2023年湖北省武汉市东湖高新区九年级五月调考数学试卷-普通用卷

2023年湖北省武汉市东湖高新区九年级五月调考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  袋子中装有个黑球和个白球，随机摸出两个球下列事件是必然事件的是(    )

A. 摸出两个白球 B. 摸出一个白球一个黑球
C. 至少摸出一个黑球 D. 摸出两个黑球

4.  如图，下列几何体中，主视图、俯视图，左视图都一样的是(    )

A. 正方体 B. 三棱柱
C. 圆柱 D. 圆台

5.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，是一元二次方程的两根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，甲从村匀速骑自行车到村，乙从村匀速骑摩托车到村，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离村的距离与他自骑车的时间之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是(    )

A. A、两村的距离为 B. 甲的速度为
C. 乙的速度为 D. 乙运动到达目的地

9.  世纪，中国数学家、大文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地用简化了的”同径法”证明了正弦定理：“三角形中每一边和它所对角的正弦值的比都等于外接圆的直径”：已知中，，，，则的外接圆直径为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  为坐标平面内一点，且，，过点作直线与平行，交轴于，当点在区域内运动时，求的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  写出一个小于的正无理数是______ ．

12.  第十四届全国人民代表大会政府工作报告指出：过去一年，我国脱贫人口务工规模超过万人，用科学记数法表示是______ ．

13.  有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是        ．

14.  如图，建筑物的高度为，从建筑物的楼顶测得点的俯角为，测得点的俯角为，则建筑物的高度是______ 已知，结果用“四舍五入”法保留小数点后一位．

15.  已知函数是常数，且，过，下列结论中，其图象关于直线对称；关于的不等式的解集为；若点，在函数图象上，，且，则；函数与平行于轴的直线有且只有个交点其中正确的是______ 填写序号
 

16.  如图，矩形中，：：，为上一点，作交延长线于，为中点，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______；
Ⅱ解不等式，得______；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为______．

18.  本小题分
如图，中，，平分．
求证：；
若，直接写出的值．

19.  本小题分
某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为分为整数，将成绩评定为优秀、良好、合格，不合格四个等级优秀，良好，合格、不合格分别用，，，表示，等级：，等级：，等级，，等级：该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
上表中的 ______ ， ______ ， ______ ；
这组数据的中位数所在的等级是______ ；
该校决定对分数低于分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？

20.  本小题分
如图，是的直径，为延长线上一点，切于，是的中点，交于．
求证：；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、、三点是格点，点在上，在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
在图中，以为边画菱形；再将点绕点旋转一个角度，使其对应点落在上，画出点；
在图中，在上画点，使最小；再画线段，使．

 

22.  本小题分
如图，为地面，、为一个小山坡，它的高度为米，坡比为：，在坡顶有一个自动浇灌装置其高度忽略不计，它喷出的水柱呈抛物线形状，现只考虑右侧山坡，建立如图所示的平面直角坐标系，已知水柱在与的水平距离为米处达到最高，且距地面的最高距离为米．
求抛物线的解析式；
求水柱浇灌的最远点离地面的高度；
如果给浇灌装置安装一个支架，则可以使水柱覆盖整个山坡，问浇灌装置还要升高多少米，才能使水柱覆盖整个山坡？

 

23.  本小题分
探索发现：如图，等边中，为的中点，，分别是、上的两点，．
求证：；
为上一点，若，求的值；
迁移拓展：如图，等腰中，为斜边的中点，为中点，，是上的点，，为上一点，若，直接写出的长．

 

24.  本小题分
已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，且的面积为．
求抛物线的对称轴和解析式；
如图，若、为抛物线上两点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，设点横坐标为，求的值；
如图，过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、摸出两个白球，是不可能事件，故A不符合题意；
B、摸出一个白球一个黑球，是随机事件，故B不符合题意；
C、至少摸出一个黑球，是必然事件，故C符合题意；
D、摸出两个黑球，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、正方体的三视图都是正方形，故此选项符合题意；
B、三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，故此选项不符合题意；
D、圆台的主视图是等腰梯形，左视图是等腰梯形，俯视图是同心圆内圆是虚线，故此选项不符合题意；
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又点，，在反比例函数的图象上，
点，在第四象限，点在第二象限，
，，
．
故选：．
根据反比例函数的性质解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，





．
故选：．
先利用根与系数的关系得，，再利用分式的混合运算得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察图象可知，
乙、两村的距离为，故选项A说法正确，不符合题意；
甲的速度：，故选项B说法正确，不符合题意；
设甲，乙相遇，由图象可得：，
解得，
则乙的速度：，故选项C说法正确，不符合题意；
乙到达目的地的时间为：，故选项D错误，符合题意．
故选：．
直接观察函数图象可判断；根据图象中的数据可计算出甲的速度，可判断；再计算出乙的速度，即可判断；根据图象甲乙两人相遇，从而可以计算出乙到达目的地的时间．
本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：过点作，垂足为，

，
在中，，，
，
，
，
，
在中，，
的外接圆直径，
故选：．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
当，时，取得最大值，
的最大值为，
故选A．
从题目中可知，本题其实是求的最大值，而，，故最大值为，时，．
本题考查最值问题，通过题目给出的关系，求出最值．
 

11.【答案】 

【解析】解：一个小于的正无理数是答案不唯一
故答案为：．
根据，以及无理数的特征，一个小于的正无理数是．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
 

12.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为，
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此解答即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，
共有种等可能情况，其中能打开锁的情况有种，
故一次打开锁的概率为．
故答案为：．
随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：延长交于点，

由题意得：，
设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
建筑物的高度约为米，
故答案为：．
延长交于点，根据题意可得：，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是常数，且，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
其图象关于直线对称，故正确；
函数是常数，且过，图象对称轴为直线，
函数是常数，且过点，
关于的不等式的解集为或或，故错误；
点，在函数图象上，，且，
点到直线的距离小于点到直线的距离，
，故正确；
是常数，且过，
，
，
，
当时，函数有最大值为，
函数与平行于轴的直线有且只有个交点，故正确．
故答案为：．
求得抛物线的对称轴即可判断；根据二次函数的对称性得出函数是常数，且，过，根据图象即可判断；判断两点到对称轴的距离，根据二次函数的性质即可判断；求得当时，函数有最大值为，即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化对称，数形结合是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示，

在矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
：：，
设，，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
为中点，
，
，
，
，
，
，，
，
为中点，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
利用矩形和等腰三角形的性质，分别表示出、的长，利用勾股定理求出的长，表示出的长，利用建立等式，最后利用三角形中位线分别求出、的长，然后利用勾股定理求出的长．
此题考查的是矩形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
；
解：，
：：，
由知，
∽，
． 

【解析】根据角平分线的定义可得，然后由平行线的判定与性质可得结论；
根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：由题意得，样本容量为：，
，
，
，即；
故答案为：；；；
把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数都在等级，
所以这组数据的中位数所在的等级是等级．
故答案为：；
人，
答：该校七年级需要进行安全再教育的学生大约有人．
用等级的频数除以等级的频率可得样本容量，再用样本容量乘等级所占百分百可得的值；用样本容量分别减去其他三个等级的频数可等级的频数，进而得出和的值；
根据中位数的定义解答即可；
用乘样本中、等级所占百分百之和即可．
本题考查扇形统计图、频率分布图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：连接、，如图，
切于点，
，
，
是的中点，
，
，
，，
而，
，
，
，
；
解：连接，如图，
，，
，
，
在中，，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，
即的长为． 

【解析】连接、，如图，先根据切线的性质得到，根据垂径定理的推论得到，然后证明，从而得到；
连接，如图，先利用勾股定理计算出，再证明∽，然后利用相似比可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

21.【答案】解：如图中，点即为所求；

如图中，点，线段即为所求． 

【解析】连接，交于点，连接，延长交与点，点即为所求；
作点关于的对称点，连接交与点，连接在上取点，使得，，作交与点，线段即为所求．
本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
 

22.【答案】解：根据题意知，，抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入抛物线得：，
解得，
抛物线解析式为；
坡比为：，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得或，

水柱浇灌的最远点离地面的高度米；
设浇灌装置还要升高米，
即抛物线向上平移单位，
平移后的解析式为，
将代入平移后解析式得：，
解得，
浇灌装置还要升高米，才能使水柱覆盖整个山坡． 

【解析】根据题意用待定系数法求出函数解析式；
根据坡度求出求出点坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，再求出抛物线与直线的交点即可；
设浇灌装置还要升高米，即抛物线向上平移单位，然后求出平移后的函数解析式，再把点坐标代入解析式求出的值即可．
本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
 

23.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
≌，
；
解：连接，，

由得，
，
，
是等边三角形，为中点，
，，
，
又，
∽，
，
，
又，
∽，
，
，
，
；
解：连接，，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出；
连接，，由得，证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，得出，则可得出结论；
连接，，证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，得出，求出的长，则可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：把代入得：
，
，
，
令得，
，
或，
，，
抛物线的对称轴为直线，，
的面积为，
，
，
；
把代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
解：的横坐标为，
，
设，
而，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得：或；
，为对角线，
，
解得：；
，为对角线，
，
解得：；
综上所述，的值为或或或；
证明：设，，
设直线解析式为，
，
解得：，
直线解析式为，
直线过定点，
，
，
直线过，
，
，
，
由得：
或，
，
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得：，
直线解析式为，
，
直线解析式为，
当时，，
直线必过定点． 

【解析】把代入可得，，令即得，，故抛物线的对称轴为直线，，根据的面积为，可得，，用待定系数法得抛物线的解析式为；
，设，而，，分三种情况：若，为对角线，则，的中点重合，，为对角线，，为对角线，分别列方程组可解得的值；
设，，知直线解析式为，由直线过定点，有，而直线过，可得，，解得，设直线解析式为，把，代入得直线解析式为，即，当时，，故直线过定点．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．