \f(2,3)b+ eq \f(1,3)c
4.[2023·福建龙岩高二检测]在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,点E是线段CD1的中点, eq \(AC,\s\up6(→))=3 eq \(AF,\s\up6(→)),设 eq \(AB,\s\up6(→))=a, eq \(AD,\s\up6(→))=b,AA1=c,则 eq \(EF,\s\up6(→))=( )
A. eq \f(5,6)a+ eq \f(2,3)b- eq \f(1,2)c B.- eq \f(1,6)a- eq \f(2,3)b- eq \f(1,2)c
C. eq \f(1,6)a+ eq \f(2,3)b+ eq \f(1,2)c D.- eq \f(5,6)a- eq \f(2,3)b+ eq \f(1,2)c
5.
如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF= eq \f(1,2)DD1.记 eq \(EF,\s\up6(→))=x eq \(AB,\s\up6(→))+y eq \(AD,\s\up6(→))+zAA1,若x+y+z= eq \f(1,4),则 eq \f(BE,BB1)=( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(1,4)
C. eq \f(1,3) D. eq \f(1,6)
6.[2023·辽宁丹东高二测试](多选)已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是平行四边形,且 eq \(AB,\s\up6(→))=a, eq \(AD,\s\up6(→))=b,=c,则( )
A.a-b-c= B.a+b+c=
C.a+b-c=D.a-b+c=
7.已知在正方体ABCD A1B1C1D1中,若点F是侧面CD1的中心,且 eq \(AF,\s\up6(→))= eq \(AD,\s\up6(→))+m eq \(AB,\s\up6(→))-nAA1,则m=________.
8.
如图,在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠CBD= eq \f(π,2),∠ABC= eq \f(π,4),BC=BD=1,AB= eq \r(2),则异面直线AB与CD所成角的大小是________.
9.[2023·浙江杭州高二检测]如图三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等,∠A1AB=∠A1AC=60°,点M为△ABC的重心,AM的延长线交BC于点N,连接A1M,设 eq \(AB,\s\up6(→))=a, eq \(AC,\s\up6(→))=b,AA1=c.
(1)用a,b,c表示A1M;
(2)证明:A1M⊥AB.
10.
如图,正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1,E,F,G,H分别是正四面体ABCD中各棱的中点,设 eq \(AB,\s\up6(→))=a, eq \(AC,\s\up6(→))=b, eq \(AD,\s\up6(→))=c.
(1)用a,b,c表示 eq \(EF,\s\up6(→)),并求 eq \(EF,\s\up6(→))的长;
(2)求 eq \(EF,\s\up6(→))与 eq \(GH,\s\up6(→))的夹角.
1.
如图,在三棱锥O ABC中,点G为底面△ABC的重心,点M是线段OG上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱OA,OB,OC于点D,E,F,若 eq \(OD,\s\up6(→))=k eq \(OA,\s\up6(→)), eq \(OE,\s\up6(→))=m eq \(OB,\s\up6(→)), eq \(OF,\s\up6(→))=n eq \(OC,\s\up6(→)),则 eq \f(1,k)+ eq \f(1,m)+ eq \f(1,n)=( )
A. eq \f(2,9) B. eq \f(2,3)
C. eq \f(3,2) D. eq \f(9,2)
2.如图(1),ABCD是平行四边形,2AB=AC=2,∠BAC=90°,如图(2),把平行四边形沿对角线AC折起,则三棱锥B ACD体积的最大值为________.若AB与CD成60°角,则BD的长为________.
3.如图所示,三棱柱ABC A1B1C1中, eq \(CA,\s\up6(→))=a, eq \(CB,\s\up6(→))=b,=c,CA=CB=CC1=1,〈a,b〉=〈a,c〉= eq \f(2π,3),〈b,c〉= eq \f(π,2),N是AB的中点.
(1)用a,b,c表示向量;
(2)在线段C1B1上是否存在点M,使AM⊥A1N?若存在,求出M的位置,若不存在,说明理由.
1.2 空间向量基本定理
必备知识基础练
1.答案:C
解析:∵ eq \(OC,\s\up6(→))= eq \f(1,2)(a-b)= eq \f(1,2)( eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→)))- eq \f(1,2)( eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(OB,\s\up6(→))- eq \(OC,\s\up6(→))),即a,b, eq \(OC,\s\up6(→))共面,∴ eq \(OC,\s\up6(→))与a、b不能构成空间基底.故选C.
2.答案:B
解析:因为{ eq \(OA,\s\up6(→)), eq \(OB,\s\up6(→)), eq \(OC,\s\up6(→))}为基底,所以非零向量 eq \(OA,\s\up6(→)), eq \(OB,\s\up6(→)), eq \(OC,\s\up6(→))不在同一平面内,即O,A,B,C四点不共面,所以A、C、D选项说法正确,B错误.故选B.
3.答案:B
解析: eq \(CG,\s\up6(→))= eq \(CA,\s\up6(→))+ eq \(AG,\s\up6(→))= eq \(CA,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))=( eq \(BA,\s\up6(→))- eq \(BC,\s\up6(→)))+ eq \f(1,2)( eq \(BD,\s\up6(→))- eq \(BA,\s\up6(→)))=(a-b)+ eq \f(1,2)(c-a)= eq \f(1,2)a-b+ eq \f(1,2)c.故选B.
4.答案:B
解析:
如图所示,∵=+ eq \(DM,\s\up6(→))=+ eq \f(1,2) eq \(DB,\s\up6(→))=+ eq \f(1,2)( eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \(DC,\s\up6(→))),又=c, eq \(DA,\s\up6(→))=-b, eq \(DC,\s\up6(→))=a,∴= eq \f(1,2)a- eq \f(1,2)b+c.故选B.
5.答案:AD
解析:a,b,c是空间的三个单位向量,由a∥b,b∥c,则a∥c,故A正确;a,b,c两两共面,但是a,b,c不一定共面,a,b,c可能两两垂直,故B错误;由空间向量基本定理,可知只有当a,b,c不共面,才能作为基底,才能得到p=xa+yb+zc,故C错误;若{a,b,c}是空间的一组基底,则a,b,c不共面,可知{a+b,b+c,c+a}也不共面,所以{a+b,b+c,c+a}也是空间的一组基底,故D正确.故选AD.
6.答案:ABD
解析:对于A:由于向量{a,b,c}构成空间的一个基底,且满足a+2b= eq \f(3,2)(a+b)- eq \f(1,2)(a-b),故A正确;对于B:由于a-b=(a+c)-(b+c),故B正确;对于C:由于a+b+c≠m(a-b)+nc,故C错误;对于D:由于a-2b=(a+c-b)-(b+c),故D正确.故选ABD.
7.答案: eq \f(1,2)a- eq \f(1,2)b- eq \f(1,2)c
解析:
如图, eq \(MN,\s\up6(→))= eq \(MO,\s\up6(→))+ eq \(ON,\s\up6(→))=- eq \f(1,2)·( eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→)))+ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))= eq \f(1,2)a- eq \f(1,2)b- eq \f(1,2)c.
8.答案:m+2n+3c
解析:设p=xm+yn+zc,
则x(a+b)+y(a-c)+zc=(x+y)a+xb+(z-y)c=3a+b+c,
故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x+y=3,x=1,z-y=1)),解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=2,x=1,z=3)),故p=m+2n+3c.
关键能力综合练
1.答案:C
解析: eq \(FG,\s\up6(→))= eq \(FB,\s\up6(→))+ eq \(BG,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(BC,\s\up6(→))+ eq \(CG,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2).故选C.
2.答案:D
解析:
由题意得 eq \(AP,\s\up6(→))= eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(BP,\s\up6(→))= eq \(AB,\s\up6(→))++,因为= eq \f(1,3),=,所以 eq \(AP,\s\up6(→))= eq \(AB,\s\up6(→))++ eq \f(1,3)= eq \(AB,\s\up6(→))++ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))= eq \(AB,\s\up6(→))++ eq \f(1,3)( eq \(AC,\s\up6(→))- eq \(AB,\s\up6(→)))= eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))++ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)).故选D.
3.答案:B
解析:
设E是BC中点, eq \(DG,\s\up6(→))= eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \(AG,\s\up6(→))= eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \f(2,3) eq \(AE,\s\up6(→))= eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)×( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→)))= eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→)))= eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3)( eq \(DB,\s\up6(→))- eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \(DC,\s\up6(→))- eq \(DA,\s\up6(→)))= eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3)( eq \(DB,\s\up6(→))+ eq \(DC,\s\up6(→))-2 eq \(DA,\s\up6(→)))= eq \f(1,3) eq \(DA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(DB,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))= eq \f(1,3)a+ eq \f(1,3)b+ eq \f(1,3)c.故选B.
4.答案:B
解析:因为E为CD1中点,所以 eq \(AE,\s\up6(→))= eq \f(1,2)(+ eq \(AC,\s\up6(→)))= eq \f(1,2)(+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \(AB,\s\up6(→)))= eq \f(1,2)+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)), eq \(AC,\s\up6(→))=3 eq \(AF,\s\up6(→))⇒ eq \(AF,\s\up6(→))= eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))= eq \f(1,3)( eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \(AB,\s\up6(→))),所以 eq \(EF,\s\up6(→))= eq \(AF,\s\up6(→))- eq \(AE,\s\up6(→))= eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))- eq \f(1,2)- eq \(AD,\s\up6(→))- eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))=- eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up6(→))- eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))- eq \f(1,2),即 eq \(EF,\s\up6(→))=- eq \f(1,6)a- eq \f(2,3)b- eq \f(1,2)c.故选B.
5.答案:B
解析:设 eq \f(BE,BB1)=λ,因为 eq \(EF,\s\up6(→))= eq \(EB,\s\up6(→))+ eq \(BA,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \(DF,\s\up6(→))=-λ- eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)=-λ- eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)AA1=- eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+( eq \f(1,2)-λ)AA1,所以x=-1,y=1,z= eq \f(1,2)-λ.因为x+y+z= eq \f(1,2)-λ= eq \f(1,4),所以λ= eq \f(1,4).故选B.
6.答案:BC
解析:=- eq \(AB,\s\up6(→))= eq \(AD,\s\up6(→))+- eq \(AB,\s\up6(→))=b+c-a,A选项错误;= eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+=a+b+c,B选项正确;= eq \(AC,\s\up6(→))-= eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))-=a+b-c,C选项正确;= eq \(AD,\s\up6(→))-= eq \(AD,\s\up6(→))-( eq \(AB,\s\up6(→))+)=b-a-c,D选项错误.故选BC.
7.答案: eq \f(1,2)
解析:如图所示,可得 eq \(AF,\s\up6(→))= eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \(DF,\s\up6(→))= eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)( eq \(DC,\s\up6(→))+)= eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2),又因为 eq \(AF,\s\up6(→))= eq \(AD,\s\up6(→))+m eq \(AB,\s\up6(→))-nAA1,所以m= eq \f(1,2),n=- eq \f(1,2).
8.答案: eq \f(π,3)
解析:依题意可知CD= eq \r(BC2+BD2)= eq \r(2), eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))= eq \(AB,\s\up6(→))·( eq \(BD,\s\up6(→))- eq \(BC,\s\up6(→)))= eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))- eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))=0+ eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))=| eq \(BA,\s\up6(→))|| eq \(BC,\s\up6(→))|cs 45°=1.设直线AB与CD所成角为α,则cs α= eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))|)·\a\vs4\al(|\(CD,\s\up6(→))|))= eq \f(1,\r(2)×\r(2))= eq \f(1,2),因为α∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),故α= eq \f(π,3).
9.解析:(1)因为△ABC为正三角形,点M为△ABC的重心,
所以N为BC的中点,
所以 eq \(AN,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)), eq \(AM,\s\up6(→))= eq \f(2,3) eq \(AN,\s\up6(→)),
所以A1M=A1A+ eq \(AM,\s\up6(→))=-AA1+ eq \f(2,3) eq \(AN,\s\up6(→))=- eq \(AA,\s\up6(→))1+ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))= eq \f(1,3)a+ eq \f(1,3)b-c.
(2)证明:设三棱柱的棱长为m,
则A1M· eq \(AB,\s\up6(→))=( eq \f(1,3)a+ eq \f(1,3)b-c)·a
= eq \f(1,3)a2+ eq \f(1,3)a·b-c·a
= eq \f(1,3)|a|2+ eq \f(1,3)|a|·|b|cs eq \f(π,3)-|c|·|a|cs eq \f(π,3)
= eq \f(1,3)m2+ eq \f(1,3)m2× eq \f(1,2)-m2× eq \f(1,2)=0.
所以A1M⊥AB.
10.解析:(1)因E,F分别为棱BC,AD的中点,而 eq \(AB,\s\up6(→))=a, eq \(AC,\s\up6(→))=b, eq \(AD,\s\up6(→))=c,
所以 eq \(EF,\s\up6(→))= eq \(EB,\s\up6(→))+ eq \(BA,\s\up6(→))+ eq \(AF,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→))- eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))- eq \(AC,\s\up6(→)))- eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))=- eq \f(1,2)a- eq \f(1,2)b+ eq \f(1,2)c,
因正四面体ABCD的棱长为1,则a·b=b·c=c·a=|c||a|cs 60°= eq \f(1,2),
所以| eq \(EF,\s\up6(→))|= eq \f(1,2) eq \r((-a-b+c)2)
= eq \f(1,2) eq \r(a2+b2+c2+2a·b-2b·c-2c·a)= eq \f(\r(2),2).
(2)依题意, eq \(GH,\s\up6(→))= eq \(GA,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \(DH,\s\up6(→))=- eq \f(1,2)a+c+ eq \f(1,2)(b-c)=- eq \f(1,2)a+ eq \f(1,2)b+ eq \f(1,2)c,
因正四面体ABCD的棱长为1,有c·a=|c||a|cs 60°= eq \f(1,2),
因此 eq \(EF,\s\up6(→))· eq \(GH,\s\up6(→))=- eq \f(1,2)(a+b-c)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))(a-b-c)= eq \f(1,4)[(a-c)2-b2]= eq \f(1,4)(a2+c2-2a·c-b2)=0,
所以 eq \(EF,\s\up6(→))⊥ eq \(GH,\s\up6(→)),即 eq \(EF,\s\up6(→))与 eq \(GH,\s\up6(→))的夹角为90°.
核心素养升级练
1.答案:D
解析:由题意可知, eq \(OM,\s\up6(→))= eq \f(2,3) eq \(OG,\s\up6(→))= eq \f(2,3)( eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(AG,\s\up6(→)))= eq \f(2,3)[ eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→)))]= eq \f(2,3)[ eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3)( eq \(OB,\s\up6(→))- eq \(OA,\s\up6(→)))+ eq \f(1,3)( eq \(OC,\s\up6(→))- eq \(OA,\s\up6(→)))]= eq \f(2,9) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(2,9) eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \f(2,9) eq \(OC,\s\up6(→)).因为D,E,F,M四点共面,所以存在实数λ,μ,使 eq \(DM,\s\up6(→))=λ eq \(DE,\s\up6(→))+μ eq \(DF,\s\up6(→)),所以 eq \(OM,\s\up6(→))- eq \(OD,\s\up6(→))=λ( eq \(OE,\s\up6(→))- eq \(OD,\s\up6(→)))+μ( eq \(OF,\s\up6(→))- eq \(OD,\s\up6(→))),所以 eq \(OM,\s\up6(→))=(1-λ-μ) eq \(OD,\s\up6(→))+λ eq \(OE,\s\up6(→))+μ eq \(OF,\s\up6(→))=(1-λ-μ)k eq \(OA,\s\up6(→))+λm eq \(OB,\s\up6(→))+μn eq \(OC,\s\up6(→)),所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((1-λ-μ)k=\f(2,9),λm=\f(2,9),μn=\f(2,9))),所以 eq \f(1,k)+ eq \f(1,m)+ eq \f(1,n)= eq \f(9,2)(1-λ-μ)+ eq \f(9,2)λ+ eq \f(9,2)μ= eq \f(9,2).故选D.
2.答案: eq \f(1,3) eq \r(7)或 eq \r(5)
解析:由已知得,对于三棱锥B ACD,当AB⊥平面ACD时,三棱锥B ACD的体积最大,由2AB=AC=2,∠BAC=90°,ABCD是平行四边形,可得,S△ACD=S△ABC= eq \f(1,2)×AB×AC=1,故VB ACD= eq \f(1,3)×S△ACD×AB= eq \f(1,3)×1×1= eq \f(1,3); eq \(BD,\s\up6(→))= eq \(BA,\s\up6(→))+ eq \(AC,\s\up6(→))+ eq \(CD,\s\up6(→)),又因为AB与CD成60°角,故〈 eq \(AB,\s\up6(→)), eq \(CD,\s\up6(→))〉=60°或〈 eq \(AB,\s\up6(→)), eq \(CD,\s\up6(→))〉=120°,且〈 eq \(BA,\s\up6(→)), eq \(AC,\s\up6(→))〉=90°,〈 eq \(AC,\s\up6(→)), eq \(CD,\s\up6(→))〉=90°,| eq \(BD,\s\up6(→))|2= eq \(BA,\s\up6(→))2+ eq \(AC,\s\up6(→))2+ eq \(CD,\s\up6(→))2+2 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))+2 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))+2 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→)),故| eq \(BD,\s\up6(→))|2=1+4+1+2cs 60°或| eq \(BD,\s\up6(→))|2=1+4+1+2cs 120°,则| eq \(BD,\s\up6(→))|= eq \r(7)或| eq \(BD,\s\up6(→))|= eq \r(5).
3.解析:(1)因为N是AB中点,所以 eq \(AN,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)),
所以=+ eq \(AN,\s\up6(→))=+ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))
=-+ eq \f(1,2)( eq \(CB,\s\up6(→))- eq \(CA,\s\up6(→)))=- eq \f(1,2)a+ eq \f(1,2)b-c.
(2)假设存在点M,使AM⊥A1N,设=λ,(λ∈[0,1]),
显然λC1B1=λb, eq \(AM,\s\up6(→))=++=c-a+λb,
因为AM⊥A1N,所以 eq \(AM,\s\up6(→))·=0,
即(c-a+λb)·(- eq \f(1,2)a+ eq \f(1,2)b-c)=0,
∴- eq \f(1,2)c·a+ eq \f(1,2)c·b-c2+ eq \f(1,2)a2- eq \f(1,2)a·b+c·a- eq \f(1,2)λa·b+ eq \f(1,2)λb2-λb·c=0.
∵CA=CB=CC1=1,〈a,b〉=〈a,c〉= eq \f(2π,3),〈b,c〉= eq \f(π,2),
∴ eq \f(1,2)c·a-c2+ eq \f(1,2)a2-( eq \f(1,2)+ eq \f(1,2)λ)a·b+ eq \f(1,2)λb2=0,
即 eq \f(1,2)×1×1×(- eq \f(1,2))-12+ eq \f(1,2)×12-( eq \f(1,2)+ eq \f(1,2)λ)×1×1×(- eq \f(1,2))+ eq \f(1,2)λ·12=0,解得λ= eq \f(2,3),
所以当C1M= eq \f(2,3)C1B1时,AM⊥A1N.
必备知识基础练
进阶训练第一层
关键能力综合练
进阶训练第二层
核心素养升级练
进阶训练第三层
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